Введение

Одномерное комплексное многообразие

Риманова поверхность подкольца поля

В математике, особенно в комплексном анализе, риманова поверхность — это связное одномерное комплексное многообразие. Эти поверхности впервые были изучены и названы в честь Бернхарда Римана. Римановы поверхности можно рассматривать как деформированные версии комплексной плоскости: локально вблизи каждой точки они выглядят как части комплексной плоскости, но глобальная топология может быть совершенно иной. Например, они могут выглядеть как сфера или тор, или несколько листов, склеенных вместе. Примеры римановых поверхностей включают графики многозначных функций, таких как √z или log(z), например, подмножество пар (z, w) ∈ C² с w = log(z). Каждая риманова поверхность является поверхностью: двумерным вещественным многообразием, но содержит более сложную структуру (в частности, комплексную структуру). И наоборот, двумерное вещественное многообразие можно превратить в риманову поверхность (обычно несколькими неэквивалентными способами) тогда и только тогда, когда оно ориентируемо и метризуемо. Следовательно, сфера и тор допускают комплексные структуры, а полоса Мёбиуса, бутылка Клейна и вещественная проективная плоскость — нет. Каждая компактная риманова поверхность является комплексной алгебраической кривой согласно теореме Чоу и теореме Римана — Роха.

Определения

Существует несколько эквивалентных определений поверхности Римана. Поверхность Римана X представляет собой связное комплексное многообразие комплексной размерности один. Это означает, что X – это связное хаусдорфово пространство, наделённое атласом карт на открытый единичный диск комплексной плоскости: для каждой точки x ∈ X существует окрестность точки x, гомеоморфная открытому единичному диску комплексной плоскости, и карты перехода между двумя перекрывающимися картами должны быть голоморфными. Поверхность Римана – это ориентированное многообразие (действительной) размерности два – двусторонняя поверхность – вместе с конформной структурой. Снова же, многообразие означает, что локально в любой точке x из X пространство гомеоморфно подмножеству вещественной плоскости. Дополнение "Риман" указывает на то, что X наделено дополнительной структурой, позволяющей измерять углы на многообразии, а именно классом эквивалентности так называемых римановых метрик. Две такие метрики считаются эквивалентными, если измеряемые ими углы совпадают. Выбор класса эквивалентности метрик на X является дополнительным условием конформной структуры. Комплексная структура порождает конформную структуру, выбирая стандартную евклидову метрику на комплексной плоскости и перенося её на X посредством карт. Доказать, что конформная структура определяет комплексную структуру, более сложно.

Дополнительные определения и свойства

Как и в случае с любой картой между комплексными многообразиями, функция f: M → N между двумя римановыми поверхностями M и N называется голоморфной, если для каждой диаграммы g в атласе M и каждой диаграммы h в атласе N отображение h ∘ f ∘ g−1 является голоморфным (как функция из C в C) везде, где оно определено. Композиция двух голоморфных отображений является голоморфной. Две римановы поверхности M и N называются биголоморфными (или конформно эквивалентными, чтобы подчеркнуть конформную точку зрения), если существует биективное голоморфное отображение из M в N, обратное которому также является голоморфным (оказывается, что последнее условие автоматически выполняется и поэтому может быть опущено). Две конформно эквивалентные римановы поверхности для всех практических целей идентичны.

Ориентационность

Каждая поверхность Римана, будучи комплексным многообразием, ориентируема как вещественное многообразие. Для комплексных карт f и g с функцией перехода h = f(g⁻¹(z)), h можно рассматривать как отображение из открытого множества R² в R², чей якобиан в точке z является просто вещественным линейным отображением, заданным умножением на комплексное число h'(z). Однако, вещественный определитель умножения на комплексное число α равен |α|², следовательно, якобиан h имеет положительный определитель. Таким образом, комплексный атлас является ориентированным атласом.

Функции

Каждая некомпактная поверхность Римана допускает неконстантные голоморфные функции (со значениями в C). Фактически, каждая некомпактная поверхность Римана является многообразием Штейна. В отличие от этого, на компактной поверхности Римана X каждая голоморфная функция со значениями в C постоянна в силу принципа максимума. Однако всегда существуют неконстантные мероморфные функции (голоморфные функции со значениями в сфере Римана C ∪ {∞}). Более точно, поле функций X является конечным расширением поля C(t), поля функций одной переменной, то есть любые две мероморфные функции алгебраически зависимы. Это утверждение обобщается на более высокие размерности, см. Мероморфные функции могут быть заданы достаточно явно, в терминах тета-функций Римана и отображения Абеля–Якоби поверхности.

Алгебраичность

Все компактные поверхности Римана являются алгебраическими кривыми, поскольку их можно вложить в некоторое проективное пространство. Это следует из теоремы вложения Кодайры и того факта, что на любой комплексной кривой существует положительный линейный расслоение.

