Кіріспе

Бір өлшемді күрделі көптүрлілік

даланың ішкі сақинасының Риманн беті

Математикада, әсіресе күрделі талдауда, Риманн беті – байланысты бір өлшемді күрделі көптүрлілік. Бұл беттерді алғаш рет Бернхард Риман зерттеді және оның атымен аталды. Риманн беттерін күрделі жазықтықтың деформацияланған түрі ретінде қарастыруға болады: әрбір нүктеге жақын жергілікті түрде олар күрделі жазықтықтың бөліктеріне ұқсайды, бірақ жаһандық топологиясы мүлдем басқаша болуы мүмкін. Мысалы, олар шар, тор немесе бірнеше қабаттар біріктіріліп жабыстырылған сияқты болуы мүмкін. Риманн беттерінің мысалдарына √z немесе log(z сияқты көпмәнді функциялардың графиктері жатады, мысалы, w = log(z) шарты орындалатын (z,w) ∈ C2 жұптарының жиынтығы. Кез келген Риманн беті – бұл бет, яғни екі өлшемді нақты көптүрлілік, бірақ ол қосымша құрылымды қамтиды (атап айтқанда, күрделі құрылым). Керісінше, екі өлшемді нақты көптүрлілікті Риманн бетіне айналдыруға болады (әдетте бірнеше тең емес тәсілмен), егер және тек ол бағдарланатын және метрикалық болса. Осыған байланысты, шар мен тор күрделі құрылымдарға ие, ал Мёбиус жолағы, Клейн бөтелкесі және нақты проекциялық жазықтыққа ие емес. Кез келген ықшам Риманн беті – Шоу теоремасы мен Риманн-Рох теоремасы бойынша күрделі алгебралық қисық.

Анықтамалар

Риман бетінің бірнеше теңдесті анықтамасы бар. Риманның X беті – бір өлшемді кешендік көптік. Бұл X – үйлесімді Хаусдорф кеңістігі, ол кешендік жазықтықтың ашық бірлік дискісіне сәйкес келетін картатар атласымен жабдықталған: кез келген x ∈ X нүктесі үшін кешендік жазықтықтың ашық бірлік дискісіне гомеоморфты x-тің маңы бар, ал екі жапсарлас карта арасындағы өту карталары голоморфты болуы керек. Риман беті – конформдық құрылыммен бірге екі жақты (нақты) өлшемді бағытталған көптік. Қайтадан, көптік дегеніміз X-тің кез келген нүктесінде кеңістік нақты жазықтықтың ішкі жиынына гомеоморфты дегенді білдіреді. "Риман" деген қосымша X-ке көптік бұрыштарды өлшеуге мүмкіндік беретін қосымша құрылым берілгенін көрсетеді, атап айтқанда, Риман метрикаларының эквиваленттілік класы. Егер олар өлшейтін бұрыштар бірдей болса, екі мұндай метрика эквивалентті деп есептеледі. X бойынша метриканың эквиваленттілік класын таңдау – конформдық құрылымның қосымша мәліметі болып табылады. Кешендік құрылым кешендік жазықтықта берілген стандартты Евклидтік метриканы таңдап, оны карталар арқылы X-ке көшіру арқылы конформдық құрылымды тудырады. Конформдық құрылымның кешендік құрылымды анықтайтынын көрсету қиынырақ.

Қосымша анықтамалар мен қасиеттер

Кез келген күрделі көптүрлілік арасындағы карта сияқты, екі Риман беті M және N арасындағы f: M → N функциясы, егер M атласындағы кез келген g диаграммасы және N атласындағы кез келген h диаграммасы үшін h ∘ f ∘ g⁻¹ картасы (C-ден C-ге функция ретінде) анықталған жерінде холоморфты болса, холоморфты деп аталады. Екі холоморфты функцияның композициясы холоморфты болады. Екі Риман беті M және N бихоломорфты (немесе конформдық көзқарасқа баса назар аудару үшін конформдық түрде эквивалентті) деп аталады, егер M-ден N-ге биективті холоморфты функция болса, оның кері функциясы да холоморфты (кейіннен бұл шарт автоматты екені анықталады және оны жоғарыда көрсетудің қажеті жоқ). Екі конформдық түрде эквивалентті Риман беті барлық практикалық мақсаттар үшін бірдей болып есептеледі.

