Кіріспе
Жергілікті жасырын айнымалылар теориясының тексеруге болатын салдары Физикада CHSH теңсіздігі Белл теоремасын дәлелдеу үшін қолданылады. Бұл теорема кванттық механикадағы байланыстың ( entanglement ) кейбір салдарларын жергілікті жасырын айнымалылар теориясымен қайта жасай алмайтынын көрсетеді. Теңсіздіктің бұзылуын эксперименталдық түрде тексеру – табиғатты мұндай теориялармен сипаттау мүмкін емес екендігінің растамасы болып саналады. CHSH – Джон Клаузер, Майкл Хорн, Абнер Шимони және Ричард Холттың аббревиатурасы, олар бұл теңсіздікті 1969 жылы жарияланған, көп сілтеме жасалған мақаласында сипаттаған. Бұл Белл тестінде "бірдей уақытта оқиғалардың" (coincidences) статистикалық жиілігіне қатысты шектеу, және егер жасырын жергілікті айнымалылар теориясы болса, онда бұл шектеу міндетті түрде орындалуы керек. Іс жүзінде, бұл теңсіздік кванттық механикадағы заманауи эксперименттерде үнемі бұзылады.
In physics, the CHSH inequality can be used in the proof of Bell's theorem, which states that certain consequences of entanglement in quantum mechanics cannot be reproduced by local hidden variable theories. Experimental verification of the inequality being violated is seen as confirmation that nature cannot be described by such theories. CHSH stands for John Clauser, Michael Horne, Abner Shimony, and Richard Holt, who described it in a much cited paper published in 1969. is a constraint—on the statistical occurrence of "coincidences" in a Bell test—which is necessarily true if an underlying local hidden variable theory exists. In practice, the inequality is routinely violated by modern experiments in quantum mechanics.
Тәжірибелер
1982 жылы Ален Аспекттің екінші экспериментінен кейін жүргізілген көптеген Белл сынақтары CHSH теңсіздігін қолданып, (3) шарттарын бағалады және әділ таңдау жасалынды деп есептеді. Теңсіздіктің айқын бұзылу жағдайлары тіркелді. Көптеген тәжірибелерде Белл бастапқыда қарастырған электрондардың орнына жарық қолданылды. Ең танымал тәжірибелерде қызығушылық тудыратын қасиет – поляризация бағыты, бірақ басқа да қасиеттерді пайдалануға болады. Суретте әдеттегі оптикалық тәжірибе көрсетілген. Бір уақытта тіркелген оқиғалар (қосымша анықтамалар) жазылады, нәтижелер '++', '+−', '−+' немесе '−−' деп жіктеледі және сәйкес сандар жинақталады. S (,) сынақ статистикасының төрт шартымен сәйкес келетін төрт жеке суб-тәжірибе жүргізіледі. 1=a = 0°, 1=a′ = 45°, 1=b = 22.5° және 1=b′ = 67.5° параметрлері әдетте тәжірибеде таңдалады – "Белл сынақ бұрыштары", себебі кванттық механикалық формула осы бұрыштарда теңсіздіктің ең үлкен бұзылуын көрсетеді. a және b-нің әрбір таңдалған мәні үшін әрбір санаттағы қосымша оқиғалардың саны тіркеледі. Эксперименттік бағалау келесідей есептеледі:
Барлық E шамалары бағаланғаннан кейін, S (теңдеусіздік) үшін эксперименттік бағалауды табуға болады. Егер ол 2-ден артық болса, онда CHSH теңсіздігі бұзылған болып есептеледі және тәжірибе кванттық механиканың болжамын растады, ал барлық жергілікті жасырын айнымалылар теорияларын жоққа шығарды деп жарияланады. CHSH мақаласында қарапайым теорема мен формуланы алу үшін көптеген алғышарттар (немесе "негізді және/немесе ықтимал болжамдар") тізімделген. Мысалы, әдіс дұрыс болуы үшін, анықталған жұптар шығарылған жұптардың әділ үлгісі болуы керек деп есептеу қажет. Нақты тәжірибелерде детекторлар 100% тиімді болмайды, сондықтан шығарылған жұптардың тек бір бөлігі ғана анықталады. Сонымен қатар, жасырын айнымалылар эксперименттің әр тармағында әртүрлі үлгілерге алып келетіндей анықтау ықтималдығына әсер етпеуі немесе анықтамауы керек. Әртүрлі зертханалар фотон жұптарымен, бериллий иондарымен, итербий иондарымен, рубидий атомдарымен, рубидий атомдарының толық бұлттарымен, алмастағы азот бос орындарымен және Джозефсон фазалық кубиттерімен CHSH теңсіздігін бұзды.