Аналитическая и алгебраическая

Существование неконстантных мероморфных функций может быть использовано для доказательства того, что любая компактная поверхность Римана является проективным многообразием, то есть может быть задана полиномиальными уравнениями в проективном пространстве. Фактически, можно показать, что каждая компактная поверхность Римана может быть вложена в комплексное проективное пространство размерности 3. Это удивительная теорема: поверхности Римана задаются локальными атласами. Если добавить одно глобальное условие, а именно компактность, поверхность оказывается алгебраической. Эта особенность поверхностей Римана позволяет изучать их средствами аналитической или алгебраической геометрии. Соответствующее утверждение для объектов большей размерности неверно, то есть существуют компактные комплексные многообразия размерности 2, которые не являются алгебраическими. С другой стороны, каждое проективное комплексное многообразие обязательно алгебраическое, как утверждает теорема Чоу. В качестве примера рассмотрим тор T := C/(Z + τZ). Функция Вейерштрасса, соответствующая решетке Z + τZ, является мероморфной функцией на T. Эта функция и ее производная порождают поле функций T. Существует уравнение, где коэффициенты g2 и g3 зависят от τ, что определяет эллиптическую кривую Eτ в смысле алгебраической геометрии. Обратное преобразование осуществляется с помощью j-инварианта j(E), который позволяет определить τ и, следовательно, тор.

Эллиптические поверхности Римана

Сфера Римана является единственным примером, так как не существует группы, действующей на ней биголоморфными преобразованиями свободно и правильно разрывно, и, следовательно, любая поверхность Римана, универсальное накрытие которой изоморфно ей, сама должна быть изоморфна ей.

Гиперболические поверхности Римана

В остальных случаях это гиперболическая поверхность Римана, изоморфная факторпространству верхней полуплоскости по группе Фукса (иногда это называют моделью Фукса для поверхности). Топологический тип может быть любым ориентируемым многообразием, кроме тора и сферы. Особый интерес представляет случай, когда поверхность компактна. Тогда её топологический тип описывается её родом. Её пространство Тейхмюллера и модульное пространство имеют размерность . Аналогичная классификация может быть дана для поверхностей Римана конечного типа (то есть гомеоморфных замкнутой поверхности с удаленными конечным числом точек). Однако в общем случае модульное пространство поверхностей Римана бесконечного топологического типа слишком велико, чтобы такое описание было возможным.

Карты между поверхностями Римана

Геометрическая классификация отражается в отображениях между римановыми поверхностями, как подробно описано в теореме Лиувиля и малой теореме Пикара: отображения из гиперболической области в параболическую и затем в эллиптическую легко построить, но отображения из эллиптической области в параболическую или из параболической области в гиперболическую сильно ограничены (фактически, как правило, постоянны!). Существуют включения диска в плоскость внутри сферы: однако любое голоморфное отображение из сферы в плоскость постоянно, любое голоморфное отображение из плоскости в единичный диск постоянно (теорема Лиувиля), и, более того, любое голоморфное отображение из плоскости в плоскость, из которой исключены две точки, постоянно (малая теорема Пикара)!

Пробитые сферы

Эти утверждения проясняются при рассмотрении типа сферы Римана с некоторым числом проколов. Без проколов это сфера Римана, которая является эллиптической. При одном проколе, который можно расположить в бесконечности, это комплексная плоскость, которая является параболической. При двух проколах это проколотая плоскость, или, альтернативно, кольцо или цилиндр, которые являются параболическими. При трех и более проколах это гиперболическая область – сравните с парой штанов. Можно построить отображение из одной проколотой сферы в две, используя экспоненциальное отображение (которое является целой функцией и имеет существенную сингулярность в бесконечности, поэтому не определено в бесконечности и не принимает значения в нуле и бесконечности), но все отображения из сферы без проколов в сферу с одним или более проколами, или из сферы с одним или двумя проколами в сферу с тремя или более проколами, являются постоянными.

Размащенные покрывающие пространства

Продолжая в том же духе, компактные поверхности Римана могут отображаться на поверхности меньшего рода, но не на поверхности большего рода, за исключением постоянных отображений. Это происходит потому, что голоморфные и мероморфные отображения локально ведут себя как , поэтому неконстантные отображения являются разветвленными накрытиями. Для компактных поверхностей Римана эти отображения ограничены формулой Римана — Гурвица из алгебраической топологии, которая связывает эйлерову характеристику пространства и разветвленного накрытия. Например, гиперболические поверхности Римана являются разветвленными накрытиями сферы (они имеют неконстантные мероморфные функции), но сфера не может являться накрытием или отображаться на поверхности большего рода, за исключением постоянного отображения.

Теоретическая классификация функций

Вышеуказанная схема классификации обычно используется геометрами. Существует другая классификация поверхностей Римана, которая обычно используется комплексными аналитиками. В ней используется иное определение для "параболической" и "гиперболической" типов. В этой альтернативной схеме классификации поверхность Римана называется параболической, если на ней нет неконстантных отрицательных субармонических функций, и в противном случае – гиперболической. Этот класс гиперболических поверхностей далее подразделяется на подклассы в зависимости от того, являются ли другие функциональные пространства, помимо отрицательных субармонических функций, вырожденными, например, поверхности Римана, на которых все ограниченные голоморфные функции постоянны, или на которых все ограниченные гармонические функции постоянны, или на которых все положительные гармонические функции постоянны и так далее. Чтобы избежать путаницы, будем называть классификацию, основанную на метриках постоянной кривизны, геометрической классификацией, а классификацию, основанную на вырожденности функциональных пространств, – функционально-теоретической классификацией. Например, поверхность Римана, состоящая из "всех комплексных чисел, кроме 0 и 1", является параболической в функционально-теоретической классификации, но гиперболической – в геометрической классификации.