Бағдарлану

Әр Риман беті күрделі көптүрлілік болғандықтан, нақты көптүрлілік ретінде бағдарлана алады. f және g күрделі диаграммалары үшін, көшпелі функциясы h = f(g⁻¹(z)) болса, h-ні R² ашық жиынынан R²-ге дейінгі карта ретінде қарастыруға болады, оның z нүктесіндегі Якобианы h'(z) күрделі санымен көбейту арқылы берілген нақты сызықтық карта болып табылады. Дегенмен, комплекс сан α-мен көбейтудің нақты детерминанты |α|²-қа тең, сондықтан h-нің Якобианы оң детерминантқа ие. Осылайша, күрделі атлас бағытталған атлас болып табылады.

Функциялар

Әрбір тығыз емес Риман беті тұрақты емес голоморфтық функцияларды (C мәндерімен) қабылдайды. Шындығында, әрбір тығыз емес Риман беті – Штейн манифолды. Керісінше, компактты Риман беті X-те максимум принципіне сәйкес, C мәндерімен берілген әрбір голоморфтық функция тұрақты болады. Дегенмен, тұрақты емес мероморфтық функциялар (Риман сферасы C ∪ {∞} мәндерімен голоморфтық функциялар) әрқашан бар. Нақтырақ айтқанда, X бетінің функциялар өрісі C(t) функциялар өрісінің (бір айнымалыдағы) шекті кеңейтімі болып табылады, яғни кез келген екі мероморфтық функция алгебралық түрде тәуелді. Бұл тұжырым жоғары өлшемдерге де қатысты, қараңыз: Мероморфтық функцияларды Риман тета функциялары және беттің Абель-Жакоби картасы арқылы нақты түрде беруге болады.

Алгебралық

Барлық компактты Риман беттері алгебралық қисықтар болып табылады, себебі оларды кейбір кеңістікке ендіруге болады. Бұл Кодайраның ену теоремасынан және кез келген комплекс қисықта оң сызықтық бунделінің бар екендігінен келіп шығады.

Талдау және алгебралық

Тұрақты емес мероморфтық функциялардың болуын пайдаланып, кез келген компакт Риман беті проективті алгебралық қисық екенін көрсетуге болады, яғни проективті кеңістікте полиномдық теңдеулермен беріледі. Шындығында, кез келген компакт Риман бетін күрделі проективті 3 кеңістігіне ендіруге болатынын көрсетуге болады. Бұл таңқаларлық теорема: Риман беттері жергілікті жамаулар арқылы беріледі. Бір ғана жаһандық шарт қосылса, атап айтқанда, компакттық, онда бет міндетті түрде алгебралық болады. Риман беттерінің осы ерекшелігі оларды аналитикалық немесе алгебралық геометрия құралдарымен зерттеуге мүмкіндік береді. Жоғары өлшемді объектілер үшін сәйкес мәлімдеме дұрыс емес, яғни алгебралық емес компакт күрделі 2 көптүрліліктер бар. Екінші жағынан, кез келген проективті күрделі көптүрлілік міндетті түрде алгебралық болады, қараңыз Чоу теоремасы. Мысал ретінде, T торын қарастырайық: T := C/(Z + τZ). Z + τZ торға жататын Вейерштрасс функциясы T-де мероморфтық функция болып табылады. Бұл функция және оның туындысы T функциялық өрісін тудырады. g2 және g3 коэффициенттері τ-ға тәуелді болатын теңдеу бар, осылайша алгебралық геометрия мағынасында эллиптік қисық Eτ пайда болады. Бұл процесті кері қайтару j(E) инварианты арқылы жүзеге асырылады, оны τ-ны және осылайша торды анықтау үшін қолдануға болады.

Эллипстік Риманн беттері

Риман сферасы – жалғыз мысал, себебі оған бихоломорфтық түрлендірулер арқылы еркін және дұрыс үздіксіз әрекет ететін топ жоқ. Сондықтан, әмбебап жабыны изоморфты болатын кез келген Риман беті, өзіне де изоморфты болады.

Гиперболалық Риманн беттері

Қалған жағдайларда бұл гиперболалық Риман беті болып табылады, яғни жоғарғы жарты жазықтықтың Фухс тобына бөлінуіне изоморфты (бұл кейде беттің Фухс моделі деп аталады). Бұл беттің топологиялық типі тор мен сферадан басқа кез келген бағытталмалы бет болуы мүмкін. Ерекше қызығушылық тудыратын жағдай – бұл бет компакт болғанда. Онда оның топологиялық типі оның родымен сипатталады. Оның Тейхмюллер кеңістігі мен модульдік кеңістігі өлшемді. Риман беттерінің шекті типтерінің (яғни жабық бетке гомеоморфты, шекті сандағы нүктелерден басқа) жіктелуі де мүмкін. Дегенмен, әдетте шексіз топологиялық типтегі Риман беттерінің модульдік кеңістігі мұндай сипаттамаға ие болуға тым кең.

