Введение
Кривые рода > 1 над рациональными числами имеют лишь конечное число рациональных точек. Теорема Фальтинга — это результат в арифметической геометрии, утверждающий, что кривая рода, большего 1, над полем рациональных чисел имеет лишь конечное число рациональных точек. Эта гипотеза была сформулирована Луисом Морделем в 1922 году и до доказательства Гердом Фальтингсом в 1983 году была известна как гипотеза Морделя. Позднее гипотеза была обобщена путем замены поля рациональных чисел на любое числовое поле.
Faltings's theorem is a result in arithmetic geometry, according to which a curve of genus greater than 1 over the field of rational numbers has only finitely many rational points. This was conjectured in 1922 by Louis Mordell, and known as the Mordell conjecture until its 1983 proof by Gerd Faltings. The conjecture was later generalized by replacing by any number field.
Предыстория
Пусть будет невырожденная алгебраическая кривая рода $g$ над $\mathbb{Q}$. Тогда множество рациональных точек на $C$ может быть определено следующим образом:
Когда $g=0$, точек либо нет, либо их бесконечно много. В таких случаях, $C$ может рассматриваться как коническое сечение. Когда $g=1$, если есть какие-либо точки, то $C$ является эллиптической кривой и ее рациональные точки образуют конечно порожденную абелеву группу. (Это теорема Морделла, позднее обобщенная до теоремы Морделла — Вейля.) Более того, теорема Мазура об кручении ограничивает структуру подгруппы кручения. Когда $g \ge 2$, согласно теореме Фальтинга, $C$ имеет лишь конечное число рациональных точек.
When , there are either no points or infinitely many. In such cases, may be handled as a conic section. When , if there are any points, then is an elliptic curve and its rational points form a finitely generated abelian group. (This is Mordell's Theorem, later generalized to the Mordell–Weil theorem.) Moreover, Mazur's torsion theorem restricts the structure of the torsion subgroup. When , according to Faltings's theorem, has only a finite number of rational points.
Доказательства
Игорь Шафаревич предположил, что существует лишь конечное число классов изоморфизма абелевых многообразий фиксированной размерности и фиксированной степени поляризации над фиксированным числовым полем с хорошим восстановлением вне фиксированного конечного множества мест. Алексей Паршин показал, что гипотеза о конечности Шафаревича влечёт за собой гипотезу Морделла, используя прием, который сейчас известен как трюк Паршина. Герд Фальтингс доказал гипотезу о конечности Шафаревича, используя известное сведение к частному случаю гипотезы Тейта, а также инструменты алгебраической геометрии, включая теорию моделей Нерона. Основная идея доказательства Фальтинга заключается в сравнении высот Фальтинга и наивных высот посредством модулярных многообразий Зигеля.
Поздние доказательства
Пол Войта представил доказательство, основанное на диофантовом приближении. Энрико Бомбиери нашёл более элементарный вариант этого доказательства. Брайан Лоуренс и Акшай Венкатеш представили доказательство, основанное на p-адической теории Ходжа, также использовав некоторые более простые элементы из оригинального доказательства Фалтингса.
Обобщения
Из-за теоремы Морделла — Вейля теорему Фальтинга можно переформулировать как утверждение об пересечении кривой с конечно порожденной подгруппой абелева многообразия. Обобщение, заключающееся в замене на полуабелево многообразие, на произвольное подмногообразие и на произвольную подгруппу конечного ранга, приводит к гипотезе Морделла — Ланга, которая была доказана в 1995 году МакКвилланом на основе работ Лорана, Рейно, Хиндри, Войты и Фальтинга. Другим обобщением теоремы Фальтинга на большее число измерений является гипотеза Бомбиери — Ланга, утверждающая, что если является псевдоканоническим многообразием (то есть многообразием общего типа) над числовым полем, то оно не является плотным по Зариски в. Еще более общие гипотезы были предложены Полом Войтой. Гипотеза Морделла для полей функций была доказана Юрием Ивановичем Маниным и Гансом Грауэртом. В 1990 году Роберт Ф. Коулман обнаружил и устранил пробел в доказательстве Манина.