Введение

Число — это математический объект, используемый для подсчёта, измерения и маркировки. Наиболее простыми примерами являются натуральные числа 1, 2, 3, 4 и так далее. Числа можно выражать словами в языке. В более общем виде отдельные числа могут быть представлены символами, называемыми цифрами; например, "5" — это цифра, представляющая число пять. Поскольку запомнить можно лишь ограниченное количество символов, основные цифры обычно организуются в систему счисления, которая представляет собой упорядоченный способ представления любого числа. Наиболее распространённой системой счисления является индусско-арабская система счисления, позволяющая представить любое неотрицательное целое число, используя комбинацию десяти основных числовых символов, называемых цифрами. Помимо использования в подсчёте и измерении, цифры часто используются для обозначений (например, в телефонных номерах), для упорядочивания (например, в серийных номерах) и для кодов (например, в ISBN). В повседневном использовании цифру обычно не отличают от числа, которое она представляет. В математике понятие числа со временем расширилось и включает в себя ноль (0), отрицательные числа, рациональные числа, такие как одна вторая, действительные числа, такие как квадратный корень из 2, и комплексные числа, которые расширяют действительные числа, добавляя квадратный корень из −1 (и его комбинации с действительными числами посредством сложения или вычитания кратных). Например, в западном обществе число 13 часто считается несчастливым, а слово "миллион" может обозначать "много", а не точное количество. Нумерология оказала значительное влияние на развитие греческой математики, стимулировав изучение многих задач теории чисел, которые до сих пор представляют интерес.

Первое использование цифр

Кости и другие артефакты были обнаружены с насечками, которые многие считают счетными зарубками. Эти зарубки могли использоваться для подсчета прошедшего времени, например, количества дней или лунных циклов, либо для ведения учета количества чего-либо, например, животных. Система зарубок не имеет понятия о разряде (как в современной десятичной системе счисления), что ограничивает ее возможности представления больших чисел. Тем не менее, системы зарубок считаются первым типом абстрактной системы счисления. Первой известной системой с разрядом была месопотамская система с основанием 60 (ок. 3400 г. до н.э.), а самая ранняя известная система с основанием 10 датируется 3100 г. до н.э. в Египте.

Числа

Числа следует отличать от цифр, символов, используемых для представления чисел. Египтяне изобрели первую шифрованную систему счисления, а греки последовали за ними, сопоставляя свои счётные числа с ионийским и дорическим алфавитами. Римские цифры, система, использующая комбинации букв из римского алфавита, оставались доминирующей в Европе до распространения превосходной индусско-арабской системы счисления в конце XIV века, и индусско-арабская система счисления остаётся самой распространённой системой для представления чисел в мире сегодня. Ключом к эффективности системы был символ нуля, разработанный древними индийскими математиками примерно в 500 году нашей эры. В аналогичной манере Панини (V век до н.э.) использовал нулевой оператор в «Аштадхьяи» – раннем примере алгебраической грамматики для санскритского языка (см. также Пингалу). Существуют и другие примеры использования нуля до Брахмагупты, хотя документация не так полна, как в «Брахмасфутасиддханта». Записи показывают, что древние греки, по-видимому, сомневались в статусе 0 как числа: они спрашивали себя: «Как ‘ничто’ может быть чем-то?», что привело к интересным философским и, к средневековому периоду, религиозным спорам о природе и существовании 0 и вакуума. Парадоксы Зенона Элейского частично зависят от неопределённой интерпретации 0. (Древние греки даже сомневались, является ли это числом.) Поздние ольмеки из южно-центральной Мексики начали использовать символ нуля – глиф в виде раковины – в Новом Свете, возможно, уже в IV веке до н.э., но точно к 40 году до н.э., который стал неотъемлемой частью чисел майя и календаря майя. Арифметика майя использовала основания 4 и 5, записанные как основание 20. Джордж И. Санчес в 1961 году сообщил об абаке на основе 4 и 5, использующем «пальцевые» обозначения. К 130 году н.э. Птолемей, под влиянием Гиппарха и вавилонян, использовал символ 0 (маленький круг с длинной чертой сверху) в сексагезимальной системе счисления, в остальном использующей алфавитные греческие цифры. Поскольку он использовался самостоятельно, а не только как заполнитель, этот эллинистический ноль был первым задокументированным использованием истинного нуля в Старом Свете. В более поздних византийских рукописях его «Syntaxis Mathematica» (Альмагест) эллинистический ноль превратился в греческую букву омикрон (обозначающую 70). Другой истинный ноль использовался в таблицах вместе с римскими цифрами к 525 году (первое известное использование Дионисием Экзигусом), но в виде слова *nulla*, означающего «ничто», а не в виде символа. Когда деление давало 0 в остатке, использовалось слово *nihil*, также означающее «ничто». Эти средневековые нули использовались всеми последующими средневековыми вычислителями (калькуляторами Пасхи). Изолированное использование их первой буквы, N, было использовано в таблице римских цифр Бедой или его коллегой около 725 года – как настоящий символ нуля.

