Кіріспе
Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу формуласы
Сызықтық алгебрада Крамер ережесі – белгісіздер саны теңдеулер санымен сәйкес келетін сызықтық теңдеулер жүйесін шешудің нақты формуласы. Бұл ереже жүйеде бірегей шешім болған жағдайда ғана қолданылады. Ол шешімді (квадрат) коэффициент матрицасының детерминанттары және оның бір бағаны теңдеулердің оң жақтарының баған векторымен ауыстырылған матрицалар арқылы көрсетеді. Ереже 1750 жылы беймәлімдердің кез келген саны үшін жарияланған Габриэль Крамердің есімімен аталады. Алайда, Колин Маклорин 1748 жылы осы ереженің жеке жағдайларын жариялаған, ал оны 1729 жылға дейін білген болуы мүмкін. Крамер ережесі екі немесе үш теңдеуден астам жүйелер үшін есептеулер тұрғысынан тиімсіз. n белгісіздігі бар n теңдеулер үшін n+1 детерминантты есептеу қажет, ал Гаусс әдісі бір детерминантты есептеумен салыстырылатын есептеу күрделілігімен бірдей нәтиже береді. Крамер ережесі 2×2 жүйелер үшін де сандық тұрақсыздыққа ұшырауы мүмкін. Дегенмен, Крамер ережесі Гаусс әдісімен салыстырылатын күрделілікпен іске асырылуы мүмкін (әдетте екі есе көп арифметикалық амалдарды қажет етеді және бірдей пермутациялық матрицалар қолданылғанда бірдей сандық тұрақтылықты қамтамасыз етеді).
In linear algebra, Cramer's rule is an explicit formula for the solution of a system of linear equations with as many equations as unknowns, valid whenever the system has a unique solution. It expresses the solution in terms of the determinants of the (square) coefficient matrix and of matrices obtained from it by replacing one column by the column vector of right sides of the equations. It is named after Gabriel Cramer, who published the rule for an arbitrary number of unknowns in 1750, although Colin Maclaurin also published special cases of the rule in 1748, and possibly knew of it as early as 1729. Cramer's rule implemented in a naive way is computationally inefficient for systems of more than two or three equations. In the case of n equations in n unknowns, it requires computation of n + 1 determinants, while Gaussian elimination produces the result with the same computational complexity as the computation of a single determinant. Cramer's rule can also be numerically unstable even for 2×2 systems. However, Cramer's rule can be implemented with the same complexity as Gaussian elimination, (consistently requires twice as many arithmetic operations and has the same numerical stability when the same permutation matrices are applied).
Инверс матрицаны табу
A n × n матрицасын F өрісіндегі элементтермен қарастырайық. Онда
adj(A) – қосымша матрицаны, det(A) – анықтауышты, ал I – бірлік матрицаны білдіреді. Егер det(A) нөлге тең болмаса, онда A матрицасының кері матрицасы:
Бұл формула det(A) ≠ 0 болған жағдайда A матрицасының керісін табуға мүмкіндік береді. Шындығында, бұл формула F коммутативті сақина болған кезде де жұмыс істейді, егер det(A) сақинада бірлік элемент болса. Егер det(A) бірлік элемент болмаса, онда A матрицасы бұл сақинада кері матрицаға ие болмайды (бірақ F сақинасының кейбір бірлік емес элементтері кері болатын үлкен сақинада кері матрицаға ие болуы мүмкін).
Бүкіл сандарды бағдарламалау
Крамер ережесі толығымен бір модульді шектеу матрицасы және бүтін сан оң жағы бар бүтін сандық бағдарламалау мәселесінің бүтін сандық негізгі шешімдерінің болуын дәлелдеу үшін қолданылуы мүмкін. Бұл бүтін сандық бағдарламаны шешуді едәуір жеңілдетеді.
Кәдімгі дифференциалдық теңдеулер
Креймер ережесі параметрлерді өзгерту әдісі арқылы біртекті емес сызықтық дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін шығару үшін пайдаланылады.
Абстрактілі сызықтық алгебра арқылы дәлелдеу
Бұл жоғарыда келтірілген дәлелді абстрактілі тілмен қайта формулировкалау. Картаны қарастырайық, онда матрицаның i-ші бағанындағы элементтерге орнына қойылған, Креймер ережесіндегідей. Детерминанттың әрбір баған бойынша сызықтығынан, бұл карта сызықтық болады. Көресіз, ол матрицаның i-ші бағанын i-ші базистік векторға (i-ші орында 1 болатын) жібереді, себебі қайталанатын бағаны бар матрицаның детерминанты 0-ге тең. Осылайша, бізде сызықтық карта бар, ол бағана кеңістігінде матрицаның кері матрицасына сәйкес келеді, демек ол бағана кеңістігінің жазықтығында да сәйкес келеді. Матрица инверттік болғандықтан, оның бағаналық векторлары бүкіл кеңістікті жабады, сондықтан біздің карта оның керісі болып табылады. Осыдан Креймер ережесі шығады.
Қосымша және белгісіз жағдайлар
Теңдеулер жүйесі шешімі болмаған жағдайда сәйкессіз деп, ал бірнеше шешімі болған жағдайда белгісіз деп аталады. Сызықтық теңдеулер үшін белгісіз жүйеде шексіз көп шешім болады (егер ол шексіз өрісте қарастырылса), себебі шешімдерді бір немесе бірнеше параметрлер арқылы көрсетуге болады, мұндай параметрлер кез келген мәнге ие болуы мүмкін. Креймер формуласы коэффициент детерминанты нөлден өзгеше болған жағдайда қолданылады. 2×2 жағдайында, егер коэффициент детерминанты нөлге тең болса, онда жүйе, егер қосымша детерминанттар нөлден өзгеше болса, сәйкессіз болады, ал қосымша детерминанттар нөлге тең болса, белгісіз болады. 3×3 немесе одан жоғары жүйелер үшін, егер коэффициент детерминанты нөлге тең болса, қосымша детерминанттардың кез келгені нөлден өзгеше болса, жүйе сәйкессіз болады деуге болады. Дегенмен, барлық детерминанттар нөлге тең болуы жүйенің белгісіз екенін білдірмейді. Барлық детерминанттардың нөлге тең болғанымен, жүйе сәйкессіз болатын қарапайым мысал – 3×3 жүйесі: x+y+z=1, x+y+z=2, x+y+z=3.