Сандар: мағынасы, тарихы және түрлері

Кіріспе

Санауға, өлшеуге және таңбалауға қолданылады.

Сан – санауға, өлшеуге және таңбалауға қолданылатын математикалық ұғым. Ең қарапайым мысалдар – 1, 2, 3, 4 және т.б. табиғи сандар. Сандарды тілде сандық сөздермен көрсетуге болады. Көбінесе жеке сандарды цифрлар деп аталатын белгілермен бейнелеуге болады, мысалы, "5" цифры бес санын көрсетеді. Белгілердің жадында сақталуы шектеулі болғандықтан, негізгі цифрлар әдетте сандық жүйеде ұйымдастырылады, ол кез келген санды көрсетудің реттелген тәсілі. Ең көп тараған сандық жүйе – индус-араб сандық жүйесі, ол он негізгі цифрдің комбинациясын пайдаланып, кез келген теріс емес бүтін санды көрсетуге мүмкіндік береді. Сандар санау мен өлшеуде ғана емес, сонымен қатар таңбалау (мысалы, телефон нөмірлері), реттеу (мысалы, сериялық нөмірлер) және кодтау (мысалы, ISBN) үшін де қолданылады. Күнделікті қолданыста цифр мен ол көрсететін сан арасында нақты айырма жасалмайды. Математикада сан ұғымы ғасырлар бойы кеңейіп, нөлді (0), теріс сандарды, жарты сияқты рационал сандарды, 2-нің квадрат түбірі сияқты нақты сандарды және -1-дің квадрат түбірін қамтитын (және оның нақты сандармен қосылуынан немесе азайтуынан туындаған комбинацияларын) кешенді сандарды қамтиды. Мысалы, батыс қоғамында 13 саны көбінесе бақытсыздықпен байланыстырылады, ал "миллион" сөзі нақты сан емес, "көп" мағынасын білдіреді. Нумерология грек математикасының дамуына зор ықпал етті, сандар теориясының көптеген мәселелерін зерттеуге түрткі болды, олар бүгінгі күнге дейін қызығушылық туғызып келеді.

Сандарды алғаш рет қолдану

Сүйектер мен басқа да артефактілерде кесілген іздер табылды, олардың көптегені есептік белгілер деп саналады. Бұл есептік белгілер өткен уақытты санау үшін, мысалы, күндер саны, ай фазалары немесе жануарлар сияқты сандық көрсеткіштерді тіркеу үшін қолданылған болуы мүмкін. Есептік жүйеде орындық мән ұғымы болмайды (қазіргі ондық санау жүйесіндегідей), бұл үлкен сандарды көрсету мүмкіндігін шектейді. Дегенмен, есептік жүйелер абстрактілі сандық жүйенің алғашқы түрі саналады. Орындық мәні бар алғашқы белгілі жүйе – Месопотамияның 60-тық санау жүйесі (шамамен б.з.д. 3400 ж.), ал 10-дық санау жүйесінің ең ерте белгілі мысалы Мысырда б.з.д. 3100 жылға дейін жетеді.

Сандар

Сандар, сандарды бейнелейтін символдардан – яғни, цифрлардан ерекшеленуі керек. Мысырлықтар алғашқы шифрланған сандық жүйені ойлап тапты, ал гректер одан кейін санау сандарын иондық және дорийлік әліпбилеріне бейімдеді. Римдік сандар, Рим әліпбиінен әріптердің комбинацияларын қолданған жүйе, 14 ғасырдың соңында жоғары сапалы индус-араб сандық жүйесі тарағанға дейін Еуропада басым болды, ал индус-араб сандық жүйесі бүгінде әлемде сандарды көрсетудің ең көп таралған жүйесі болып табылады. Жүйенің тиімділігінің кілті – біздің заманымыздың 500 жылында ежелгі үнді математиктері жасаған нөлдің символы болды. Осыған ұқсас, Панини (б.з.д. V ғасыр) санскрит тілі үшін алгебралық грамматиканың алғашқы үлгісі «Аштадхьяи» еңбегінде нөлдік (нөл) операторды қолданды (Пингала туралы да қараңыз). Брахмагуптадан бұрын нөлдің басқа да қолданыстары болған, бірақ құжаттама «Брахмафутсасиддханта» еңбегіндегідей толық емес. Жазбалардан көрінетіндей, ежелгі гректер 0-дің сан ретінде мәртебесіне сенімсіз болған: олар өзіне-өзі «Неліктен «ешнәрсе» бір нәрсе болуы мүмкін?» деген сұрақ қойды, бұл 0 мен вакуумның табиғаты мен болуы туралы қызықты философиялық және орта ғасырлардағы діни пікірталастарға әкелді. Элеялық Зенонның парадокстары 0-дің нақты түсіндірілуіне байланысты. (Ежелгі гректер тіпті 0-дің сан екендігіне күмән келтірді.) Оңтүстік-орталық Мексиканың кеш ольмек халқы жаңа әлемде нөлдің символын – қабықша пішіндес глифті, бәлкім б.з.д. 4 ғасырда, бірақ әрине б.з.д. 40 жылы қолданды, ол Майя цифрлары мен Майя күнтізбесінің ажырамас бөлігіне айналды. Майя арифметикасы 4-тік және 5-тік базаларды қолданды, олар 20-лық база ретінде жазылған. Джордж И. Санчес 1961 жылы 4-тік, 5-тік «саусақ» абакасы туралы хабарлады. 130 жылы Птолемей, Гиппарх пен вавилондықтардың ықпалымен, сексагезимал сандық жүйеде 0 символын (ұзын сызығы бар кішкентай шеңбер) қолданды, әйтпесе грек сандарын әліпбилік түрде қолданды. Ол тек орын сақтағыш ретінде емес, жеке қолданылғандықтан, бұл эллиндік нөл Ескі әлемде нақты нөлдің алғашқы құжатталған қолданылуы болды. Кейінгі Византия қолжазбаларында оның «Syntaxis Mathematica» (Almagest) еңбегіндегі грек нөлі грек әрпі Омикронға (басқаша айтқанда 70 деген мағынаны білдіреді) айналды. Тағы бір нақты нөл 525 жылы римдік сандармен бірге кестелерде қолданылды (бірінші рет Дионисий Эксигус қолданды), бірақ сөз ретінде, nulla – ештеңе деген мағынаны білдіретін символ ретінде емес. Бөліну нәтижесінде 0 қалдық ретінде шыққанда, nihil – ештеңе деген мағынаны білдіретін сөз қолданылды. Бұл орта ғасырлық нөлдерді болашақтағы орта ғасырлық барлық есептеушілер (пасахты есептеушілер) қолданды. Олардың бастапқы әрпі, N, Бед немесе оның әріптесі шамамен 725 жылы римдік сандар кестесінде, нақты нөл символы ретінде қолданылды.