Отрицательные числа

Абстрактное понятие отрицательных чисел было признано в Китае еще в 100–50 гг. до н.э. В трактате «Математическое искусство в девяти книгах» содержатся методы вычисления площадей фигур; для обозначения положительных коэффициентов использовались красные стержни, а отрицательных – черные. Первое упоминание в западном труде относится к III веку н.э. в Греции. Диофант в «Арифметике» ссылается на уравнение, эквивалентное (решение отрицательное), отмечая, что уравнение приводит к абсурдному результату. В 600-х годах отрицательные числа использовались в Индии для обозначения долгов. Более развернуто предыдущая ссылка Диофанта была рассмотрена индийским математиком Брахмагуптой в «Брахмасфутасиддханта» в 628 году, который использовал отрицательные числа для получения общей формы квадратной формулы, которая используется и сегодня. Однако в XII веке в Индии Бхаскара приводит отрицательные корни квадратных уравнений, но считает, что отрицательное значение «в данном случае неприемлемо, поскольку оно неадекватно; люди не одобряют отрицательные корни». Европейские математики в основном сопротивлялись концепции отрицательных чисел до XVII века, хотя Фибоначчи допускал отрицательные решения в финансовых задачах, где их можно было интерпретировать как долги (глава 13 «Liber Abaci», 1202) и позднее как убытки (в «Flos»). Рене Декарт называл их «ложными корнями», поскольку они возникали в алгебраических многочленах, но он нашел способ менять местами истинные и ложные корни. В то же время китайцы обозначали отрицательные числа, проводя диагональную черту через самую правую ненулевую цифру соответствующего положительного числа. Первым использованием отрицательных чисел в европейском труде стало их применение Николасом Чуке в XV веке. Он использовал их в качестве показателей, но называл «абсурдными числами». Вплоть до XVIII века было принято игнорировать любые отрицательные результаты, полученные при решении уравнений, считая их бессмысленными.

Рациональные числа

Вероятно, понятие дробных чисел возникло еще в доисторические времена. Древние египтяне использовали свою египетскую систему представления дробей для записи рациональных чисел в математических текстах, таких как Риндский математический папирус и Папирус Кахуна. Классические греческие и индийские математики изучали теорию рациональных чисел в рамках общего изучения теории чисел. Наиболее известным из этих трудов является «Начала» Евклида, датируемые примерно 300 годом до нашей эры. Среди индийских текстов наиболее значима «Стангангa-сутра», которая также рассматривает теорию чисел как часть общего изучения математики. Понятие десятичных дробей тесно связано с позиционной десятичной системой счисления; эти две концепции, по-видимому, развивались одновременно. Например, в джайнских математических сутрах часто встречаются вычисления приближенных значений числа пи или квадратного корня из 2 с использованием десятичных дробей. Подобным образом, в вавилонских математических текстах часто использовались шестидесятеричные (основание 60) дроби.

