Кіріспе

Математикадағы топтың түрі

Математикада n өлшемдегі ортогональды топ, O(n) деп белгіленеді, – бұл n өлшемді Евклид кеңістігіндегі қашықтықты сақтайтын және белгілі бір нүктені сақтайтын трансформациялардың тобы, мұнда топтық операция трансформацияларды біріктіру арқылы беріледі. Ортогональды топты кейде жалпы сызықтық топқа ұқсастығы бойынша жалпы ортогональды топ деп атайды. Бұл n × n ортогональды матрицалардың тобы, мұнда топтық операция матрица көбейту арқылы беріледі (ортогональды матрица – керісі өзінің транспозысына тең нақты матрица). Ортогональды топ – алгебралық топ және Ли тобы. Ол тығыз. n өлшемдегі ортогональды топтың екі байланысқан компоненті бар. Біреуі, сәйкес элементі бар, – бұл қалыпты кіші топ, арнайы ортогональды топ деп аталады және SO(n) деп белгіленеді. Ол 1-детерминанты бар барлық ортогональды матрицалардан тұрады. Бұл топ сондай-ақ айналу тобы деп аталады, себебі 2 және 3 өлшемдердегі элементтері нүкте (2 өлшемде) немесе түзу (3 өлшемде) айналасындағы әдеттегі айналулар болып табылады. Төмен өлшемдерде бұл топтар кеңінен зерттелді, мысалы SO(2), SO(3) және SO(4). Екінші компонент – 1-ге теріс детерминанты бар барлық ортогональды матрицалардан тұрады. Бұл компонент топты құрамайды, өйткені оның кез келген екі элементінің көбейтіндісі 1-ге тең детерминантқа ие, сондықтан бұл компоненттің мүшесі емес. Сонымен қатар, кез келген F өрісі үшін, F-тегі жазбалары бар n × n матрица, егер оның керісі өзінің транспозысына тең болса, F-те ортогональды матрица деп аталады. n × n ортогональды матрицалар жалпы сызықтық топтың O(n, F) деп белгіленетін кіші тобын құрайды; яғни,

Кеңірек айтқанда, егер өрістегі векторлық кеңістікте дегенерацияланбаған симметриялық билинейрлік форма немесе квадраттық форма берілген болса, онда форманың ортогональды тобы – бұл форманы сақтайтын инверттік сызықтық түрлендірулердің тобы. Жоғарыдағы ортогональды топтар – бұл арнайы жағдай, онда қандай да бір базисте билинейрлік форма скалярлық көбейтуге тең, немесе, баламалы түрде, квадраттық форма координаттардың квадраттарының қосындысына тең. Барлық ортогональды топтар алгебралық топтар болып табылады, себебі форманы сақтау шартын матрицалардың теңдігі түрінде көрсетуге болады.

Атауы

"Ортогоналдық топ" атауы оның элементтерінің келесідей сипатталуынан туындайды. n өлшемді Евклид векторлық кеңістік Е берілгенде, ортогоналдық топ O(n) элементтері – біркелкі өзгертуге (гомотетияға) дейін, E-ден E-ге дейінгі ортогональды векторларды ортогональды векторларға бейнелейтін сызықтық түрлендірулер болып табылады.

Сфералардың симметриялық тобы

Ортогоналдық топ O(n) – (n-1) сфераның симметрия тобы (1=n=3 үшін бұл жай ғана сфера) және ортасы таңдалған жағдайда, шар тәрізді симметриясы бар барлық объектілердің симметрия тобы. Шеңбердің симметрия тобы O(2) болып табылады. SO(2) бағытты сақтайтын кіші топ, нақты Лай тобы ретінде, шеңбер тобымен, сондай-ақ абсолюттік шамасы бірге тең кешенді сандардың көбейту тобымен, яғни бірлік тобымен изоморфты. Бұл изоморфизм абсолюттік шамасы 1-ге тең кешенді сан 1=exp(φi) = cos(φ) + i sin(φ) -ні арнайы ортогоналды матрицаға сәйкестендіреді. Жоғары өлшемдерде O(n) күрделірек құрылымға ие (әсіресе, ол енді коммутативті емес). n сфераның және O(n) топологиялық құрылымдары тығыз байланысты, және бұл байланыс екі топологиялық кеңістікті зерттеу үшін кеңінен қолданылады.

