Введение
В физике неравенство CHSH может быть использовано в доказательстве теоремы Белла, утверждающей, что определенные следствия квантовой запутанности не могут быть воспроизведены локальными теориями скрытых переменных. Экспериментальное подтверждение нарушения этого неравенства рассматривается как свидетельство того, что природа не может быть описана такими теориями. CHSH – это аббревиатура, образованная из фамилий John Clauser, Michael Horne, Abner Shimony и Richard Holt, которые описали его в широко цитируемой статье, опубликованной в 1969 году. Неравенство представляет собой ограничение на статистическую вероятность возникновения "совпадений" в эксперименте по проверке неравенств Белла, которое должно выполняться, если существует базовая локальная теория скрытых переменных. На практике, современные квантовомеханические эксперименты регулярно демонстрируют нарушение этого неравенства.
In physics, the CHSH inequality can be used in the proof of Bell's theorem, which states that certain consequences of entanglement in quantum mechanics cannot be reproduced by local hidden variable theories. Experimental verification of the inequality being violated is seen as confirmation that nature cannot be described by such theories. CHSH stands for John Clauser, Michael Horne, Abner Shimony, and Richard Holt, who described it in a much cited paper published in 1969. is a constraint—on the statistical occurrence of "coincidences" in a Bell test—which is necessarily true if an underlying local hidden variable theory exists. In practice, the inequality is routinely violated by modern experiments in quantum mechanics.
Эксперименты
Многие тесты Белла, проведенные после второго эксперимента Алена Аспекта в 1982 году, использовали неравенство CHSH, оценивая слагаемые с использованием (3) и предполагая честную выборку. Были зафиксированы значительные нарушения неравенства. На практике в большинстве реальных экспериментов использовался свет, а не электроны, которые Белл изначально имел в виду. В наиболее известных экспериментах интересующим свойством является направление поляризации, хотя могут использоваться и другие свойства. На диаграмме показан типичный оптический эксперимент. Регистрируются совпадения (одновременные регистрации), результаты классифицируются как «++», «+−», «−+» или «−−», и соответствующие счетчики накапливают данные. Проводятся четыре отдельных подэксперимента, соответствующие четырем слагаемым в статистике теста S (выше). На практике обычно выбирают настройки 1=a = 0°, 1=a′ = 45°, 1=b = 22.5° и 1=b′ = 67.5° — так называемые «углы теста Белла», поскольку именно для них квантовомеханическая формула предсказывает наибольшее нарушение неравенства. Для каждого выбранного значения a и b регистрируется количество совпадений в каждой категории. Экспериментальная оценка для затем вычисляется как:
После того, как все E оценены, можно получить экспериментальную оценку S (Eq.). Если она численно превышает 2, это означает нарушение неравенства CHSH, и эксперимент считается подтверждающим предсказание квантовой механики и опровергающим все теории локальных скрытых переменных. В статье CHSH перечислены многочисленные предварительные условия (или «обоснованные и/или правдоподобные предположения»), необходимые для получения упрощенной теоремы и формулы. Например, для корректности метода необходимо предположить, что зарегистрированные пары являются репрезентативной выборкой из числа испущенных. В реальных экспериментах детекторы никогда не имеют 100% эффективности, поэтому регистрируется лишь часть испущенных пар. Важным, связанным с этим требованием является то, что скрытые переменные не должны влиять или определять вероятность регистрации таким образом, чтобы приводить к различным выборкам в разных частях эксперимента. Различные лаборатории продемонстрировали запутанность и нарушение неравенства CHSH с парами фотонов, парами ионов бериллия, парами ионов иттербия, парами атомов рубидия, целыми облаками атомов рубидия, дефектами азота в алмазах и кубитами фазового сдвига Джозефсона.