Иррациональные числа

Самый ранний известный пример использования иррациональных чисел встречается в индийских «Сульба-сутрах», составленных между 800 и 500 годами до нашей эры. Первое доказательство существования иррациональных чисел обычно приписывается Пифагору, точнее пифагорейцу Гиппасу из Метапонта, который представил (вероятнее всего, геометрическое) доказательство иррациональности квадратного корня из 2. Согласно преданию, Гиппас обнаружил иррациональные числа, пытаясь выразить квадратный корень из 2 в виде дроби. Однако Пифагор верил в абсолютную природу чисел и не мог принять существование иррациональных. Он не смог опровергнуть их существование логически, но и не мог их признать, поэтому, как утверждается и часто сообщается, он приговорил Гиппаса к смерти путем утопления, чтобы остановить распространение этой тревожной вести. В XVI веке в Европе произошло окончательное признание отрицательных целых и дробных чисел. К XVII веку математики обычно использовали десятичные дроби в современной записи. Тем не менее, только в XIX веке математики разделили иррациональные числа на алгебраические и трансцендентные и вновь приступили к их научному изучению, которое с времён Евклида оставалось практически бездействующим. В 1872 году были опубликованы работы Карла Вейерштрасса (его учеником Э. Коссаком), Эдуарда Гейне, Георга Кантора и Рихарда Дедекинда. В 1869 году Шарль Мерей исходил из той же точки зрения, что и Гейне, но обычно эта теория связывается с 1872 годом. Метод Вейерштрасса был полностью изложен Сальваторе Пинчерле (1880), а работа Дедекинда получила дополнительное признание благодаря более поздним трудам автора (1888) и поддержке Поля Таннери (1894). Вейерштрасс, Кантор и Гейне основывали свои теории на бесконечных рядах, в то время как Дедекинд основывал свои на идее «разреза» (Schnitt) в системе действительных чисел, разделяя все рациональные числа на две группы, обладающие определёнными характеристическими свойствами. В дальнейшем вклад в эту область внесли Вейерштрасс, Кронекер и Мерей. Важным этапом стало исследование корней уравнений пятой и более высокой степени, теорема Абеля — Руффини (Руффини, 1799; Абель, 1824) показала, что они не могут быть решены с помощью радикалов (формул, включающих только арифметические операции и извлечение корней). Таким образом, потребовалось рассмотреть более широкий набор алгебраических чисел (все решения полиномиальных уравнений). Галуа (1832) связал полиномиальные уравнения с теорией групп, что дало начало области теории Галуа. Цепные дроби, тесно связанные с иррациональными числами (и восходящие к Катальди, 1613), привлекли внимание Эйлера, а в начале XIX века получили широкое распространение благодаря трудам Жозефа Луи Лагранжа. Другие значительные вклады внесли Друккенмюллер (1837), Кунце (1857), Лемке (1870) и Гюнтер (1872). Рамус впервые связал эту область с определителями, что, в сочетании с последующими вкладами Гейне, Мёбиуса и Гюнтера, привело к теории Kettenbruchdeterminanten.

Трансцендентальные числа и действительные числа

Существование трансцендентных чисел впервые было установлено Лиувилем (1844, 1851). Эрмит доказал в 1873 году, что число *e* трансцендентно, а Линдеманн доказал в 1882 году, что число *π* трансцендентно. Наконец, Кантор показал, что множество всех действительных чисел несчётно бесконечно, а множество всех алгебраических чисел счётно бесконечно, следовательно, существует несчётное количество трансцендентных чисел.

Бесконечность и бесконечно малые

Самая ранняя известная концепция математической бесконечности встречается в Яджур-Веде, древнем индийском тексте, где в одном месте говорится: "Если из бесконечности вычесть часть или прибавить к ней часть, то всё равно останется бесконечность". Бесконечность была популярной темой философских изысканий среди математиков-джаинов примерно в 400 г. до н.э. Они различали пять видов бесконечности: бесконечность в одном и двух направлениях, бесконечность по площади, бесконечность повсюду и бесконечность вечно. Символ ∞ часто используется для обозначения бесконечной величины. Аристотель сформулировал традиционное западное представление о математической бесконечности. Он различал актуальную и потенциальную бесконечность – общепринятым было мнение, что истинное значение имеет лишь последняя. В труде Галилео Галилея «Две новые науки» обсуждалась идея взаимно однозначного соответствия между бесконечными множествами. Однако следующий значительный шаг в теории был сделан Георгом Кантором; в 1895 году он опубликовал книгу, посвященную своей новой теории множеств, введя, в частности, трансфинитные числа и сформулировав гипотезу континуума. В 1960-х годах Абрахам Робинсон показал, как бесконечно большие и бесконечно малые числа можно строго определить и использовать для развития области нестандартного анализа. Система гиперреальных чисел представляет собой строгий метод работы с идеями об бесконечных и бесконечно малых величинах, которые математики, ученые и инженеры использовали неформально с момента изобретения дифференциального и интегрального исчисления Ньютоном и Лейбницем. Современная геометрическая интерпретация бесконечности представлена проективной геометрией, которая вводит "идеальные точки в бесконечности", по одной для каждого пространственного направления. Каждая семья параллельных линий в заданном направлении, как постулируется, сходится к соответствующей идеальной точке. Это тесно связано с понятием точек схода в перспективе.