Numbers should be distinguished from numerals, the symbols used to represent numbers. The Egyptians invented the first ciphered numeral system, and the Greeks followed by mapping their counting numbers onto Ionian and Doric alphabets. Roman numerals, a system that used combinations of letters from the Roman alphabet, remained dominant in Europe until the spread of the superior Hindu–Arabic numeral system around the late 14th century, and the Hindu–Arabic numeral system remains the most common system for representing numbers in the world today. The key to the effectiveness of the system was the symbol for zero, which was developed by ancient Indian mathematicians around 500 AD. In a similar vein, Pāṇini (5th century BC) used the null (zero) operator in the Ashtadhyayi, an early example of an algebraic grammar for the Sanskrit language (also see Pingala). There are other uses of zero before Brahmagupta, though the documentation is not as complete as it is in the Brāhmasphuṭasiddhānta. Records show that the Ancient Greeks seemed unsure about the status of 0 as a number: they asked themselves "How can 'nothing' be something?" leading to interesting philosophical and, by the Medieval period, religious arguments about the nature and existence of 0 and the vacuum. The paradoxes of Zeno of Elea depend in part on the uncertain interpretation of 0. (The ancient Greeks even questioned whether was a number.) The late Olmec people of south central Mexico began to use a symbol for zero, a shell glyph, in the New World, possibly by the 4th century BC but certainly by 40 BC, which became an integral part of Maya numerals and the Maya calendar. Maya arithmetic used base 4 and base 5 written as base 20. George I. Sánchez in 1961 reported a base 4, base 5 "finger" abacus. By 130 AD, Ptolemy, influenced by Hipparchus and the Babylonians, was using a symbol for 0 (a small circle with a long overbar) within a sexagesimal numeral system otherwise using alphabetic Greek numerals. Because it was used alone, not as just a placeholder, this Hellenistic zero was the first documented use of a true zero in the Old World. In later Byzantine manuscripts of his Syntaxis Mathematica (Almagest), the Hellenistic zero had morphed into the Greek letter Omicron (otherwise meaning 70). Another true zero was used in tables alongside Roman numerals by 525 (first known use by Dionysius Exiguus), but as a word, nulla meaning nothing, not as a symbol. When division produced 0 as a remainder, nihil, also meaning nothing, was used. These medieval zeros were used by all future medieval computists (calculators of Easter). An isolated use of their initial, N, was used in a table of Roman numerals by Bede or a colleague about 725, a true zero symbol.

Теріс сандар

Теріс сандардың абстрактілік ұғымы Қытайда б.з.б. 100–50 жылдарға дейін танылған. Математикалық өнердің тоғыз тарауы фигуралардың ауданын табу әдістерін қамтиды; оң коэффициенттерді көрсету үшін қызыл таяқшалар, теріс коэффициенттер үшін қара таяқшалар пайдаланылды. Батыс еңбектеріндегі алғашқы сілтеме 3-шы ғасырда Грецияда кездеседі. Диофант «Арифметика» еңбегінде (шешімі теріс) теңдеуіне балама теңдеуге сілтеме жасап, оның абсурдты нәтиже беретінін айтқан. 600-шы жылдары Үндістанда қарыздарды көрсету үшін теріс сандар қолданылған. Диофанттың бұрынғы сілтемесі 628 жылы Үндістан математигі Брахмагуптаның «Брахмафутсаиддханта» еңбегінде толыққандырақ талқыланды, ол теріс сандарды бүгінге дейін қолданылып келе жатқан жалпы формулалы квадрат теңдеуін шығару үшін пайдаланған. Алайда, 12-шы ғасырда Үндістанда Бхаскара квадрат теңдеулердің теріс түбірлерін келтірген, бірақ теріс мәннің «бұл жағдайда қабылдануы тиіс емес, себебі ол жеткіліксіз; адамдар теріс түбірлерді жақтырмайды» деді. Еуропалық математиктер, көбінесе, 17-шы ғасырға дейін теріс сандар тұжырымын қабылдауға қарсылық көрсетті, бірақ Фибоначчи қаржылық мәселелерде теріс шешімдерге рұқсат берді, оларды борыштар ретінде (1202 жылғы «Liber Abaci» еңбегінің 13-ші тарауы) және кейіннен шығындар ретінде («Flos» еңбегінде) түсіндіруге болатындығын көрсетті. Рене Декарт оларды алгебралық полиномдарда пайда болғандықтан жалған түбірлер деп атады, бірақ ол шынайы және жалған түбірлерді алмастырудың жолын тапты. Сонымен қатар, қытайлықтар теріс сандарды оң санның ең оң жақтағы нөлдік емес цифрының үстінен диагональ сызық жүргізу арқылы көрсеткен. Еуропалық еңбектерде теріс сандарды алғаш рет 15-шы ғасырда Николас Чуке қолданған. Ол оларды көрсеткіш ретінде пайдаланған, бірақ оларды «абсурдты сандар» деп атаған. 18-шы ғасырға дейін теңдеулерден алынған теріс нәтижелерді олардың мағынасыздығына байланысты елемеу жиі кездесетін жағдай болды.