Топтың құрылымы

O(n) және SO(n) топтары n(n − 1) / 2 өлшемді нақты, компактты Ли топтары болып табылады. O(n) тобының екі байланысқан компоненті бар, ал SO(n) – сәйкестік компоненті, яғни сәйкестік матрицасын қамтитын байланысқан компонент.

Алгебралық топтар ретінде

Ортогоналдық топ O(n) матрицалар тобымен сәйкестендіріледі, себебі осы теңдеудің екі мүшесі де симметриялық матрицалар болғандықтан, бұл n(n + 1) / 2 теңдеуді береді, оларды ортогоналдық матрицаның элементтері қанағаттандыруы керек, ал олардың барлығы ортогоналды емес матрицаның элементтерімен қанағаттандырылмайды. Бұл O(n) алгебралық жиын екенін дәлелдейді. Сонымен қатар, оның өлшемі O(n) толық қиылыс екенін көрсетеді. Бұл оның барлық азайтылмайтын компоненттерінің бірдей өлшемге ие екенін және оның енгізілген компоненті жоқ екенін білдіреді. Шындығында, O(n) екі азайтылмайтын компонентке ие, олар детерминанттың таңбасымен ажыратылады (яғни det(A) = 1 немесе det(A) = −1). Екеуі де бірдей өлшемді, n(n − 1) / 2 сингуляр емес алгебралық сан түрлері. det(A) = 1 компоненті – SO(n).

Негізгі топ

Алгебралық топология тұрғысынан алғанда, n > 2 үшін SO(n, ℝ) тобының негізгі тобы 2 реттік циклдік болып табылады, ал спин тобы Spin(n) оның әмбебап жабуы болып табылады. n = 1 немесе n = 2 үшін негізгі топ шексіз циклдік, ал әмбебап жабу нақты түзуге сәйкес келеді (Spin(2) тобы – бірегей байланысқан екі еселі жабу).

КО-теориямен байланысы

Клеч конструкциясы арқылы тұрақты O кеңістігінің гомотопиялық топтары сфералардағы тұрақты векторлық бундеттермен (изоморфизмге дейін) анықталады, өлшем 1-ге ауысады: 1=πk(O) = πk + 1(BO). 1=KO = BO × 'Z' = Ω^(−1)O × 'Z' (кезеңділікке сәйкес болу үшін π0-ны қосу арқылы) деп белгілей отырып, мынаны аламыз:

Лей топтары

Ли тобы туралы жалпы фактілерден, π2(G) әрқашан нөлге тең болады, ал π3(G) бос (бос абельдік) болады.

Векторлық бундеттер

π0(KO) – екі нүктеден тұратын S^(0) кеңістігіндегі векторлық шоғыр. Сондықтан, әрбір нүктеде шоғыр тривиалды болады, ал шоғырдың тривиалды еместігі – екі нүктедегі векторлық кеңістіктердің өлшемдерінің айырмасымен анықталады, демек 1=π0(KO) = '[[бүтін сандардың өлшемі.

Бұраулар кеңістіктері

Ботт кезеңділігіндегі цикл кеңістіктерінің нақты сипаттамаларын қолдану арқылы, О-ның жоғары гомотопияларын төменгі дәрежелі, талдауға оңай гомотопиялар тұрғысынан түсіндіруге болады. π0-ды пайдаланып, O және O/U екі компоненттен тұрады, 1=KO = BO × 'Z' және 1=KSp = BSp × 'Z' санаулы көп компонентті, ал қалғандары байланысты.