Риманн беттерінің арасындағы карталар

Геометриялық жіктеу Риманн беттері арасындағы бейнелеулерде көрініс табады, бұл Лиувилл теоремасы мен Литтл Пикард теоремасында егжей-тегжейлі сипатталған: гиперболалықтан параболалыққа, одан эллиптікке дейінгі бейнелеулер оңай, бірақ эллиптікнен параболалыққа немесе параболалықтан гиперболалыққа бейнелеулер өте шектеулі (іс жүзінде, көбінесе тұрақты!). Сфера жазықтықтағы дискіні қамтиды: бірақ сферадан жазықтыққа кез келген голоморфты бейнелеу тұрақты, жазықтықтан бірлік дискіге кез келген голоморфты бейнелеу тұрақты (Лиувилл теоремасы), және тіпті жазықтықтан екі нүктесі алынған жазықтыққа кез келген голоморфты бейнелеу тұрақты (Литтл Пикард теоремасы)!

Пункциялы сфералар

Бұл мәлімдемелер бірнеше тесігі бар Риман сферасының типін қарастыру арқылы нақтыланады. Тесігі болмаса, ол Риман сферасы болып табылады, ол эллипстік. Бір тесігі бар, оны шексіздікке орналастыруға болады, ол кешенді жазықтық, ол параболалық. Екі тесігі болса, ол тесікті жазықтық немесе альтернативті түрде сақина немесе цилиндр болып табылады, ол параболалық. Үш немесе одан көп тесігі бар болса, ол гиперболалық болып табылады – шалбарға ұқсас. Бір тесіктен екі тесікке экспоненциалдық функция арқылы өтуге болады (бұл толық функция және шексіздікте маңызды сингулярлығы бар, сондықтан шексіздікте анықталмайды және нөлді де, шексіздікті де өтпейді), бірақ нөл тесіктен бір немесе одан көп тесікке, немесе бір немесе екі тесіктен үш немесе одан көп тесікке барлық өтулер тұрақты.

Бөлшекті жабыны бар кеңістік

Осы бағытта әрі қарай қарастыратын болсақ, компактты Риман беттерін төменгі жынысты беттерге бейнелеуге болады, бірақ жоғары жынысты беттерге емес, тек тұрақты бейнелеулер ретінде ғана. Бұл себебі голоморфты және мериморфты бейнелеулер жергілікті түрде осылай қызмет етеді, сондықтан тұрақты емес бейнелеулер тармақталған жамылғылар болып табылады, ал компактты Риман беттері үшін олар алгебралық топологиядағы Риман-Хурвиц формуласымен шектеледі, ол кеңістіктің және тармақталған жамылғының Эйлер сипаттамасын байланыстырады. Мысалы, гиперболалық Риман беттері сфераның тармақталған жамылғылары болып табылады (оларда тұрақты емес мероморфтық функциялар бар), бірақ сфера жоғары жынысты беттерге тұрақты бейнелеулер ретінде болмаса, жамылмайды немесе басқаша бейнеленбейді.

Функциялық-теориялық сыныптама

Жоғарыда көрсетілген жіктеу схемасын геометрлер көбінесе қолданады. Риманн беттері үшін тағы бір жіктеу бар, оны күрделі талдаушылар көбінесе қолданады. Ол "параболалық" және "гиперболалық" терминдері үшін басқаша анықтама қолданады. Осы баламалы жіктеу схемасында Риманн беті, егер бетте тұрақты емес теріс субармоникалық функциялар болмаса, параболалық деп аталады, әйтпесе гиперболалық деп аталады. Гиперболалық беттердің бұл класы теріс субармоникалық функциялардан өзге функциялық кеңістіктердің дегенеративті болуына қарай кіші топтарға бөлінеді, мысалы, барлық шектелген голоморфтық функциялар тұрақты болатын Риманн беттері, немесе барлық шектелген гармоникалық функциялар тұрақты болатын, немесе барлық оң гармоникалық функциялар тұрақты болатын Риманн беттері, және т.б. Сан-сақтандыру үшін, тұрақты қисықтық метрикасына негізделген жіктеуді геометриялық жіктеу деп, ал функциялық кеңістіктердің дегенерациясына негізделгенін функциялық теориялық жіктеу деп атайық. Мысалы, "барлық комплекс сандардан 0 және 1 өзге" Риманн беті функциялық теориялық жіктеу бойынша параболалық, бірақ геометриялық жіктеу бойынша гиперболалық болып табылады.