Рационалды сандар

Бөлшек сандар туралы түсінік тарихқа дейінгі дәуірден бастау алған болуы мүмкін. Ежелгі египеттіктер рационалды сандарды көрсету үшін египеттік бөлшектерді Ринд математикалық папирусы және Кахун папирусы сияқты математикалық мәтіндерде пайдаланған. Классикалық грек және үнді математиктері сан теориясын зерттеудің бір бөлігі ретінде рационалды сандар теориясын зерттеді. Олардың ең белгілісі – шамамен б.з.д. 300 жылға дейін жатқан Евклидтің «Элементтер» еңбегі. Үнді мәтіндерінің ішіндегі ең маңыздысы – сан теориясын математиканы жалпы зерттеудің бір бөлігі ретінде қамтитын Стангана Сутра. Ондық бөлшектердің ұғымы ондық позициялық санау жүйесімен тығыз байланысты; олардың дамуы шамалы айырмашылықпен бірге жүрген сияқты. Мысалы, джайн математикалық сутраларында пі немесе 2-нің квадрат түбіріне ондық бөлшекпен жуықтау есептеулері кездеседі. Сол сияқты, вавилондық математикалық мәтіндерде 60-тық (негізгі 60) бөлшектер жиі қолданылған.

Иррационалды сандар

Иррационал сандарды қолданудың ең ерте белгілі мысалы б.з.б. 800 және 500 жылдар аралығында жазылған үнді Сульба сутраларында кездеседі. Иррационал сандардың алғашқы дәлелдемесі көбінесе Пифагорға, нақтырақ айтқанда, Метапонттық Пифагорлық Гиппасқа жатқызылады, ол 2-нің квадрат түбірінің иррационалдығын (көбінесе геометриялық) дәлелдеген. Аңыз бойынша, Гиппас 2-нің квадрат түбірін бөлшек ретінде көрсетуге тырысқанда иррационал сандарды ашқан. Алайда, Пифагор сандардың абсолюттілігіне сенген және иррационал сандардың бар екенін қабылдай алмады. Ол логикалық тұрғыдан олардың бар екенін жоққа шығара алмады, бірақ иррационал сандарды қабылдай алмады, сондықтан, жиі айтылатындай, осы алаңдатарлық жаңалықтың таралуын тоқтату үшін Гиппасты суға батырып өлімге кесті. 16 ғасырда Еуропалықтардың теріс бүтін және бөлшек сандарды қабылдауы аяқталды. 17 ғасырда математиктер көбінесе қазіргі нотациямен ондық бөлшектерді қолданды. Дегенмен, 19 ғасырға дейін математиктер иррационал сандарды алгебралық және трансценденттік бөліктерге бөлген жоқ және иррационал сандарды ғылыми тұрғыдан зерттеуді қайта қолға алды. Ол Евклидтен бері дерлік тоқтатылған еді. 1872 жылы Карл Вейерштрастың (оның шәкірті Э. Коссак арқылы), Эдуард Гейне, Георг Кантор және Рихард Дедекиндтің теориялары жарияланды. 1869 жылы Шарль Мерай Гейне сияқты бастапқы нүктені алды, бірақ теория көбінесе 1872 жылға қатысты. Вейерштрастың әдісін Сальваторе Пинчерле (1880) толыққанды түсіндірді, ал Дедекиндтің әдісі автордың кейінгі еңбегі (1888) және Поль Таннеридің (1894) қолдауы арқасында қосымша маңызға ие болды. Вейерштрасс, Кантор және Гейне өз теорияларын шексіз қатарларға негіздесе, Дедекинд өзінің теориясын нақты сандар жүйесіндегі кесу (Schnitt) идеясына негіздеді, барлық рационал сандарды белгілі бір қасиеттері бар екі топқа бөліп қарастырды. Бұл тақырып бойынша кейінірек Вейерштрасс, Кронекер және Мерай да еңбек етті. Бесінші және одан жоғары дәрежелі теңдеулердің түбірлерін табу маңызды жетістік болды, Абель-Руффини теоремасы (Руффини 1799, Абель 1824) оларды радикалдар арқылы (тек арифметикалық амалдар мен түбірлерді қамтитын формулалар) шеше алмайтынын көрсетті. Сондықтан алгебралық сандардың кеңірек жиынтығын (полиномдық теңдеулердің барлық шешімдерін) қарастыру қажет болды. Галуа (1832) полиномдық теңдеулерді топтар теориясымен байланыстырып, Галуа теориясының пайда болуына себепкер болды. Иррационал сандармен тығыз байланысты жалғастырылған бөлшектер (Катальдиге байланысты, 1613), Эйлердің назарына ілікті, ал 19 ғасырдың басында Жозеф Луи Лагранжтың еңбектері арқылы маңызға ие болды. Друккенмюллер (1837), Кунце (1857), Лемке (1870) және Гюнтер (1872) де елеулі үлес қосты. Рамус бұл пәнді алғаш рет детерминанттармен байланыстырды, нәтижесінде Хейне, Мебиус және Гюнтердің кейінгі үлестерімен Кеттенбрук детерминанттарының теориясы пайда болды.

The earliest known use of irrational numbers was in the Indian Sulba Sutras composed between 800 and 500 BC. The first existence proofs of irrational numbers is usually attributed to Pythagoras, more specifically to the Pythagorean Hippasus of Metapontum, who produced a (most likely geometrical) proof of the irrationality of the square root of 2. The story goes that Hippasus discovered irrational numbers when trying to represent the square root of 2 as a fraction. However, Pythagoras believed in the absoluteness of numbers, and could not accept the existence of irrational numbers. He could not disprove their existence through logic, but he could not accept irrational numbers, and so, allegedly and frequently reported, he sentenced Hippasus to death by drowning, to impede spreading of this disconcerting news. The 16th century brought final European acceptance of negative integral and fractional numbers. By the 17th century, mathematicians generally used decimal fractions with modern notation. It was not, however, until the 19th century that mathematicians separated irrationals into algebraic and transcendental parts, and once more undertook the scientific study of irrationals. It had remained almost dormant since Euclid. In 1872, the publication of the theories of Karl Weierstrass (by his pupil E. Kossak), Eduard Heine, Georg Cantor, and Richard Dedekind was brought about. In 1869, Charles Méray had taken the same point of departure as Heine, but the theory is generally referred to the year 1872. Weierstrass's method was completely set forth by Salvatore Pincherle (1880), and Dedekind's has received additional prominence through the author's later work (1888) and endorsement by Paul Tannery (1894). Weierstrass, Cantor, and Heine base their theories on infinite series, while Dedekind founds his on the idea of a cut (Schnitt) in the system of real numbers, separating all rational numbers into two groups having certain characteristic properties. The subject has received later contributions at the hands of Weierstrass, Kronecker, and Méray. The search for roots of quintic and higher degree equations was an important development, the Abel–Ruffini theorem (Ruffini 1799, Abel 1824) showed that they could not be solved by radicals (formulas involving only arithmetical operations and roots). Hence it was necessary to consider the wider set of algebraic numbers (all solutions to polynomial equations). Galois (1832) linked polynomial equations to group theory giving rise to the field of Galois theory. Continued fractions, closely related to irrational numbers (and due to Cataldi, 1613), received attention at the hands of Euler, and at the opening of the 19th century were brought into prominence through the writings of Joseph Louis Lagrange. Other noteworthy contributions have been made by Druckenmüller (1837), Kunze (1857), Lemke (1870), and Günther (1872). Ramus first connected the subject with determinants, resulting, with the subsequent contributions of Heine, Möbius, and Günther, in the theory of Kettenbruchdeterminanten.