Реалдар бойынша белгісіз квадраттық нысан

Нақты сандар бойынша, дегенерацияланбаған квадраттық нысандар Сильвестрдің инерция заңымен жіктеледі, ол n өлшемді векторлық кеңістікте мұндай нысанды p квадраттардың қосындысы мен q квадраттардың қосындысының айырмасы ретінде жазуға болады, мұнда p + q = n. Басқаша айтқанда, квадраттық нысанның матрицасы диагональ матрицасы болып табылатын негіз бар, онда p элементі 1-ге, ал q элементі -1-ге тең. (p, q) жұбы инерция деп аталады, және ол квадраттық нысанның инварианты болып табылады, яғни диагональ матрицаны есептеу тәсіліне тәуелді емес. Квадраттық нысанның ортогоналдық тобы тек инерцияға ғана тәуелді, сондықтан оны әдетте O(p, q) деп белгілейді. Сондай-ақ, квадраттық нысан мен оның қарама-қарсысы бірдей ортогоналдық топқа ие болғандықтан, O(p, q) = O(q, p). Стандартты ортогоналдық топ O(n) = O(n, 0) = O(0, n) болып табылады. Осы бөлімнің қалған бөлігінде p және q екеуі де нөл емес деп есептеледі. O(p, q) тобындағы 1-ге тең детерминанты бар матрицалардың кіші тобы SO(p, q) деп белгіленеді. O(p, q) тобының төрт байланысқан компоненті бар, бұл элементтің оң немесе теріс нақты квадраттық формасы бар екі максималды кіші кеңістіктің бірінде бағдарды сақтауына байланысты. Екі кіші кеңістікте де бағытты сақтайтын элементтері бар бірлік компоненті. O(3, 1) тобы салыстырмалылық теориясындағы негізгі Лоренц тобы болып табылады, мұнда 3 кеңістіктік координаттарға, ал 1 уақыт координатасына сәйкес келеді.

Күрделі квадраттық пішіндер

Комплексті сандардың 'C' өрісі бойынша, n айнымалыдағы әрбір дегенерацияланбаған квадраттық форма теңдес. Осылайша, изоморфизмге дейін, n өлшемді бір ғана дегенерацияланбаған комплекс квадраттық кеңістік және бірге байланысты ортогоналды топ бар, ол әдетте O(n, 'C') деп белгіленеді. Бұл – өз транспозымен көбейтілгенде бірлік матрицаны беретін комплекс матрицалар тобы, яғни комплекс ортогоналды матрицалар. Шын жағдайдағыдай, O(n, 'C') екі байланысты компонентке ие. Бірлік компоненті O(n, 'C')-дегі 1-ге тең детерминанты бар матрицалардан тұрады; ол SO(n, 'C') деп белгіленеді. O(n, 'C') және SO(n, 'C') топтары – 'C' өрісінде n(n − 1) / 2 өлшемді комплекс Ли топтары (ал 'R' өрісіндегі өлшем екі есе). n ≥ 2 болғанда, бұл топтар компакт емес. Шын жағдайдағыдай, SO(n, 'C') жай ғана байланысты емес: n > 2 болғанда SO(n, 'C') тобының негізгі тобы 2 реттік циклдік, ал SO(2, 'C') тобының негізгі тобы 'Z' болып табылады.

