Кіріспе
Абстрактік алгебрада, үйлесімді жартылай реттелген топ – бұл аударма инварианттығымен жабдықталған топ (G, +), яғни “≤” жартылай реті; басқаша айтқанда, “≤” қасиетіне ие, яғни G-дегі кез келген a, b және g үшін, егер a ≤ b болса, онда a + g ≤ b + g және g + a ≤ g + b. G тобының x элементі, егер 0 ≤ x болса, оң деп аталады. 0 ≤ x элементтерінің жиынтығы көбінесе G+ арқылы белгіленеді және G-нің оң конусы деп аталады. Аударма инварианттығы бойынша, a ≤ b сәйкес келеді 0 ≤ a + b. Сондықтан, жартылай ретті монодикалық қасиетке дейін қысқартуға болады: a ≤ b егер және тек қана a + b ∈ G+ болса. Жалпы G тобы үшін оң конустың болуы G-де реттілік белгілейді. G тобы, егер G-нің H (G+) ішкі жиыны болса, жартылай реттелген топ болып табылады, мұнда: 0 ∈ H, егер a ∈ H және b ∈ H болса, онда a + b ∈ H, егер a ∈ H болса, онда G-нің кез келген x үшін x + a + x ∈ H, және егер a ∈ H және a ∈ H болса, онда a = 0.
In abstract algebra, a partially ordered group is a group (G, +) equipped with a partial order "≤" that is translation invariant; in other words, "≤" has the property that, for all a, b, and g in G, if a ≤ b then a + g ≤ b + g and g + a ≤ g + b. An element x of G is called positive if 0 ≤ x. The set of elements 0 ≤ x is often denoted with G+, and is called the positive cone of G.
By translation invariance, we have a ≤ b if and only if 0 ≤ a + b. So we can reduce the partial order to a monadic property: a ≤ b if and only if a + b ∈ G+. For the general group G, the existence of a positive cone specifies an order on G. A group G is a partially orderable group if and only if there exists a subset H (which is G+) of G such that:
0 ∈ H
if a ∈ H and b ∈ H then a + b ∈ H
if a ∈ H then x + a + x ∈ H for each x of G
if a ∈ H and a ∈ H then a = 0
A partially ordered group G with positive cone G+ is said to be unperforated if n · g ∈ G+ for some positive integer n implies g ∈ G+. Being unperforated means there is no "gap" in the positive cone G+. If the order on the group is a linear order, then it is said to be a linearly ordered group. If the order on the group is a lattice order, i. e. any two elements have a least upper bound, then it is a lattice ordered group (shortly l group, though usually typeset with a script l: ℓ group). A Riesz group is an unperforated partially ordered group with a property slightly weaker than being a lattice ordered group. Namely, a Riesz group satisfies the Riesz interpolation property: if x1, x2, y1, y2 are elements of G and xi ≤ yj, then there exists z ∈ G such that xi ≤ z ≤ yj. If G and H are two partially ordered groups, a map from G to H is a morphism of partially ordered groups if it is both a group homomorphism and a monotonic function. The partially ordered groups, together with this notion of morphism, form a category. Partially ordered groups are used in the definition of valuations of fields.
Жартылай реттелген G тобы, оң конусы G+ болса, егер кейбір оң бүтін сан n үшін n · g ∈ G+ болса, g ∈ G+ екенін білдірсе, перфорацияланбаған деп аталады. Перфорацияланбаған болу, оң G+ конусында “үзіліс” жоқ дегенді білдіреді. Егер топтағы рет сызықтық рет болса, онда ол сызықтық реттелген топ деп аталады. Егер топтағы рет тор реті болса, яғни кез келген екі элементтің ең кіші жоғарғы шегі болса, онда ол тор реттелген топ (қысқаша l-топ, әдетте скриптпен жазылған l: ℓ-топ) болып табылады. Риес тобы – бұл перфорацияланбаған жартылай реттелген топ, ол тор реттелген топқа қарағанда сәл нашар қасиетке ие. Атап айтқанда, Риес тобы Риес интерполяциялық қасиетін қанағаттандырады: егер x1, x2, y1, y2 G элементтері болса және xi ≤ yj болса, онда xi ≤ z ≤ yj болатын z ∈ G бар. Егер G және H екі жартылай реттелген топ болса, G-ден H-ға карта, егер ол топтық гомоморфизм және монотонды функция болса, жартылай реттелген топтардың морфизмі болып табылады. Морфизм ұғымымен бірге жартылай реттелген топтар категория құрайды. Жартылай реттелген топтар өрістердің бағалауларын анықтау үшін қолданылады.
In abstract algebra, a partially ordered group is a group (G, +) equipped with a partial order "≤" that is translation invariant; in other words, "≤" has the property that, for all a, b, and g in G, if a ≤ b then a + g ≤ b + g and g + a ≤ g + b. An element x of G is called positive if 0 ≤ x. The set of elements 0 ≤ x is often denoted with G+, and is called the positive cone of G.
By translation invariance, we have a ≤ b if and only if 0 ≤ a + b. So we can reduce the partial order to a monadic property: a ≤ b if and only if a + b ∈ G+. For the general group G, the existence of a positive cone specifies an order on G. A group G is a partially orderable group if and only if there exists a subset H (which is G+) of G such that:
0 ∈ H
if a ∈ H and b ∈ H then a + b ∈ H
if a ∈ H then x + a + x ∈ H for each x of G
if a ∈ H and a ∈ H then a = 0
A partially ordered group G with positive cone G+ is said to be unperforated if n · g ∈ G+ for some positive integer n implies g ∈ G+. Being unperforated means there is no "gap" in the positive cone G+. If the order on the group is a linear order, then it is said to be a linearly ordered group. If the order on the group is a lattice order, i. e. any two elements have a least upper bound, then it is a lattice ordered group (shortly l group, though usually typeset with a script l: ℓ group). A Riesz group is an unperforated partially ordered group with a property slightly weaker than being a lattice ordered group. Namely, a Riesz group satisfies the Riesz interpolation property: if x1, x2, y1, y2 are elements of G and xi ≤ yj, then there exists z ∈ G such that xi ≤ z ≤ yj. If G and H are two partially ordered groups, a map from G to H is a morphism of partially ordered groups if it is both a group homomorphism and a monotonic function. The partially ordered groups, together with this notion of morphism, form a category. Partially ordered groups are used in the definition of valuations of fields.
Архимед
Архимедтік нақты сандардың қасиетін ішінара реттелген топтарға жалпылауға болады. Қасиет: Ішінара реттелген топ Архимедтік деп аталады, егер кез келген a және b үшін, егер a ≤ b және b ≤ a + c барлық c үшін, онда a = b. Балама түрінде, егер a < b болса, онда кез келген c үшін, c*a < b болатын d саны табылады.
Толық жабық
G-дің барлық элементтері a және b үшін, егер әрбір табиғи n үшін aⁿ ≤ b болса, онда a ≤ 1 болса, G ішінара реттелген тобы интегралды түрде жабық деп аталады. Бұл қасиет ішінара реттелген топтың Архимедтік қасиетке ие болуынан сәл күшті, бірақ тор ретімен реттелген топтың интегралды түрде жабық болуы және Архимедтік қасиетке ие болуы эквивалентті. Әрбір интегралды жабық бағытталған топтың абельдік екендігі туралы теорема бар. Бұл бағытталған топтың толық тор ретімен реттелген топқа интегралды түрде жабық болған жағдайда ғана енуімен байланысты.