Трансцендентальды сандар мен нақты сандар

Трансцендентальды сандардың бар екендігін алғаш рет Лиувилл (1844, 1851) дәлелдеді. Гермит 1873 жылы e санының трансцендентальды екенін, ал Линдеман 1882 жылы π санының трансцендентальды екенін көрсетті. Соңында, Кантор нақты сандар жиынының санаусыз шексіз екенін, ал алгебралық сандар жиынының санаулы шексіз екенін көрсетті, демек трансцендентальды сандардың санаусыз көп саны бар.

Шексіз және шексіз кішкентайлар

Математикалық шексіздік туралы ең ерте белгілі ұғым ежелгі үнділік жазу Яджур Ведада кездеседі, онда бір жерде былай делінеді: «Егер шексізден бір бөлігін алып тастасаң немесе шексізге бір бөлігін қоссаң да, қалғаны әлі де шексіз болады». Шексіздік б.з.д. 400 жылдары джайна математиктері арасында философиялық зерттеулердің танымал тақырыбы болды. Олар бес түрлі шексіздікті ажыратты: бір және екі бағытта шексіз, аумақтық шексіздік, барлық жерде шексіз және мәңгілік шексіздік. символы көбінесе шексіз шаманы бейнелеу үшін қолданылады. Аристотель математикалық шексіздік туралы дәстүрлі батыс түсінігін қалыптастырды. Ол нақты шексіздік пен потенциалды шексіздік арасын ажыратты – жалпы пікір бойынша, тек соңғысы ғана нағыз құндылыққа ие. Галилео Галилейдің «Екі жаңа ғылым» атты еңбегінде шексіз жиындардың бірін-біріне сәйкес келуі туралы мәселе талданды. Бірақ теориядағы келесі маңызды қадамды Георг Кантор жасады; 1895 жылы ол өзінің жаңа жиын теориясы туралы кітап жариялады, онда трансфинитті сандарды енгізіп, континуум гипотезасын тұжырымдады. 1960 жылдары Абрахам Робинсон шексіз үлкен және шексіз кішкентай сандарды қатаң түрде қалай анықтауға болатынын және оларды стандартты емес анализ саласын дамыту үшін қалай пайдалануға болатынын көрсетті. Гипернақты сандар жүйесі – Ньютон мен Лейбниц шексіз есептеуді ойлап тапқаннан бері математиктер, ғалымдар және инженерлер кездейсоқ қолданған шексіз және шексіз кішкентай сандар туралы идеяларды қарастырудың қатаң әдісі. Шексіздіктің қазіргі заманғы геометриялық түрі проективті геометрия арқылы беріледі, ол әрбір кеңістіктік бағыт үшін «шексіздіктегі идеалдық нүктелерді» енгізеді. Белгілі бір бағыттағы параллель түзулердің әрбір отбасы сәйкес идеалдық нүктеге жиналады деп постулатталады. Бұл перспективалық суреттегі жоғалу нүктелері туралы идеямен тығыз байланысты.

Бастапқы сандар

Бастапқы сандар тарихта зерттеліп келді. Олар тек 1 және өздеріне ғана бөлінетін оң бүтін сандар. Евклид "Элементтер" атты бір кітабын бастапқы сандар теориясына арнады; онда ол бастапқы сандардың шексіздігін және арифметиканың негізгі теоремасын дәлелдеді, сондай-ақ екі санның ең үлкен ортақ бөлгішін табу үшін Евклид алгоритмін ұсынды. Б.з.д. 240 жылы Эратостен бастапқы сандарды жылдам анықтау үшін Эратостеннің ілгісін қолданды. Бірақ Еуропадағы бастапқы сандар теориясының одан әрі дамуы Ренессанс және одан кейінгі кезеңдерге жатады. 1796 жылы Адриен Мари Лежендр бастапқы сандардың асимптотикалық таралуын сипаттайтын бастапқы сандар теоремасын болжады. Бастапқы сандардың таралуына қатысты басқа да нәтижелерге Эйлердің бастапқы сандардың кері шамаларының қосындысының шексіздігін дәлелдеуі және Голдбах болжамы кіреді, ол кез келген жеткілікті үлкен жұп санды екі бастапқы санның қосындысы ретінде көрсетеді. Бастапқы сандардың таралуымен байланысты тағы бір болжам – 1859 жылы Бернхард Риманн ұсынған Риманн гипотезасы. Бастапқы сандар теоремасын Жак Адамар мен Шарль де ла Валле Пуссен 1896 жылы ақыры дәлелдеді. Голдбах және Риманн болжамдары әлі де дәлелденбеген және жоққа шығарылмаған күйде қалып отыр.

Негізгі жіктелуі

Сандар жиынтықтарға жіктелуі мүмкін, олар сандар жиынтығы немесе сандық жүйелер деп аталады, мысалы, натурал сандар және нақты сандар. Негізгі сандық жүйелер келесідей:
+ Негізгі сандық жүйелер 0, 1, 2, 3, 4, 5 немесе 1, 2, 3, 4, 5, немесе кейде қолданылады. Бүтін сандар −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, Рационалдық сандар, мұнда a және b бүтін сандар және b 0-ге тең емес. Нақты сандар – рационалды сандардың жайылма тізбегінің лиміті. Комплексті сандар a + bi, мұнда a және b нақты сандар, ал i – −1 санының формалды квадрат түбірі. Осы сандық жүйелердің әрқайсысы келесісінің ішкі жиыны болып табылады. Сонымен, мысалы, рационалды сан – сонымен қатар нақты сан, ал әрбір нақты сан – сонымен қатар комплекс сан. Бұл символдық түрде келесідей көрсетілуі мүмкін.
Сандар жиынтығының толық тізімі төмендегі диаграммада келтірілген.