Диксон инварианты

Ортогональды топтар үшін Диксон инварианты – ортогональды топтан "Z"/2'Z" (2-модульді бүтін сандар) бөлімдік тобына гомоморфизм, мұнда элемент жұп сан көбейтіндісі болған жағдайда 0 мәнін қабылдайды, ал әйтпесе 1 мәнін қабылдайды. Алгебралық тұрғыдан Диксон инвариантын 1=D(f) = rank(I − f) модулі 2 ретінде анықтауға болады, мұнда I – бірлік матрица. 2-ге тең емес ерекшеліктері бар өрістерде ол детерминантқа тең: детерминант – Диксон инвариантының -1 дәрежесіне тең. 2-ге тең ерекшеліктері бар өрістерде детерминант әрқашан 1-ге тең, сондықтан Диксон инварианты детерминантқа қарағанда көбірек ақпарат береді. Арнайы ортогональды топ – Диксон инвариантының ядросы. Егер F-тің ерекшелігі 2-ге тең болмаса, Диксон инварианты детерминант 1-ге тең болғанда ғана 0-ге тең болады. Осылайша, ерекшелік 2-ге тең болмағанда, SO(n, F) 1-ге тең детерминанты бар O(n, F) элементтері ретінде анықталады. O(n, F) тобындағы әрбір элементтің детерминанты ±1 болады. Сондықтан, 2-ге тең ерекшелікте детерминант әрқашан 1-ге тең. Диксон инвариантын Клиффорд топтары мен спин топтары үшін де ұқсас тәсілмен (барлық өлшемдерде) анықтауға болады.

2-характерлік ортогональды топтар

Сипаттамасы 2 болатын ортогональды топтар көбінесе ерекше мінез-құлықтарды көрсетеді, олардың кейбіреулері осы бөлімде тізімделген. (Бұрын бұл топтар гипоабелдік топтар деп аталатын, бірақ бұл термин енді қолданылмайды.) Кез келген ортогональды топ кез келген өрісте көрістің көмегімен жасалады, тек бір ғана ерекше жағдайды қоспағанда: векторлық кеңістік 2 элементі бар өрісте 4 өлшемді болып келеді және Витт индексі 2-ге тең. Екінші сипаттамадағы көрістің анықтамасы сәл өзгеше. Екінші сипаттамада, "u" векторына ортогональ көріс "v" векторын "v" + B("v", "u")/Q("u") · "u" векторына айналдырады, мұнда B – екі сызықты форма, ал Q – ортогональ геометрияға байланысты квадраттық форма. Бұл үй иесінің көрісімен (Householder reflection) немесе сипаттамасы тақ немесе нөлдік болатын жағдайдағы көріспен салыстырыңыз, ол "v" векторын "v" − 2·B("v", "u")/Q("u") · "u" векторына айналдырады. Ортогональды топтың центрі әдетте 2 емес, 1 ретке ие, себебі 1=I = −I. 2n + 1 өлшемділігі бар 2 сипаттамасындағы ортогональды топтар толық өрістерде симплектік топтармен сәйкес келеді. Шындығында, симметриялық форма 2 сипаттамасында ауыспалы болып келеді, ал өлшем тақ болғандықтан, ол 1 өлшемді ядроға ие болуы керек, ал осы ядро бойынша бөлу 2n өлшемді симплектикалық кеңістікке айналады, оған ортогональды топ әсер етеді. 2 сипаттамасындағы жұп өлшемдерде ортогональды топ симплектикалық топтың кіші тобы болып табылады, өйткені квадраттық форманың симметриялық екі сызықты формасы да ауыспалы форма болып табылады.

Спинор нормасы

Спинорлық норма – F өрісі бойынша ортогональды топтан F^(×) / (F^(×))^(2) тобына (F өрісінің квадрат элементтермен көбейтуге дейінгі көбейтуші тобы) гомоморфизм болып табылады, бұл n нормасы бар вектордағы көріністі F^(×) / (F^(×))^(2) тобындағы n бейнесіне жібереді. Нақты сандар үстіндегі дәстүрлі ортогональды топ үшін бұл тривиальды, бірақ басқа өрістерде немесе оң анықталмаған нақты сандар үстіндегі квадраттық форманың ортогональды тобы үшін бұл көбінесе тривиальды емес.

