Введение

Группа с совместимым частичным порядком

В абстрактной алгебре частично упорядоченная группа — это группа (G, +), снабжённая частичным порядком "≤", который является трансляционно инвариантным; другими словами, "≤" обладает свойством, что для всех a, b и g из G, если a ≤ b, то a + g ≤ b + g и g + a ≤ g + b. Элемент x из G называется положительным, если 0 ≤ x. Множество элементов 0 ≤ x часто обозначается G+ и называется положительным конусом G.

В силу трансляционной инвариантности, a ≤ b тогда и только тогда, когда 0 ≤ a + b. Таким образом, мы можем свести частичный порядок к монадическому свойству: a ≤ b, если и только если a + b ∈ G+. Для общей группы G существование положительного конуса определяет порядок на G. Группа G является частично упорядочиваемой группой тогда и только тогда, когда существует подмножество H (которое является G+) из G, такое что:
0 ∈ H
если a ∈ H и b ∈ H, то a + b ∈ H
если a ∈ H, то x + a + x ∈ H для каждого x из G
если a ∈ H и a ∈ H, то a = 0

Частично упорядоченная группа G с положительным конусом G+ называется неперыскаемой, если n · g ∈ G+ для некоторого положительного целого числа n влечёт g ∈ G+. Неперыскаемость означает отсутствие "разрыва" в положительном конусе G+. Если порядок в группе является линейным порядком, то она называется линейно упорядоченной группой. Если порядок в группе является решётчатым порядком, то есть любые два элемента имеют наименьшую верхнюю грань, то это решётчатая упорядоченная группа (сокращённо l-группа, хотя обычно записывается с использованием скриптовой l: ℓ-группа). Группа Риеса — это неперыскаемая частично упорядоченная группа со свойством, немного более слабым, чем свойство решётчатой упорядоченности. А именно, группа Риеса удовлетворяет свойству интерполяции Риеса: если x1, x2, y1, y2 — элементы G и xi ≤ yj, то существует z ∈ G, такой что xi ≤ z ≤ yj. Если G и H — две частично упорядоченные группы, то отображение из G в H является морфизмом частично упорядоченных групп, если оно является одновременно гомоморфизмом групп и монотонной функцией. Частично упорядоченные группы вместе с этим понятием морфизма образуют категорию. Частично упорядоченные группы используются в определении оценок полей.

Архимед

Архимедово свойство действительных чисел может быть обобщено на частично упорядоченные группы. Свойство: Частично упорядоченная группа называется архимедовой, когда для любого элемента a, если a > 0 и b ≤ a для всех b, то 0 ≤ a. Эквивалентно, если a > 0, то для любого элемента b существует такое натуральное число n, что b ≤ na.

Неотъемлемо закрыто

Частично упорядоченная группа G называется интегрально замкнутой, если для всех элементов a и b из G, если aⁿ ≤ b для всех натуральных n, то a ≤ 1. Это свойство несколько сильнее, чем тот факт, что частично упорядоченная группа является архимедовой, хотя для решетчато упорядоченной группы быть интегрально замкнутой и быть архимедовой эквивалентно. Существует теорема, что каждая интегрально замкнутая направленная группа уже является абелевой. Это связано с тем, что направленная группа может быть вложена в полную решетчато упорядоченную группу тогда и только тогда, когда она интегрально замкнута.