Натурал сандар

Ең танымал сандар — табиғи сандар (кейде бүтін сандар немесе санау сандары деп аталады): 1, 2, 3 және т.б. Дәстүр бойынша, табиғи сандар тізімі 1-ден басталады (0 ежелгі гректер үшін тіпті сан ретінде қарастырылмаған). Алайда, 19 ғасырда жиын теориясымен айналысатын математиктер мен басқа ғалымдар 0-ді (бос жиынның кардиналдығы, яғни 0 элемент, сол себепті 0 – ең кіші кардиналды сан) табиғи сандар жиынына қосуды бастады. Бүгінде әртүрлі математиктер бұл терминді 0-ді қамтитын немесе қамтимайтын екі жиынды да сипаттау үшін қолданады. Табиғи сандар жиынының математикалық белгісі – N, сондай-ақ жазылады , және кейде немесе жиын 0-ден немесе 1-ден басталуы керек екенін көрсету қажет болғанда қолданылады. Қазіргі таңда математикалық амалдар үшін дерлік барлық жерде қолданылатын 10-дық сандар жүйесінде табиғи сандарды жазу үшін он цифр қолданылады: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 және 9. Радикс немесе негіз – сандар жүйесі сандарды көрсету үшін пайдаланатын, нөлді қоса алғанда, бірегей сандық цифрлардың саны (ондық жүйе үшін радикс – 10). Бұл 10-дық жүйеде табиғи санның ең оң жақ цифрының разряды 1-ге тең, ал қалған әр цифрдың разряды оң жақтағы цифрдың разрядынан он есе артық. Жиын теориясында, қазіргі заманғы математиканың аксиоматикалық негізі бола алатын сала, табиғи сандар эквивалентті жиындар кластары арқылы көрсетілуі мүмкін. Мысалы, 3 саны дәл үш элементі бар барлық жиындар класы ретінде көрсетілуі мүмкін. Басқаша айтқанда, Пеано арифметикасында 3 саны sss0 ретінде көрсетіледі, мұнда s – «кейінгі» функция (яғни 3 – 0-дің үшінші кейінгісі). Көптеген түрлі көрсетулер мүмкін; 3-ті формалды түрде көрсету үшін белгілі бір символ немесе символдардың комбинациясын үш рет жазу жеткілікті.

Бүкіл сандар

Оң бүтін санның теріс саны – сол оң бүтін санға қосылғанда 0-ге тең болатын сан ретінде анықталады. Теріс сандар көбінесе теріс белгімен (минус белгісі) жазылады. Мысалы, 7-нің теріс саны –7 деп жазылады, ал теріс сандар жиыны табиғи сандар жиынымен (0-ді қоса алғанда) біріктірілгенде, бүтін сандар жиыны деп аталады, және Z арқылы да белгіленеді. Мұндағы Z әрпі осыны білдіреді. Бүтін сандар жиыны қосу және көбейту амалдары бойынша сақина құрайды. Табиғи сандар бүтін сандар жиынының ішкі жиыны болып табылады. 0-ді табиғи сандарға кіргізу немесе кіргізбеу бойынша жалпы қабылданған стандарт болмағандықтан, 0-сіз табиғи сандар оң бүтін сандар деп аталады, ал 0-мен бірге табиғи сандар теріс емес бүтін сандар деп аталады.