Жалпы кванттық күйдің оптималдық бұзылуы
Эксперименттік тәжірибеде екі бөлшектің идеалдық EPR жұбы болмауы мүмкін. Екі кубиттық тығыздық матрицасының CHSH теңсіздігін бұзуы үшін қажетті және жеткілікті шарт бар, ол осы жерде анықталған ең жоғары қол жетімді полином Smax арқылы беріледі. Бұл түйісуге негізделген кванттық кілт таратуда маңызды, онда құпия кілт жылдамдығы өлшеу корреляцияларының дәрежесіне байланысты. Элементтері Паули матрицалары болатын 3x3 нақты матрицаны енгізейік. Содан кейін, индекстері реттелген нақты симметриялық матрицаның өзіндік мәндерін және өзіндік векторларын табамыз. CHSH максималдық полиномы екі ең үлкен өзіндік мәнмен анықталады. Екі ортогональды күй үшін тиісінше +1 немесе -1 нәтиже беретін проективті өлшеуді оператор арқылы көрсетуге болады. Бұл өлшеу негізін таңдауды нақты бірлік вектор және Паули векторы арқылы параметрлеуге болады. CHSH ойынының кез келген кванттық стратегиясы үшін, бұрмалау делінеді. Бұл, атап айтқанда, жоғарыда сипатталған кванттық стратегияның CHSH ойыны үшін оңтайлы екенін білдіреді. Цирельсеннің теңсіздігі кез келген кванттық стратегияның ең жоғары сәттілік ықтималдығын белгілейді, және біз бұл ең жоғары сәттілік ықтималдығы жоғарыда сипатталған кванттық стратегиямен қол жеткізілетінін көрдік. Шын мәнінде, осы ең жоғары сәттілік ықтималдығына қол жеткізетін кез келген кванттық стратегия жоғарыда сипатталған канондық кванттық стратегияға изоморфты (нақты мағынада) болуы керек; бұл қасиет CHSH ойынының қатаңдығы деп аталады, ол алғаш Саммерс пен Вернерге жатқызылды. Формальды түрде, келесі нәтижеге ие боладымыз: Формальды емес айтқанда, жоғарыдағы теорема CHSH ойыны үшін кез келген оңтайлы стратегияны қарастырады, онда Алиса мен Боб үшін (изометриялармен берілген) негіздің жергілікті өзгеруі бар, олардың ортақ күйі EPR жұбының тензорлық көбейтіндісіне және қосымша көмекші күйге жіктеледі. Бұдан әрі, Алиса мен Бобтың байқалатындары және мінез-құлқы, бірлік түрлендірулеріне дейін, EPR жұбының тиісті кубиттеріндегі және байқалатындары сияқты болады. CHSH қатаңдығының жуық немесе сандық нұсқасын McKague және басқалар алған, олар егер кванттық стратегия үшін кейбір үшін, онда стратегия канондық кванттық стратегияға жақын изометриялар бар екенін дәлелдеген. Жуық қатаңдыққа қатысты теориялық дәлелдемелер де белгілі.
where the indices are sorted by Then, the maximal CHSH polynomial is determined by the two greatest eigenvalues,
The projective measurement that yields either +1 or −1 for two orthogonal states respectively, can be expressed by an operator The choice of this measurement basis can be parametrized by a real unit vector and the Pauli vector by expressing Then, the expected correlation in bases a, b is
The numerical values of the basis vectors, when found, can be directly translated to the configuration of the projective measurements. states that for any quantum strategy for the CHSH game, the bias Equivalently, it states that success probability
for any quantum strategy for the CHSH game. In particular, this implies the optimality of the quantum strategy described above for the CHSH game. Tsirelsen's inequality establishes that the maximum success probability of any quantum strategy is , and we saw that this maximum success probability is achieved by the quantum strategy described above. In fact, any quantum strategy that achieves this maximum success probability must be isomorphic (in a precise sense) to the canonical quantum strategy described above; this property is called the rigidity of the CHSH game, first attributed to Summers and Werner. More formally, we have the following result:
Informally, the above theorem states that given an arbitrary optimal strategy for the CHSH game, there exists a local change of basis (given by the isometries ) for Alice and Bob such that their shared state factors into the tensor of an EPR pair and an additional auxiliary state Furthermore, Alice and Bob's observables and behave, up to unitary transformations, like the and observables on their respective qubits from the EPR pair. An approximate or quantitative version of CHSH rigidity was obtained by McKague, et al. who proved that if you have a quantum strategy such that for some , then there exist isometries under which the strategy is close to the canonical quantum strategy. Representation theoretic proofs of approximate rigidity are also known.
Қолданбалар
CHSH ойыны кванттық түйісу және кванттық өлшеулерді сынау үшін пайдаланылатынын, ал CHSH ойынының беріктігі нақты түйісуді де, сондай-ақ нақты кванттық өлшеулерді де сынауға мүмкіндік беретінін ескеріңіз. Бұл өз кезегінде бүкіл кванттық есептеулерді сынауға немесе тіпті растауға мүмкіндік береді. Атап айтқанда, CHSH ойындарының беріктігі кванттық өкілеттік беруді тексеру, сертификатталған кездейсоқтық кеңейту және құрылғыға тәуелсіз криптография үшін протоколдар құруға қолданылды.