Галуа кохомологиясы және ортогональды топтар

Алгебралық топтардың Галуа когомологиясы теориясында бірнеше қосымша көзқарастар ұсынылған. Олардың түсіндіру маңызы бар, әсіресе квадраттық формалар теориясымен байланыста; бірақ құбылыстың ашылуына қатысты көбінесе кейіннен туындаған. Біріншісі – өрістегі квадраттық формаларды Галуа H^(1) ретінде немесе ортогоналды топтың бұрылған формалары (торсорлар) ретінде сәйкестендіруге болады. Алгебралық топ ретінде ортогоналды топ, әдетте, байланысты да, жай байланысты да емес; екінші жайт спин құбылыстарын тудырады, ал біріншісі – детерминантқа қатысты. Спинор нормасының «спин» атауы спин тобымен (нақтырақ айтқанда, пин тобымен) байланыс арқылы түсіндіріледі. Бұл енді Галуа когомологиясы арқылы (дегенмен, термин енгізілгеннен кейін Клиффорд алгебрасын тікелей қолдану арқылы) жылдам түсіндірілуі мүмкін. Ортогоналды топтың спин жабуы алгебралық топтардың қысқа дәл тізбегін қамтамасыз етеді. Мұнда μ2 – 1-дің квадрат түбірінің алгебралық тобы; 2-ден өзгеше сипаттамасы бар өрісте ол тривиальды Галуа әрекетімен екі элементті топқа шамамен тең. H^(0)(OV) гомоморфизмінен, яғни F-қа тең нүктелердің OV(F) тобынан H^(1)(μ2) гомоморфизміне дейінгі жалғау спинор нормасына тең, себебі H^(1)(μ2) өрістің модульдік квадраттарының көбейту тобына изоморфты. Сонымен қатар, ортогоналды топтың H^(1)-нен спин жабуының ядросының H^(2)-не гомоморфизм бар. Когомология абельдік емес, сондықтан бұл біздің мүмкін болатын соңғы шегіміз, кем дегенде, дәстүрлі анықтамалармен.

Лей алгебрасы

O(n, F) және SO(n, F) Ли тобына сәйкес келетін Ли алгебрасы, коммутатормен берілген Ли скобкасы [ , ] арқылы анықталатын, көлденең-симметриялық n × n матрицалардан тұрады. Бір Ли алгебрасы екі топқа да сәйкес келеді. Ол көбінесе немесе деп белгіленеді және ортогональды Ли алгебрасы немесе арнайы ортогональды Ли алгебрасы деп аталады. Нақты сандар жиынында, әртүрлі n үшін бұл Ли алгебралары, жартылай жай Ли алгебраларының төрт отбасының екеуінің ықшам нақты формаларын құрайды: 1=n = 2k + 1 жағдайында Bk, ал 1=n = 2r жағдайында Dr. SO(n) тобы жай байланыспағандықтан, ортогональды Ли алгебраларының бейнелеу теориясы, ортогональды топтардың әдеттегі бейнелеулеріне де, ортогональды топтардың проекциялық бейнелеулеріне де сәйкес келетін бейнелеулерді қамтиды. (SO(n) проекциялық бейнелеулері – спин тобының жай ғана сызықтық бейнелеулері.) Соңғылары спин бейнелеулері деп аталады, олар физикада маңызды рөл атқарады. Көбірек жалпылап айтқанда, 2-ге тең емес сипаттамасы бар өріс үстіндегі V векторлық кеңістігі, дегенерацияланбаған симметриялық билинейрлік формасы (⋅, ⋅) берілгенде, арнайы ортогональды Ли алгебрасы осы форма үшін көлденең-симметриялық және ізсіз эндоморфизмдерден тұрады. 2 сипаттамасы бар өрісте біз керісінше, ауыспалы эндоморфизмдерді қарастырамыз. Нақтырақ айтқанда, оларды ауыспалы тензорлармен сәйкестендіруге болады. Сәйкестік мына формуламен беріледі: Бұл сипаттама (p, q) қолтаңбасы бар симметриялық билинейрлік формалары үшін белгісіз арнайы ортогональды Ли алгебраларына да бірдей қолданылады. Нақты сандар жиынында, бұл сипаттама векторлық өрістің (табиғи түрде 2-вектор) керлін, шексіз айналу немесе "керл" ретінде түсіндіру үшін қолданылады, сондықтан осылай аталады.