Нақты сандар

Нақты сандардың символы R, сонымен қатар олар барлық өлшеу сандарын қамтиды деп жазылады. Әрбір нақты сан сан сызығының бір нүктесіне сәйкес келеді. Келесі абзацта негізінен оң нақты сандарға назар аударылады. Теріс нақты сандарды есептеу арифметиканың жалпы ережелеріне сәйкес жүргізіледі және оларды белгілеу – тек оң санның алдына минус белгісін қою, мысалы, −123.456. Көптеген нақты сандарды тек ондық сандар арқылы ғана шамалауға болады, онда ондық нүкте 1-ге тең санның орнын белгілейтін цифрдың оң жағына орналастырылады. Ондық нүктеден оң жақтағы әр цифрдың орны сол жақтағы цифрдың орнынан он есе кіші болады. Мысалы, 123.456 – бұл , немесе сөзбен айтқанда, жүз, екі ондық, үш бірлік, төрт ондық, бес жүздік және алты мыңдық. Нақты санды ондық цифрлардың шекті санымен білдіруге болады, егер ол рационалды болса және оның бөлшек бөлігінің тамырлық көбейткіштері 2 немесе 5 немесе екеуі де болса, себебі бұл 10-ның, ондық жүйенің негізінің тамырлық көбейткіштері. Мысалы, жартысы – 0.5, бестен бірі – 0.2, оннан бірі – 0.1, ал елуден бірі – 0.02. Басқа нақты сандарды ондық сан ретінде көрсету үшін ондық нүктеден оңға қарай цифрлардың шексіз тізбегі қажет. Егер цифрлардың шексіз тізбегі үлгіге сәйкес келсе, оны эллипсиспен немесе қайталанатын үлгіні көрсететін басқа белгімен жазуға болады. Мұндай ондық сан қайталанатын ондық сан деп аталады. Осылайша, 0.333… деп жазылуы мүмкін, ал эллипсис үлгі жалғасатынын көрсетеді. Үштің қайталануы 0.\overline{3} ретінде де жазылады. Бұл қайталанатын ондықтар (соның ішінде нөлдердің қайталануы) рационалды сандарды дәл білдіреді, яғни барлық рационалды сандар да нақты сандар, бірақ әрбір нақты сан рационалды емес. Рационалды емес нақты сан иррационалды деп аталады. Белгілі бір иррационалды нақты сан – бұл кез келген шеңбердің ұзындығының диаметріне қатынасы. Пи кейде жазылғандай жазылғанда, эллипсис ондықтардың қайталануын білдірмейді (олар қайталанбайды), керісінше, олардың соңы жоқ екенін білдіреді. Бұл иррационалды екені дәлелденді. Тағы бір танымал, иррационалды нақты сан – 2-нің квадрат түбірі, яғни квадраты 2-ге тең болатын бірегей оң нақты сан. Бұл екі сан да (компьютер арқылы) триллиондаған цифрларға дейін шамаланды. Бұл көрнекті мысалдар ғана емес, барлық дерлік нақты сандар иррационалды болып табылады, сондықтан қайталанатын үлгілері жоқ және осының нәтижесінде сәйкес келетін ондық сандар жоқ. Оларды тек ондық сандар арқылы ғана шамалауға болады, бұл дөңгеленген немесе қысқартылған нақты сандарды білдіреді. Кез келген дөңгеленген немесе қысқартылған сан міндетті түрде рационалды сан, олардың саны санауға болатын түрде көп. Барлық өлшемдер өздерінің табиғаты бойынша шамамен есептелген және әрқашан қателік шегі бар. Осылайша, 123.456 кез келген нақты санның шамамен 3 ондық таңбаға дейін дөңгелектеу арқылы үлкен немесе тең және одан қатаң кішірек, немесе кез келген нақты санның шамамен 3 ондық таңбадан кейін кесілу арқылы үлкен немесе тең және қатаң кішірек деп саналады. Өлшемнің өзімен салыстырғанда үлкен дәлдікті білдіретін цифрлар алып тасталуы тиіс. Қалған цифрлар маңызды цифрлар деп аталады. Мысалы, билік иесімен өлшеулер кем дегенде 0.001 м қателік шегісіз сирек жасалады. Егер тікбұрыштың қабырғалары 1.23 м және 4.56 м болып өлшенсе, онда көбейту арқылы тікбұрыштың ауданы 5.614591 м² және 5.603011 м² аралығында болады. Ондықтан кейінгі екінші цифр да сақталмағандықтан, келесі цифрлар маңызды емес. Сондықтан, нәтиже әдетте 5.61-ге дейін дөңгелектенеді. Бірдей бөлшекті бірнеше жолмен жазуға болатын сияқты, бірдей нақты санның да ондық саннан артық бейнеленуі болуы мүмкін. Мысалы, 0.999…, 1.0, 1.00, 1.000, барлығы 1 табиғи санын білдіреді. Берілген нақты санның тек мынадай ондық бейнелері болады: ондық сандардың белгілі бір шекті санына жуықтама, ондық сандардың шексіз санына жалғасатын үлгі орнатылған немесе ондық сандардың шекті саны бар нақты мән. Соңғы жағдайда соңғы нөлдік емес цифр бірден кіші цифрмен алмастырылуы мүмкін, содан кейін 9 санының шексіз саны болуы мүмкін немесе соңғы нөлдік емес цифрдан кейін нөлдердің шексіз саны болуы мүмкін. Осылайша, нақты нақты санды 3.74 3.7399999999 және 3.74000000000 деп жазуға болады. Сол сияқты, 0 санының шексіз саны бар ондық санды 0-ді оң жақтан нөлден тыс цифрдың оң жағына тастау арқылы қайта жазуға болады, ал 9 санының шексіз саны бар ондық санды оң жақтан 9-дан кем цифрды бір есе көбейту арқылы қайта жазуға болады және барлық 9-ды сол цифрдың оң жағына 0-ге ауыстыруға болады. Соңында, ондық нүктеден оңға қарай 0-лердің шексіз тізбегін тастауға болады. Мысалы, 6.849999999999 = 6.85 және 6.850000000000 = 6.85. Соңында, егер санның барлық цифрлары 0 болса, онда сан 0-ге тең, ал егер санның барлық цифрлары 9-дың шексіз тізбегі болса, онда ондық нүктеден оңға қарайғы 9-ды тастауға болады және ондық нүктеден солға қарайғы 9-дың тізбегіне 1-ді қосуға болады. Мысалы, 99.999 = 100. Нақты сандардың маңызды, бірақ өте техникалық қасиеті – жоғарғы шекара қасиеті де бар. Кез келген реттелген өріс, сонымен қатар толық болса, нақты сандарға изоморфты екенін көрсетуге болады. Алайда, нақты сандар алгебралық жабық өріс емес, себебі олар алгебралық теңдеудің шешімін (көбінесе минус бірдің квадрат түбірі деп аталады) қамтымайды.

The symbol for the real numbers is R, also written as They include all the measuring numbers. Every real number corresponds to a point on the number line. The following paragraph will focus primarily on positive real numbers. The treatment of negative real numbers is according to the general rules of arithmetic and their denotation is simply prefixing the corresponding positive numeral by a minus sign, e. g. −123.456. Most real numbers can only be approximated by decimal numerals, in which a decimal point is placed to the right of the digit with place value 1. Each digit to the right of the decimal point has a place value one tenth of the place value of the digit to its left. For example, 123.456 represents , or, in words, one hundred, two tens, three ones, four tenths, five hundredths, and six thousandths. A real number can be expressed by a finite number of decimal digits only if it is rational and its fractional part has a denominator whose prime factors are 2 or 5 or both, because these are the prime factors of 10, the base of the decimal system. Thus, for example, one half is 0.5, one fifth is 0.2, one tenth is 0.1, and one fiftieth is 0.02. Representing other real numbers as decimals would require an infinite sequence of digits to the right of the decimal point. If this infinite sequence of digits follows a pattern, it can be written with an ellipsis or another notation that indicates the repeating pattern. Such a decimal is called a repeating decimal. Thus can be written as 0.333 , with an ellipsis to indicate that the pattern continues. Forever repeating 3s are also written as 0

