Күрделі айнымалылардың арнайы функциялары және тета функциялары
Theta function
Күрделі айнымалылардың θ-функциялары: математикадағы қолданылуы, квазипериодтық қасиеттері, және кванттық теориядағы рөлі. Математикалық зерттеулерге көмектеседі.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Бірнеше күрделі айнымалылардың арнайы функциялары, басқа θ функциялары
Special functions of several complex variables
other θ functions
Математикада тета функциялары – бірнеше күрделі айнымалылардың арнайы функциялары. Олар Абельдік сорттар, модульдік кеңістіктер, квадраттық формалар және солитондар сияқты көптеген тақырыптарда кездеседі. Грасман алгебралары ретінде олар кванттық өріс теориясында қолданылады. Тета функциясының ең көп таралған түрі – эллипстік функциялар теориясында кездесетін түрі. Күрделі айнымалылардың біріне қатысты (әдетте z деп белгіленеді), тета функциясы байланысты эллипстік функциялардың периодын қосу кезіндегі өзгеруін көрсететін қасиетке ие, бұл оны квазипериодтық функция етеді. Абстрактілі теорияда бұл квазипериодикалық қасиет кешенді тордағы түзу шоғының когомология класынан және төмен түсу шартынан туындайды. Жылу теңдеуін зерттеуде тета функциясының бір түсіндірмесі – "тета функциясы – белгілі бір шекаралық шарттарда сегменттік домендегі температураның өзгеруін сипаттайтын арнайы функция". Осы мақалада (таңдаудың филиалдық мәселелерін шешу үшін) деп қарастырылуы керек.
In mathematics, theta functions are special functions of several complex variables. They show up in many topics, including Abelian varieties, moduli spaces, quadratic forms, and solitons. As Grassmann algebras, they appear in quantum field theory. The most common form of theta function is that occurring in the theory of elliptic functions. With respect to one of the complex variables (conventionally called z), a theta function has a property expressing its behavior with respect to the addition of a period of the associated elliptic functions, making it a quasiperiodic function. In the abstract theory this quasiperiodicity comes from the cohomology class of a line bundle on a complex torus, a condition of descent. One interpretation of theta functions when dealing with the heat equation is that "a theta function is a special function that describes the evolution of temperature on a segment domain subject to certain boundary conditions". Throughout this article, should be interpreted as (in order to resolve issues of choice of branch).
Номеология бойынша тета функциялары
Тета функцияларын z және τ арқылы өрнектеудің орнына, оларды w аргументтері және q номасы арқылы өрнектеуге болады, мұнда және . Осы түрде функциялар келесідей болады:
Instead of expressing the Theta functions in terms of z and τ, we may express them in terms of arguments w and the nome q, where and In this form, the functions become
Тета функцияларын w және q арқылы да анықтауға болады, экспоненциалдық функцияға тікелей сілтеме жасамай. Сондықтан, бұл формулаларды тета функцияларын басқа да өрістерде анықтау үшін қолдануға болады, онда экспоненциалдық функция әрқашан анықталмауы мүмкін, мысалы, p-адық сандар өрістерінде.
We see that the theta functions can also be defined in terms of w and q, without a direct reference to the exponential function. These formulas can, therefore, be used to define the Theta functions over other fields where the exponential function might not be everywhere defined, such as fields of p adic numbers.
Гейзенберг тобымен байланысы
Якоби тета функциясы Гейзенберг тобының дискретті кіші тобының әсеріне қатысты инвариантты. Осы инварианттылық Гейзенберг тобының тета-бейнелеуі туралы мақалада көрсетілген.
The Jacobi theta function is invariant under the action of a discrete subgroup of the Heisenberg group. This invariance is presented in the article on the theta representation of the Heisenberg group.
Поанкаре сериясы
Пуанкаре сериясы кез келген Фуксиан топтарына қатысты автоморфтық формаларға тета сериясын кеңейтеді.
The Poincaré series generalizes the theta series to automorphic forms with respect to arbitrary Fuchsian groups.