Простые числа

Простые числа изучались на протяжении всей задокументированной истории. Это положительные целые числа, которые делятся только на 1 и на само себя. Евклид посвятил одну книгу "Начал" теории простых чисел; в ней он доказал бесконечность множества простых чисел и основную теорему арифметики, а также представил алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел. В 240 году до нашей эры Эратосфен использовал решето Эратосфена для быстрого выделения простых чисел. Однако основное развитие теории простых чисел в Европе относится к эпохе Возрождения и последующим периодам. В 1796 году Адриен-Мари Лежандр выдвинул гипотезу о теореме о простых числах, описывающую асимптотическое распределение простых чисел. Другие результаты, касающиеся распределения простых чисел, включают доказательство Эйлера о расходимости суммы обратных величин простых чисел и гипотезу Гольдбаха, утверждающую, что любое достаточно большое чётное число является суммой двух простых чисел. Ещё одной гипотезой, связанной с распределением простых чисел, является гипотеза Римана, сформулированная Бернхардом Риманом в 1859 году. Теорема о простых числах была окончательно доказана Жаком Адамаром и Шарлем де ла Валле-Пуссеном в 1896 году. Гипотезы Гольдбаха и Римана остаются недоказанными, но и не опровергнутыми.

Основная классификация

Числа можно классифицировать на множества, называемые множествами чисел или системами чисел, такими как натуральные числа и действительные числа. Основные системы чисел следующие:
+ Основные системы чисел
Натуральные числа: 0, 1, 2, 3, 4, 5 или 1, 2, 3, 4, 5, которые иногда используются.
Целые числа: ..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
Рациональные числа: где a и b – целые числа, и b не равно 0.
Действительные числа: предел сходящейся последовательности рациональных чисел.
Комплексные числа: a + bi, где a и b – действительные числа, а i – формальный квадратный корень из −1.

Каждая из этих систем чисел является подмножеством следующей. Например, рациональное число также является действительным числом, и каждое действительное число также является комплексным числом. Это можно выразить символически. Более полный список множеств чисел представлен на следующей диаграмме.

Натуральные числа

Наиболее известными числами являются натуральные числа (иногда называемые целыми числами или числами для счёта): 1, 2, 3 и так далее. Традиционно последовательность натуральных чисел начиналась с 1 (0 даже не рассматривалось как число древними греками). Однако в XIX веке теоретики множеств и другие математики стали включать 0 (кардинальность пустого множества, то есть 0 элементов, где 0 таким образом является наименьшим кардинальным числом) в множество натуральных чисел. Сегодня разные математики используют этот термин для обозначения обоих множеств – включающих 0 или нет. Математический символ для обозначения множества всех натуральных чисел – N, также записываемый как , а иногда и или , когда необходимо указать, начинается ли множество с 0 или 1 соответственно. В десятичной системе счисления, которая почти повсеместно используется сегодня для математических операций, символы натуральных чисел записываются с помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Основание или система счисления – это количество уникальных числовых цифр, включая ноль, которое использует система счисления для представления чисел (для десятичной системы основание равно 10). В этой десятичной системе с основанием 10, самая правая цифра натурального числа имеет разряд 1, а каждая следующая цифра слева имеет разряд, в десять раз превышающий разряд цифры справа от неё. В теории множеств, которая может служить аксиоматической основой для современной математики, натуральные числа могут быть представлены классами эквивалентных множеств. Например, число 3 может быть представлено как класс всех множеств, содержащих ровно три элемента. В качестве альтернативы, в арифметике Пеано число 3 представлено как sss0, где s – это функция «последователя» (то есть 3 – третий последователь 0). Возможны различные представления; для формального представления 3 достаточно трижды записать определённый символ или комбинацию символов.

Целые числа

Отрицательным числом для положительного целого числа определяется число, которое в сумме с соответствующим положительным целым числом дает 0. Отрицательные числа обычно записываются со знаком минус. Например, отрицательное число 7 записывается как −7, а объединение множества отрицательных чисел с множеством натуральных чисел (включая 0) определяет множество целых чисел, обозначаемое также Z. Буква Z используется для обозначения этого множества. Множество целых чисел образует кольцо относительно операций сложения и умножения. Множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел. Поскольку не существует единого стандарта включения или исключения нуля из множества натуральных чисел, натуральные числа без нуля обычно называют положительными целыми числами, а натуральные числа, включающие ноль, – неотрицательными целыми числами.

