Введение
В числовой линейной алгебре вращение Якоби - это вращение Qkl 2-мерного линейного подпространства n-мерного внутреннего произведённого пространства, выбранное для нуля симметричной пары вне диагональных входов n×n реальной симметричной матрицы A, при применении в качестве трансформации сходства: Это основная операция в алгоритме собственных значений Якоби, который является численно стабильным и хорошо подходит для реализации на параллельных процессорах. Только строки k и l и колонки k и l A будут затронуты, и что A останется симметричным. Кроме того, явное матрица для Qkl редко вычисляется; вместо этого, вспомогательные значения вычисляются и A обновляется эффективным и численно стабильным образом. Однако для справки мы можем написать матрицу как То есть Qkl является матрицей идентичности за исключением четырех записей, двух на диагонали (qkk и qll, оба равны c) и двух симметрично расположенных за диагонали (qkl и qlk, равные s и −s, соответственно). Здесь c = cos θ и s = sin θ для некоторого угла θ; но для применения вращения сам угол не требуется. Используя дельта-нотацию Кронекера, записи матрицы могут быть записаны: предположим, что h - индекс, отличный от k или l (которые сами должны быть отличными). Затем обновление сходства производит, алгебраически:
It is the core operation in the Jacobi eigenvalue algorithm, which is numerically stable and well suited to implementation on parallel processors
Only rows k and ℓ and columns k and ℓ of A will be affected, and that A will remain symmetric. Also, an explicit matrix for Qkℓ is rarely computed; instead, auxiliary values are computed and A is updated in an efficient and numerically stable way. However, for reference, we may write the matrix as
That is, Qkℓ is an identity matrix except for four entries, two on the diagonal (qkk and qℓℓ, both equal to c) and two symmetrically placed off the diagonal (qkℓ and qℓk, equal to s and −s, respectively). Here c = cos θ and s = sin θ for some angle θ; but to apply the rotation, the angle itself is not required. Using Kronecker delta notation, the matrix entries can be written:
Suppose h is an index other than k or ℓ (which must themselves be distinct). Then the similarity update produces, algebraically:
Пример треугольной формы
Некоторые приложения могут требовать нескольких нулевых записей в матрице сходства, возможно, в форме тридиагональной матрицы. Поскольку якобианские вращения могут удалять нули из других ячеек, которые ранее были нулированы, обычно невозможно достичь тридиагонализации, просто нулируя каждую тридиагональную ячейку индивидуально в средней и большой матрице. Однако, если якобианские вращения выполняются неоднократно на вышеуказанной тридиагональной ячейке с наивысшим абсолютным значением, используя прилегающую ячейку чуть ниже или слева, чтобы вращаться, то все триугольные ячейки, как ожидается, сходятся на нуле после нескольких итераций. В примере ниже представлена матрица 5х5, которая должна быть тридиагонализирована в аналогичную матрицу. Для тридиагонализации матрицы в матрицу, ячейки [1,3], [1,4], [1,5], [2,4], [2,5] и [3,5] должны продолжать итеративно нулироваться, пока максимальное абсолютное значение этих ячеек не будет ниже приемлемого порога конвергенции. В этом примере будет использоваться 1. e 14 Ячейки ниже диагонали будут автоматически нулированы из-за симметричной природы матрицы. Первое вращение по Якобианскому принципу будет на тридиагональной ячейке с наивысшим абсолютным значением, которое по проверке составляет [1,4] с значением 11. Для того, чтобы сделать эту запись нулевой, должно быть выполнено условие, указанное в вышеуказанных уравнениях для координат ячейки, которые должны быть сведены к нулю, и для выбранных координат вращения , и воспроизведены ниже для первой итерации. Первая итерация вращения , производит матрицу с ячейками [1,4] и [4,1], нулированными, как и ожидалось. Кроме того, собственные значения и детерминанты of идентичны значениям of, а T1 также симметричен, подтверждая, что якобианское вращение было выполнено правильно. Следующая итерация для выберет ячейку [2,5] , которая содержит наибольшее абсолютное значение, 4.8001142, из всех ячеек, которые должны быть сведены к нулю После 10 итераций сведения к нулю ячейки с максимальным абсолютным значением с использованием ротаций Якобина на ячейке прямо под ней, максимальное абсолютное значение всех внетридиагональных ячеек составляет 2,6e 15. Предполагая, что этот критерий сближения является приемлемо низким для применения, для которого он выполняется, аналогичная триангулированная матрица показана ниже. Поскольку и имеет идентичные собственные значения и детерминанты, а также симметричен, и являются аналогичными матрицами с тридиагонализацией.
To tridiagonalize matrix into matrix , the off tridiagonal cells [1,3], [1,4], [1,5], [2,4], [2,5], and [3,5], must continue to be iteratively zeroed until the maximum absolute value of those cells is below an acceptable convergence threshold. This example will use 1. e 14 The cells below the diagonal will be zeroed automatically, due to the symmetric nature of the matrix. The first Jacobian rotation will be on the off tridiagonal cell with the highest absolute value, which by inspection is [1,4] with a value of 11. To make this entry zero, the condition specified in the above equations must be met for the cell coordinates to be zeroed and for the selected rotational coordinates of , and are reproduced below for the first iteration. The first rotation iteration, , produces a matrix with cells [1,4] and [4,1] zeroed, as expected. Furthermore, the eigenvalues and determinant of are identical to those of and T1 is also symmetric, confirming that the Jacobian rotation was performed correctly. The next iteration for will select cell [2,5] which contains the highest absolute value, 4.8001142, of all the cells to be zeroed
After 10 iterations of zeroing the cell with the maximum absolute value using Jacobian rotations on the cell just below it, the maximum absolute value of all off tridiagonal cells is 2.6e 15. Assuming this convergence criteria is acceptably low for the application it is being performed for, the similar triangularized matrix is shown below. Since and have identical eigenvalues and determinants and is also symmetric, and are similar matrices with being tridiagonalized.