It turns out that these repeating decimals (including the repetition of zeroes) denote exactly the rational numbers, i. e., all rational numbers are also real numbers, but it is not the case that every real number is rational. A real number that is not rational is called irrational. A famous irrational real number is the , the ratio of the circumference of any circle to its diameter. When pi is written as

as it sometimes is, the ellipsis does not mean that the decimals repeat (they do not), but rather that there is no end to them. It has been proved that is irrational. Another well known number, proven to be an irrational real number, is

the square root of 2, that is, the unique positive real number whose square is 2. Both these numbers have been approximated (by computer) to trillions of digits. Not only these prominent examples but almost all real numbers are irrational and therefore have no repeating patterns and hence no corresponding decimal numeral. They can only be approximated by decimal numerals, denoting rounded or truncated real numbers. Any rounded or truncated number is necessarily a rational number, of which there are only countably many. All measurements are, by their nature, approximations, and always have a margin of error. Thus 123.456 is considered an approximation of any real number greater or equal to and strictly less than (rounding to 3 decimals), or of any real number greater or equal to and strictly less than (truncation after the 3. decimal). Digits that suggest a greater accuracy than the measurement itself does, should be removed. The remaining digits are then called significant digits. For example, measurements with a ruler can seldom be made without a margin of error of at least 0.001 m. If the sides of a rectangle are measured as 1.23 m and 4.56 m, then multiplication gives an area for the rectangle between 5.614591 m2 and 5.603011 m2. Since not even the second digit after the decimal place is preserved, the following digits are not significant. Therefore, the result is usually rounded to 5.61. Just as the same fraction can be written in more than one way, the same real number may have more than one decimal representation. For example, 0.999 , 1.0, 1.00, 1.000, , all represent the natural number 1. A given real number has only the following decimal representations: an approximation to some finite number of decimal places, an approximation in which a pattern is established that continues for an unlimited number of decimal places or an exact value with only finitely many decimal places. In this last case, the last non zero digit may be replaced by the digit one smaller followed by an unlimited number of 9's, or the last non zero digit may be followed by an unlimited number of zeros. Thus the exact real number 3.74 can also be written 3.7399999999 and 3.74000000000 Similarly, a decimal numeral with an unlimited number of 0's can be rewritten by dropping the 0's to the right of the rightmost nonzero digit, and a decimal numeral with an unlimited number of 9's can be rewritten by increasing by one the rightmost digit less than 9, and changing all the 9's to the right of that digit to 0's. Finally, an unlimited sequence of 0's to the right of a decimal place can be dropped. For example, 6.849999999999 = 6.85 and 6.850000000000 = 6.85. Finally, if all of the digits in a numeral are 0, the number is 0, and if all of the digits in a numeral are an unending string of 9's, you can drop the nines to the right of the decimal place, and add one to the string of 9s to the left of the decimal place. For example, 99.999 = 100. The real numbers also have an important but highly technical property called the least upper bound property. It can be shown that any ordered field, which is also complete, is isomorphic to the real numbers. The real numbers are not, however, an algebraically closed field, because they do not include a solution (often called a square root of minus one) to the algebraic equation .

Күрделі сандар

Абстракцияның жоғары деңгейіне көшкенде, нақты сандарды күрделі сандарға дейін кеңейтуге болады. Бұл сандар жиынтығы тарихи тұрғыдан кубтық және квадраттық көпмүшелердің түбірлері үшін жабық формулаларды табуға тырысудан пайда болды. Бұл теріс сандардың квадрат түбірлерін қамтитын өрнектерге және ақырында жаңа санның анықтамасына әкелді: -1-дің квадрат түбірі, i арқылы белгіленеді, бұл белгіні Леонхард Эйлер тағайындаған және ойдағы бірлік деп аталады. Күрделі сандар a және b нақты сандар түріндегі барлық сандардан тұрады. Осы себепті күрделі сандар күрделі жазықтықтағы нүктелерге сәйкес келеді, бұл екі нақты өлшемді векторлық кеңістік. a + bi өрнегінде a нақты сан нақты бөлік деп, ал b қияли бөлік деп аталады. Егер күрделі санның нақты бөлігі 0 болса, онда бұл сан қияли сан деп аталады немесе таза қияли сан деп айтылады; егер қияли бөлігі 0 болса, онда бұл сан нақты сан болады. Осылайша, нақты сандар күрделі сандардың ішкі жиыны болып табылады. Егер күрделі санның нақты және қияли бөліктері екеуі де бүтін сандар болса, онда бұл сан Гаусс бүтін саны деп аталады. Күрделі сандарды белгілеу үшін C немесе қолданылады. Алгебраның негізгі теоремасы күрделі сандар алгебралық жабық өріс құрайды деп мәлімдейді, яғни күрделі коэффициенттері бар кез келген көпмүше күрделі сандар ішінде түбірге ие. Нақты сандар сияқты, күрделі сандар да толық өріс құрайды, бірақ нақты сандардан айырмашылығы, бұл өріс реттелмеген. Яғни, i-нің 1-ден үлкен екенін айтудың ешқандай дұрыс мағынасы жоқ, сондай-ақ i-нің 1-ден кіші екенін айтудың да ешқандай мағынасы жоқ. Техникалық тұрғыдан алғанда, күрделі сандарда өріс операцияларымен үйлесетін толық реттеу жоқ.

Тіпті және тақ сандар

Жұп сан – екіге қалдықсыз бөлінетін бүтін сан, яғни екіге бөлінгенде қалдық қалмайтын сан; тақ сан – жұп емес бүтін сан. (Ескіше айтылатын "қалдықсыз бөлінуі" термині қазір көбінесе "бөлінуі" деп қысқартылады.) Кез келген тақ сан n, s толық саны арқылы формуламен құрастырылуы мүмкін. Алғашқы теріс емес тақ сандар {1, 3, 5, 7, …} болып табылады. Кез келген жұп сан m, m = 2k түрінде жазылуы мүмкін, мұнда k – тағы да толық сан. Сол сияқты, алғашқы теріс емес жұп сандар {0, 2, 4, 6, …} болып табылады.

Бастапқы сандар

Бастапқы сан, көбінесе жай сан деп қысқартылады, – 1-ден үлкен бүтін сан, ол екі кіші оң бүтін санның көбейтіндісі емес. Бірінші бірнеше бастапқы сандар: 2, 3, 5, 7 және 11. Тақ және жұп сандар үшін бастапқы сандарды табуға арналған қарапайым формула жоқ. Бастапқы сандар 2000 жылдан бері зерттеліп келеді және көптеген сұрақтар тудырды, олардың тек бір бөлігіне ғана жауап берілді. Осы сұрақтарды зерттеу сан теориясының саласына жатады. Голдбахтың болжамы – әлі жауап таппаған сұрақтардың мысалы: «Барлық жұп сандар екі бастапқы санның қосындысы болып табыса ма?» Бірден үлкен кез келген бүтін сан, бастапқы сандарды орналастыру тәртібін есептемегенде, тек бір ғана жолмен бастапқы сандардың көбейтіндісі болады деген сұраққа жауап берілді; бұл дәлелденген қағида арифметиканың негізгі теоремасы деп аталады. Бұл теореманың дәлелі Евклидтің «Элементтер» еңбегінде келтірілген.