Қатынасты топтар

Ортогональды топтар мен арнайы ортогональды топтардың бірқатар маңызды кіші топтары, супертоптары, бөліндік топтары және жабатын топтары бар. Олар төменде тізімделген. O(n) ⊂ U(n) ⊂ USp(2n) және USp(n) ⊂ U(n) ⊂ O(2n) кіріктірулері Ботттың кезеңділік теоремасының геометриялық дәлелінде қолданылатын 8 кіріктірулер тізбегінің бір бөлігі болып табылады, ал сәйкес бөліндік кеңістіктер өздігінен қызығушылық тудыратын симметриялық кеңістіктер болып табылады – мысалы, U(n)/O(n) Лагранж Грассманнианы.

Қалыпты топ

Изометриялар болғандықтан, нақты ортогональды түрлендірулер бұрыштарды сақтайды, демек конформды бейнелеулер болып табылады, бірақ барлық конформды сызықтық түрлендірулер ортогональды емес. Классикалық тұрғыда бұл үшбұрыштардың SSS (қабырға-қабырға-қабырға) конгруенциясы және AAA (бұрыш-бұрыш-бұрыш) ұқсастығы мысалында көрсетілгендей, конгруенция мен ұқсастық арасындағы айырмашылық. 'R'^(n) кеңістігіндегі конформды сызықтық бейнелеулер тобы конформды ортогональды топ үшін CO(n) деп белгіленеді және ол ортогональды топ пен кеңейтулер тобының көбейтіндісінен тұрады. Егер n тақ болса, бұл екі кіші топ қиылыспайды және тікелей көбейтінді құрайды: 1=CO(2k + 1) = O(2k + 1) × 'R'^(∗), мұнда 1='R'^(∗) = 'R'∖{0} – нақты көбейтуші топ, ал егер n жұп болса, бұл кіші топтар ±1-де қиылысады, сондықтан бұл тікелей көбейтінді емес, бірақ оң скалярмен кеңейту кіші тобымен тікелей көбейтінді құрайды: 1=CO(2k) = O(2k) × 'R'^(+). CSO(n)-ны да осылай анықтауға болады; ол әрқашан: 1=CSO(n) = CO(n) ∩ GL^(+)(n) = SO(n) × 'R'^(+).

Негізгі біртекті кеңістік: Штифел коллекторы

Ортогоналдық топ O(n) үшін негізгі гомогендік кеңістік – ортонрмальды негіздердің (ортонрмальды n кадрлардың) Vn(Rⁿ) Стифель көптігі. Басқаша айтқанда, ортонрмальды негіздер кеңістігі ортогоналдық топқа ұқсас, бірақ бастапқы нүкте таңдаусыз: ортогоналдық кеңістік берілгенде, ортонрмальды негіздің табиғи таңдауы жоқ, бірақ бір негіз берілгеннен кейін, негіздер мен ортогоналдық топ арасында біржақты сәйкестік болады. Нақтырақ айтқанда, сызықтық түрлендіру негіздің қай жерге жіберілетінімен анықталады: кері өзгеретін түрлендіру кез келген негізді кез келген басқа негізге жіберуге болатындай, ортогоналдық түрлендіру кез келген ортогоналдық негізді кез келген басқа ортогоналдық негізге жібере алады. Басқа Стифель көптіктері Vk(Rⁿ), k < n үшін, толық емес ортонрмальды негіздердің (ортонрмальды k кадрлардың) ортогоналдық топ үшін де біртекті кеңістіктер болып табылады, бірақ негізгі біртекті кеңістіктер емес: кез келген k кадрды ортогоналдық түрлендіру арқылы кез келген басқа k кадрға жіберуге болады, бірақ бұл түрлендіру бірегей түрде анықталмайды.