Реальные числа

Символ действительных чисел — R, также записываемый как . Они включают все измеримые числа. Каждое действительное число соответствует точке на числовой прямой. Следующий абзац будет посвящен в основном положительным действительным числам. Обращение с отрицательными действительными числами осуществляется в соответствии с общими правилами арифметики, а их обозначение заключается в простом добавлении знака минус перед соответствующим положительным числом, например, −123.456. Большинство действительных чисел можно лишь приближенно представить десятичными дробями, в которых десятичная точка ставится справа от цифры, имеющей разряд единиц. Каждая цифра справа от десятичной точки имеет разряд, равный одной десятой разряда цифры, стоящей слева от неё. Например, 123.456 представляет собой , или, словами, сто, две десятки, три единицы, четыре десятых, пять сотых и шесть тысячных. Действительное число может быть выражено конечным числом десятичных знаков только в том случае, если оно рационально и его дробная часть имеет знаменатель, простые множители которого — 2 или 5 или оба, поскольку это простые множители числа 10, основания десятичной системы. Таким образом, например, одна вторая равна 0.5, одна пятая равна 0.2, одна десятая равна 0.1, а одна пятидесятая равна 0.02. Для представления других действительных чисел в виде десятичных дробей потребуется бесконечная последовательность цифр справа от десятичной точки. Если эта бесконечная последовательность цифр подчиняется закономерности, её можно записать с помощью многоточия или другого обозначения, указывающего на повторяющийся шаблон. Такая десятичная дробь называется периодической десятичной дробью. Таким образом, можно записать как 0.333…, с многоточием, указывающим на продолжение шаблона. Бесконечно повторяющиеся 3 также записываются как 0….

Оказывается, что эти периодические десятичные дроби (включая повторение нулей) точно представляют рациональные числа, то есть все рациональные числа также являются действительными числами, но не все действительные числа рациональны. Действительное число, которое не является рациональным, называется иррациональным. Известным иррациональным действительным числом является π, отношение длины окружности к её диаметру. Когда число пи записывается как …, как это иногда бывает, многоточие не означает, что десятичные знаки повторяются (они не повторяются), а скорее, что им нет конца. Доказано, что π является иррациональным. Другое хорошо известное число, доказанное как иррациональное действительное число, — это √2, квадратный корень из 2, то есть единственное положительное действительное число, квадрат которого равен 2. Оба этих числа были приближены (с помощью компьютера) до триллионов знаков. Не только эти известные примеры, но и почти все действительные числа иррациональны и, следовательно, не имеют повторяющихся шаблонов и, соответственно, не имеют соответствующих десятичных представлений. Их можно лишь приближенно представить десятичными дробями, обозначающими округленные или усеченные действительные числа. Любое округленное или усеченное число обязательно является рациональным числом, которых существует лишь счетное множество. Все измерения по своей природе являются приближениями и всегда имеют погрешность. Таким образом, 123.456 считается приближением любого действительного числа, большего или равного 123.4555 и строго меньшего 123.4565 (округление до 3 знаков после запятой), или любого действительного числа, большего или равного 123.455 и строго меньшего 123.456 (усечение после 3-го знака после запятой). Цифры, предполагающие более высокую точность, чем само измерение, следует удалить. Оставшиеся цифры называются значащими цифрами. Например, измерения с помощью линейки редко можно выполнить с погрешностью менее 0.001 м. Если стороны прямоугольника измерены как 1.23 м и 4.56 м, то умножение дает площадь прямоугольника между 5.614591 м² и 5.603011 м². Поскольку даже вторая цифра после запятой не сохранена, следующие цифры не являются значимыми. Поэтому результат обычно округляется до 5.61. Так же, как одну и ту же дробь можно записать несколькими способами, одно и то же действительное число может иметь несколько десятичных представлений. Например, 0.999…, 1.0, 1.00, 1.000, …, все представляют собой натуральное число 1. Данное действительное число имеет только следующие десятичные представления: приближение к конечному числу десятичных знаков, приближение, в котором установлен шаблон, продолжающийся для неограниченного числа десятичных знаков, или точное значение с конечным числом десятичных знаков. В последнем случае последняя ненулевая цифра может быть заменена на цифру на единицу меньше, за которой следует неограниченное число девяток, или последняя ненулевая цифра может быть дополнена неограниченным числом нулей. Таким образом, точное действительное число 3.74 также можно записать как 3.7399999999… и 3.74000000000…. Аналогично, десятичная дробь с неограниченным числом нулей может быть переписана путем удаления нулей справа от самой правой ненулевой цифры, а десятичная дробь с неограниченным числом девяток может быть переписана путем увеличения на единицу самой правой цифры, меньшей 9, и замены всех девяток справа от этой цифры на нули. Наконец, неограниченную последовательность нулей справа от десятичной точки можно опустить. Например, 6.849999999999… = 6.85 и 6.850000000000… = 6.85. Наконец, если все цифры в числе — нули, то число равно 0, а если все цифры в числе — бесконечная строка девяток, то можно опустить девятки справа от десятичной точки и добавить единицу к строке девяток слева от десятичной точки. Например, 99.999… = 100. Действительные числа также обладают важным, но весьма техническим свойством, называемым свойством наименьшей верхней границы. Можно показать, что любое упорядоченное поле, которое также является полным, изоморфно действительным числам. Однако действительные числа не являются алгебраически замкнутым полем, поскольку они не содержат решения (часто называемого квадратным корнем из минус единицы) алгебраического уравнения x² + 1 = 0.