Оптимальное нарушение общего квантового состояния
В экспериментальной практике эти две частицы не образуют идеальную пару ЭПР. Существует необходимое и достаточное условие для матрицы плотности двух кубитов, чтобы нарушить неравенство CHSH, выраженное через максимально достижимый полином Smax, определенный в этом контексте. Это важно для квантового распределения ключа, основанного на запутанности, где скорость генерации секретного ключа зависит от степени корреляции измерений. Введем 3x3 вещественную матрицу с элементами , где – матрицы Паули. Затем найдем собственные значения и собственные векторы вещественной симметричной матрицы , где индексы упорядочены по величине. Максимальный полином CHSH определяется двумя наибольшими собственными значениями.
where the indices are sorted by Then, the maximal CHSH polynomial is determined by the two greatest eigenvalues,
The projective measurement that yields either +1 or −1 for two orthogonal states respectively, can be expressed by an operator The choice of this measurement basis can be parametrized by a real unit vector and the Pauli vector by expressing Then, the expected correlation in bases a, b is
The numerical values of the basis vectors, when found, can be directly translated to the configuration of the projective measurements. states that for any quantum strategy for the CHSH game, the bias Equivalently, it states that success probability
for any quantum strategy for the CHSH game. In particular, this implies the optimality of the quantum strategy described above for the CHSH game. Tsirelsen's inequality establishes that the maximum success probability of any quantum strategy is , and we saw that this maximum success probability is achieved by the quantum strategy described above. In fact, any quantum strategy that achieves this maximum success probability must be isomorphic (in a precise sense) to the canonical quantum strategy described above; this property is called the rigidity of the CHSH game, first attributed to Summers and Werner. More formally, we have the following result:
Informally, the above theorem states that given an arbitrary optimal strategy for the CHSH game, there exists a local change of basis (given by the isometries ) for Alice and Bob such that their shared state factors into the tensor of an EPR pair and an additional auxiliary state Furthermore, Alice and Bob's observables and behave, up to unitary transformations, like the and observables on their respective qubits from the EPR pair. An approximate or quantitative version of CHSH rigidity was obtained by McKague, et al. who proved that if you have a quantum strategy such that for some , then there exist isometries under which the strategy is close to the canonical quantum strategy. Representation theoretic proofs of approximate rigidity are also known.
Проективное измерение, дающее +1 или −1 для двух ортогональных состояний соответственно, может быть выражено оператором . Выбор базиса этого измерения может быть параметризован вещественным единичным вектором и вектором Паули, выраженным через него. Тогда ожидаемая корреляция в базисах a и b равна .
where the indices are sorted by Then, the maximal CHSH polynomial is determined by the two greatest eigenvalues,
The projective measurement that yields either +1 or −1 for two orthogonal states respectively, can be expressed by an operator The choice of this measurement basis can be parametrized by a real unit vector and the Pauli vector by expressing Then, the expected correlation in bases a, b is
The numerical values of the basis vectors, when found, can be directly translated to the configuration of the projective measurements. states that for any quantum strategy for the CHSH game, the bias Equivalently, it states that success probability
for any quantum strategy for the CHSH game. In particular, this implies the optimality of the quantum strategy described above for the CHSH game. Tsirelsen's inequality establishes that the maximum success probability of any quantum strategy is , and we saw that this maximum success probability is achieved by the quantum strategy described above. In fact, any quantum strategy that achieves this maximum success probability must be isomorphic (in a precise sense) to the canonical quantum strategy described above; this property is called the rigidity of the CHSH game, first attributed to Summers and Werner. More formally, we have the following result:
Informally, the above theorem states that given an arbitrary optimal strategy for the CHSH game, there exists a local change of basis (given by the isometries ) for Alice and Bob such that their shared state factors into the tensor of an EPR pair and an additional auxiliary state Furthermore, Alice and Bob's observables and behave, up to unitary transformations, like the and observables on their respective qubits from the EPR pair. An approximate or quantitative version of CHSH rigidity was obtained by McKague, et al. who proved that if you have a quantum strategy such that for some , then there exist isometries under which the strategy is close to the canonical quantum strategy. Representation theoretic proofs of approximate rigidity are also known.