Бүкіл сандардың басқа сыныптары

Натурал сандардың көптеген ішкі жиындары жеке зерттеулерге түрткі болды және көбінесе оларды зерттеген алғашқы математиктің есімімен аталады. Мұндай бүтін сандар жиындарының мысалдары – Фибоначчи сандары және толық сандар. Толық мысалдар үшін «Бүтін сандар тізбегі» деген мақаланы қараңыз.

Алгебралық, иррационалдық және трансценденттік сандар

Алгебралық сандар — бүтін коэффициенттері бар полиномдық теңдеудің шешімі болып табылатын сандар. Рационалды емес нақты сандар иррационалды сандар деп аталады. Алгебралық емес комплекс сандар трансценденттік сандар деп аталады. Бірлік коэффициенті бар полиномдық теңдеудің шешімі болып табылатын алгебралық сандар алгебралық бүтін сандар деп аталады.

Құрастырылатын сандар

Тура сызық пен циркуль арқылы жүргізілетін құрылыстардың классикалық мәселелеріне негізделген, құрастырылатын сандар — бұл нақты және жорамал бөліктері берілген бірлік ұзындығындағы кесіндіден бастап, шектеулі қадамдарда тура сызық пен циркульді қолдану арқылы құрастырылатын кешенді сандар.

Есептеуге болатын сандар

Есептелетін сан, сондай-ақ рекурсивті сан деп те аталады, – бұл нақты сан, он үшін оң сан n енгізілгенде, есептелетін санның ондық өрнегінің алғашқы n цифрын шығаратын алгоритм бар. Теңдестік анықтамалар μ-рекурсивті функциялар, Тьюринг машиналары немесе λ-есептеуді пайдаланып берілуі мүмкін. Есептелетін сандар полином түбірлерін есептеуді қоса алғанда, барлық қалыпты арифметикалық операциялар үшін тұрақты болып табылады және осылайша нақты алгебралық сандарды қамтитын нақты жабық өріс құрайды. Есептелетін сандарды компьютерде дәл көрсетуге болатын нақты сандар ретінде қарастыруға болады: есептелетін сан оның алғашқы цифрларымен және одан әрі цифрларды есептеуге арналған бағдарламамен дәл көрсетіледі. Дегенмен, есептелетін сандар практикада сирек қолданылады. Мұның бір себебі – екі есептелетін санның теңдігін тексеруге арналған алгоритмнің жоқтығы. Нақтырақ айтқанда, кез келген есептелетін санды енгізу ретінде қабылдап, әрбір жағдайда бұл сан нөлге тең ме, тең емес пе, шешетін алгоритм болуы мүмкін емес. Есептелетін сандар жиынының кардиналдығы табиғи сандардың кардиналдығымен бірдей. Сондықтан, дерлік барлық нақты сандар есептелмейді. Алайда, есептелмейтін нақты санды нақты анықтау өте қиын.

p-адикалық сандар

P-адик сандар ондық нүктеден сол жаққа қарай шексіз ұзынға созылуы мүмкін, дәл сол сияқты нақты сандар ондық нүктеден оң жаққа қарай шексіз ұзынға созылуы мүмкін. Цифрлар үшін қандай сан негізі қолданылса, соған байланысты пайда болатын сан жүйесі өзгереді: кез келген негіз қолданылуы мүмкін, бірақ жай сан негізі ең жақсы математикалық қасиеттерге ие. P-адик сандар жиынына рационалдық сандар кіреді, бірақ ол комплекс сандар жиынына кірмейді. Шешікті өріс үстіндегі алгебралық функциялық өрістің элементтері мен алгебралық сандардың көптеген ортақ қасиеттері бар (Функциялық өріс аналогиясын қараңыз). Сондықтан, сан теорияшылары оларды көбінесе сандар деп қарастырады. Осы аналогияда p-адик сандар маңызды рөл атқарады.

Гиперкешенді сандар

Комплекстік сандарға кірмейтін кейбір сан жүйелері нақты сандардан, күрделі сандардың құрылысын жалпылайтын тәсілмен құрастырылуы мүмкін. Олар кейде гиперкомплексті сандар деп аталады. Оларға Сэр Уильям Роуэн Гамильтон енгізген H квартерниондар кіреді, онда көбейту коммутативті емес, октониондар, онда көбейту коммутативті емес қатар ассоциативті де емес, және седениондар, онда көбейту альтернативті емес, ассоциативті де емес, коммутативті де емес.

Трансфинитті сандар

Шексіз жиындықтармен жұмыс істеу үшін, натурал сандар реттік сандарға және кардинал сандарға обобщалды. Алғашқысы жиынның ретін, ал екіншісі оның көлемін көрсетеді. Шекті жиындықтар үшін реттік және кардинал сандар натурал сандармен сәйкес келеді. Шешімсіз жағдайда көптеген реттік сандар бір кардинал санға сәйкес келуі мүмкін.

Стандартты емес нөмірлер

Гиперреалдық сандар стандартты емес талдауда қолданылады. Гиперреалдар немесе стандартты емес реалдар (әдетте *R деп белгіленеді) — нақты сандар R реттелген өрісінің нақты кеңейтілуі болып табылатын және трансфер принципін қанағаттандыратын реттелген өріс. Бұл принцип R туралы барлық бірінші реттік тұжырымдарды *R туралы сәйкес бірінші реттік тұжырымдар ретінде қайта қарастыруға мүмкіндік береді. Суперреалдық және сюрреалдық сандар нақты сандарды инфинитезимальды кіші және инфинитезимальды үлкен сандарды қосу арқылы кеңейтеді, бірақ олар өрістер болып қалады.