Комплексные числа

Переходя к более высокому уровню абстракции, действительные числа могут быть расширены до комплексных чисел. Этот набор чисел исторически возник из попыток найти замкнутые формулы для корней кубических и квадратных многочленов. Это привело к выражениям, включающим квадратные корни отрицательных чисел, и в конечном итоге – к определению нового числа: квадратного корня из -1, обозначаемого i, символа, введенного Леонардом Эйлером, и называемого мнимой единицей. Комплексные числа состоят из всех чисел вида a + bi, где a и b – действительные числа. Благодаря этому комплексные числа соответствуют точкам на комплексной плоскости, являющейся двумерным вещественным векторным пространством. В выражении a + bi действительное число a называется действительной частью, а b – мнимой частью. Если действительная часть комплексного числа равна 0, то число называется мнимым числом или чисто мнимым; если мнимая часть равна 0, то число является действительным числом. Таким образом, действительные числа являются подмножеством комплексных чисел. Если действительная и мнимая части комплексного числа являются целыми числами, то число называется гауссовым целым числом. Обозначение комплексных чисел – C или ℂ. Фундаментальная теорема алгебры утверждает, что комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле, то есть каждый многочлен с комплексными коэффициентами имеет корень в комплексных числах. Как и действительные числа, комплексные числа образуют полное поле, но, в отличие от действительных чисел, они не упорядочены. То есть, не существует однозначного смысла в утверждении, что i больше 1, равно как и в утверждении, что i меньше 1. С технической точки зрения, комплексные числа не имеют полного порядка, совместимого с операциями поля.

Чётные и нечетные числа

Чётное число — это целое число, которое делится на два без остатка; нечётное число — это целое число, которое не является чётным. (Устаревший термин "делится нацело" теперь почти всегда сокращается до "делится".) Любое нечётное число n можно представить формулой , где k — подходящее целое число. Начиная с , первые неотрицательные нечётные числа — {1, 3, 5, 7, …}. Любое чётное число m имеет вид , где k — снова целое число. Аналогично, первые неотрицательные чётные числа — {0, 2, 4, 6, …}.

Простые числа

Простое число, часто называемое просто числом, — это целое число, большее 1, которое не является произведением двух меньших положительных целых чисел. Первые несколько простых чисел — 2, 3, 5, 7 и 11. В отличие от четных и нечетных чисел, не существует простой формулы для генерации простых чисел. Простые числа широко изучаются уже более 2000 лет, и их изучение привело ко многим вопросам, на некоторые из которых до сих пор нет ответов. Изучение этих вопросов относится к теории чисел. Гипотеза Гольдбаха — пример одного из нерешенных вопросов: «Является ли каждое четное число суммой двух простых чисел?». Один из решенных вопросов, а именно, является ли каждое целое число, большее единицы, разложением на простые множители единственным (с точностью до перестановки этих множителей), был доказан; это утверждение известно как основная теорема арифметики. Доказательство содержится в «Началах» Евклида.