Численные значения базисных векторов, когда они найдены, могут быть непосредственно соотнесены с конфигурацией проективных измерений. Утверждается, что для любой квантовой стратегии в игре CHSH вероятность успеха равна . В частности, это подразумевает оптимальность квантовой стратегии, описанной выше, для игры CHSH. Неравенство Цирельсона устанавливает, что максимальная вероятность успеха любой квантовой стратегии равна , и мы видим, что эта максимальная вероятность достигается описанной выше квантовой стратегией. Фактически, любая квантовая стратегия, достигающая этой максимальной вероятности успеха, должна быть изоморфна (в точном смысле) канонической квантовой стратегии, описанной выше; это свойство называется жесткостью игры CHSH и впервые было отмечено Саммерсом и Вернером. Более формально, мы имеем следующий результат:
where the indices are sorted by Then, the maximal CHSH polynomial is determined by the two greatest eigenvalues,
The projective measurement that yields either +1 or −1 for two orthogonal states respectively, can be expressed by an operator The choice of this measurement basis can be parametrized by a real unit vector and the Pauli vector by expressing Then, the expected correlation in bases a, b is
The numerical values of the basis vectors, when found, can be directly translated to the configuration of the projective measurements. states that for any quantum strategy for the CHSH game, the bias Equivalently, it states that success probability
for any quantum strategy for the CHSH game. In particular, this implies the optimality of the quantum strategy described above for the CHSH game. Tsirelsen's inequality establishes that the maximum success probability of any quantum strategy is , and we saw that this maximum success probability is achieved by the quantum strategy described above. In fact, any quantum strategy that achieves this maximum success probability must be isomorphic (in a precise sense) to the canonical quantum strategy described above; this property is called the rigidity of the CHSH game, first attributed to Summers and Werner. More formally, we have the following result:
Informally, the above theorem states that given an arbitrary optimal strategy for the CHSH game, there exists a local change of basis (given by the isometries ) for Alice and Bob such that their shared state factors into the tensor of an EPR pair and an additional auxiliary state Furthermore, Alice and Bob's observables and behave, up to unitary transformations, like the and observables on their respective qubits from the EPR pair. An approximate or quantitative version of CHSH rigidity was obtained by McKague, et al. who proved that if you have a quantum strategy such that for some , then there exist isometries under which the strategy is close to the canonical quantum strategy. Representation theoretic proofs of approximate rigidity are also known.
Неформально, вышеуказанная теорема утверждает, что для любой оптимальной стратегии в игре CHSH существует локальное изменение базиса (определенное изометриями) для Алисы и Боба, такое что их общее состояние раскладывается в тензорное произведение пары ЭПР и дополнительного вспомогательного состояния. Кроме того, наблюдаемые Алисы и Боба ведут себя, с точностью до унитарных преобразований, как наблюдаемые на соответствующих кубитах из пары ЭПР. Приблизительная или количественная версия жесткости CHSH была получена McKague и др., которые доказали, что если существует квантовая стратегия такая, что для некоторого , то существуют изометрии, при которых эта стратегия близка к канонической квантовой стратегии. Также известны теоретические доказательства приближенной жесткости, основанные на теории представлений.
where the indices are sorted by Then, the maximal CHSH polynomial is determined by the two greatest eigenvalues,
The projective measurement that yields either +1 or −1 for two orthogonal states respectively, can be expressed by an operator The choice of this measurement basis can be parametrized by a real unit vector and the Pauli vector by expressing Then, the expected correlation in bases a, b is
The numerical values of the basis vectors, when found, can be directly translated to the configuration of the projective measurements. states that for any quantum strategy for the CHSH game, the bias Equivalently, it states that success probability
for any quantum strategy for the CHSH game. In particular, this implies the optimality of the quantum strategy described above for the CHSH game. Tsirelsen's inequality establishes that the maximum success probability of any quantum strategy is , and we saw that this maximum success probability is achieved by the quantum strategy described above. In fact, any quantum strategy that achieves this maximum success probability must be isomorphic (in a precise sense) to the canonical quantum strategy described above; this property is called the rigidity of the CHSH game, first attributed to Summers and Werner. More formally, we have the following result:
Informally, the above theorem states that given an arbitrary optimal strategy for the CHSH game, there exists a local change of basis (given by the isometries ) for Alice and Bob such that their shared state factors into the tensor of an EPR pair and an additional auxiliary state Furthermore, Alice and Bob's observables and behave, up to unitary transformations, like the and observables on their respective qubits from the EPR pair. An approximate or quantitative version of CHSH rigidity was obtained by McKague, et al. who proved that if you have a quantum strategy such that for some , then there exist isometries under which the strategy is close to the canonical quantum strategy. Representation theoretic proofs of approximate rigidity are also known.
Приложения
Обратите внимание, что игра CHSH можно рассматривать как проверку квантовой запутанности и квантовых измерений, а жесткость игры CHSH позволяет тестировать не только конкретную запутанность, но и конкретные квантовые измерения. Это, в свою очередь, может быть использовано для тестирования и даже верификации целых квантовых вычислений. В частности, жесткость игр CHSH была использована для разработки протоколов проверяемой квантовой делегирования, сертифицированного расширения случайности и криптографии, не зависящей от устройства.