Другие классы целых чисел

Многие подмножества натуральных чисел были объектом специальных исследований и получили названия, часто по имени первого математика, который их изучал. Примерами таких множеств целых чисел являются числа Фибоначчи и совершенные числа. Для получения дополнительных примеров обратитесь к статье «Целочисленные последовательности».

Алгебраические, иррациональные и трансцендентные числа

Алгебраические числа — это числа, являющиеся решением полиномиального уравнения с целыми коэффициентами. Реальные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными. Комплексные числа, не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными числами. Алгебраические числа, являющиеся решениями моник-полиномиального уравнения с целыми коэффициентами, называются алгебраическими целыми.

Конструируемые числа

Мотивированные классическими задачами построения циркулем и линейкой, конструктивные числа — это те комплексные числа, действительные и мнимые части которых могут быть получены с помощью циркуля и линейки, начиная с заданного отрезка единичной длины, за конечное число шагов.

Вычислимые числа

Вычислимое число, также известное как рекурсивное число, — это действительное число, для которого существует алгоритм, который, получив положительное число n на вход, выдает первые n цифр десятичного представления этого вычислимого числа. Эквивалентные определения можно дать, используя μ-рекурсивные функции, машины Тьюринга или λ-исчисление. Вычислимые числа устойчивы ко всем обычным арифметическим операциям, включая вычисление корней многочлена, и таким образом образуют действительное замкнутое поле, содержащее действительные алгебраические числа. Вычислимые числа можно рассматривать как действительные числа, которые могут быть точно представлены в компьютере: вычислимое число точно представляется его первыми цифрами и программой для вычисления последующих цифр. Однако вычислимые числа редко используются на практике. Одна из причин заключается в отсутствии алгоритма для проверки равенства двух вычислимых чисел. Более точно, не может существовать алгоритма, который принимает любое вычислимое число на вход и определяет в каждом случае, равно ли это число нулю или нет. Множество вычислимых чисел имеет ту же мощность, что и множество натуральных чисел. Следовательно, почти все действительные числа не являются вычислимыми. Однако очень сложно явно указать действительное число, которое не является вычислимым.

p-адические числа

П-адические числа могут иметь бесконечно длинные разложения слева от десятичной точки, подобно тому, как вещественные числа могут иметь бесконечно длинные разложения справа. Система счисления, которая получается, зависит от основания, используемого для цифр: возможно любое основание, но основа, являющееся простым числом, обеспечивает наилучшие математические свойства. Множество p-адических чисел содержит рациональные числа, но не содержится в множестве комплексных чисел. Элементы алгебраического поля функций над конечным полем и алгебраические числа обладают многими схожими свойствами (см. аналогию поля функций). Поэтому теоретики чисел часто рассматривают их как числа. P-адические числа играют важную роль в этой аналогии.

Гиперкомплексные числа

Некоторые системы чисел, не входящие в состав комплексных чисел, могут быть построены из действительных чисел способом, обобщающим построение комплексных чисел. Их иногда называют гиперкомплексными числами. К ним относятся кватернионы H, введенные сэром Уильямом Роуэном Гамильтоном, где умножение некоммутативно, октонионы, где умножение неассоциативно и при этом некоммутативно, и седенионы, где умножение неальтернативно, ни ассоциативно, ни коммутативно.

Трансфинитные числа

Для работы с бесконечными множествами натуральные числа были обобщены до ординальных и кардинальных чисел. Ординальные числа задают порядок элементов в множестве, а кардинальные – его мощность. Для конечных множеств ординальные и кардинальные числа совпадают с натуральными числами. В случае бесконечных множеств, различным ординальным числам может соответствовать одно и то же кардинальное число.

Нестандартные номера

Гиперреальные числа используются в нестандартном анализе. Гиперреальные числа, или нестандартные действительные числа (обычно обозначаемые *R), представляют собой упорядоченное поле, являющееся надлежащим расширением упорядоченного поля действительных чисел R и удовлетворяющее принципу переноса. Этот принцип позволяет интерпретировать истинные высказывания первого порядка относительно R как истинные высказывания первого порядка относительно *R. Суперреальные и сюрреальные числа расширяют множество действительных чисел, добавляя бесконечно малые и бесконечно большие числа, при этом оставаясь полями.