Введение

Тип группы в математике

В математике ортогональная группа размерности n, обозначаемая O(n), — это группа преобразований, сохраняющих расстояние в n-мерном евклидовом пространстве, которые сохраняют фиксированную точку, где групповая операция задается композицией преобразований. Ортогональную группу иногда называют общей ортогональной группой по аналогии с общей линейной группой. Эквивалентно, это группа n × n ортогональных матриц, где групповая операция задается умножением матриц (ортогональная матрица — это вещественная матрица, обратная которой равна её транспонированной). Ортогональная группа является алгебраической группой и группой Ли. Она компактна. Ортогональная группа размерности n имеет два связных компонента. Тот, который содержит единичный элемент, является нормальной подгруппой, называемой специальной ортогональной группой, и обозначается SO(n). Она состоит из всех ортогональных матриц с определителем 1. Эта группа также называется группой вращений, обобщая тот факт, что в размерностях 2 и 3 её элементы являются обычными вращениями вокруг точки (в размерности 2) или прямой (в размерности 3). В малых размерностях эти группы были широко изучены, см. SO(2), SO(3) и SO(4). Другой компонент состоит из всех ортогональных матриц с определителем −1. Этот компонент не образует группу, так как произведение любых двух его элементов имеет определитель 1 и, следовательно, не является элементом этого компонента. В более общем случае, для любого поля F, n × n матрица с элементами из F, обратная которой равна её транспонированной, называется ортогональной матрицей над F. n × n ортогональные матрицы образуют подгруппу, обозначаемую O(n, F), общей линейной группы GL(n, F); то есть

В более общем виде, для невырожденной симметричной билинейной формы или квадратичной формы на векторном пространстве над полем, ортогональная группа формы — это группа обратимых линейных отображений, сохраняющих эту форму. Предыдущие ортогональные группы являются частным случаем, когда на некотором базисе билинейная форма является скалярным произведением, или, эквивалентно, квадратичная форма является суммой квадратов координат. Все ортогональные группы являются алгебраическими группами, поскольку условие сохранения формы может быть выражено как равенство матриц.

Имя

Название "ортогональная группа" происходит от следующей характеристики её элементов. Для заданного евклидова векторного пространства E размерности n, элементы ортогональной группы O(n) являются, вплоть до равномерного масштабирования (гомотетии), линейными отображениями из E в E, которые переводят ортогональные векторы в ортогональные векторы.

Группа симметрии сфер

Ортогональная группа O(n) является группой симметрий (n − 1)-мерной сферы (для n = 3 это просто сфера) и всех объектов, обладающих сферической симметрией, при условии, что начало координат выбрано в центре. Группа симметрий окружности — O(2). Ориентационно-сохраняющая подгруппа SO(2) изоморфна (как вещественная группа Ли) группе окружности, также известной как унитарная группа, или мультипликативная группа комплексных чисел с абсолютной величиной, равной единице. Этот изоморфизм отображает комплексное число 1 = exp(φi) = cos(φ) + i sin(φ) с абсолютной величиной 1 в специальную ортогональную матрицу.

В более высоких размерностях O(n) имеет более сложную структуру (в частности, перестает быть коммутативной). Топологические структуры n-мерной сферы и O(n) тесно связаны, и эта связь широко используется для изучения обоих топологических пространств.

Структура группы

Группы O(n) и SO(n) являются вещественными компактными группами Ли размерности n(n − 1) / 2. Группа O(n) имеет два связных компонента, при этом SO(n) является единичной компонентой, то есть связным компонентом, содержащим единичную матрицу.

В качестве алгебраических групп

Ортогональная группа O(n) может быть отождествлена с группой матриц A, таких что, поскольку оба члена этого уравнения являются симметричными матрицами, это дает n(n + 1) / 2 уравнений, которым должны удовлетворять элементы ортогональной матрицы, и которые не все удовлетворяются элементами любой неортогональной матрицы. Это доказывает, что O(n) является алгебраическим множеством. Более того, можно доказать, что его размерность равна, что подразумевает, что O(n) является полным пересечением. Это означает, что все его неприводимые компоненты имеют одинаковую размерность и что он не имеет вложенных компонент. Фактически, O(n) имеет две неприводимые компоненты, которые различаются знаком определителя (то есть det(A) = 1 или det(A) = −1). Обе являются несингулярными алгебраическими многообразиями одной и той же размерности n(n − 1) / 2. Компонента с det(A) = 1 является SO(n).

Основная группа

С точки зрения алгебраической топологии, для n > 2 фундаментальная группа SO(n, ℝ) циклическая порядка 2, а спиновая группа Spin(n) является её универсальной накрывающей группой. Для n = 1, 2 фундаментальная группа бесконечно циклическая, а универсальная накрывающая группа соответствует вещественной прямой (группа Spin(2) является единственным связным двулистным накрытием).

Связь с КО-теорией

Посредством конструкции сцепления гомотопические группы устойчивого пространства O отождествляются с устойчивыми векторными расслоениями на сферах (с точностью до изоморфизма), с изменением размерности на 1: 1=πk(O) = πk + 1(BO). Определяя 1=KO = BO × 'Z' = Ω^(−1)O × 'Z' (для обеспечения соответствия π0 периодичности), получаем:

Группы лжи

Из общих фактов о группах Ли, π2(G) всегда обращается в ноль, а π3(G) является свободной (свободной абелевой) группой.

Векторовые пучки

π0(KO) — векторный расслоение над S^(0), состоящим из двух точек. Следовательно, над каждой точкой расслоение тривиально, а нетривиальность расслоения определяется разностью размерностей векторных пространств над этими двумя точками, то есть 1 = π0(KO) = '[[целые числа — это размерность.

Пространства циклов

Используя конкретные описания пространств петли в периодичности Ботта, можно интерпретировать высшие гомотопии O в терминах более простых для анализа гомотопий более низкого порядка. Используя π0, O и O/U имеют два компонента, KO = BO × 'Z' и KSp = BSp × 'Z' имеют счетное число компонентов, а остальные связны.

Неопределенной формы квадратного порядка над действительными числами

В отношении действительных чисел, недегенерированные квадратичные формы классифицируются по закону инерции Сильвестра, который утверждает, что на векторном пространстве размерности n такая форма может быть записана как разность суммы p квадратов и суммы q квадратов, при этом p + q = n. Иными словами, существует базис, в котором матрица квадратичной формы является диагональной матрицей, с p единицами на главной диагонали и q минус единицами. Пара (p, q), называемая инерцией, является инвариантом квадратичной формы, в том смысле, что она не зависит от способа приведения к диагональному виду. Ортогональная группа квадратичной формы зависит только от инерции и поэтому обычно обозначается O(p, q). Более того, поскольку квадратичная форма и её противоположность имеют одну и ту же ортогональную группу, выполняется равенство O(p, q) = O(q, p). Стандартная ортогональная группа – это O(n) = O(n, 0) = O(0, n). Таким образом, в остальной части этого раздела предполагается, что ни p, ни q не равны нулю. Подгруппа матриц с детерминантом 1 в O(p, q) обозначается SO(p, q). Группа O(p, q) имеет четыре связных компоненты, в зависимости от того, сохраняет ли элемент ориентацию на одном из двух максимальных подпространств, где квадратичная форма положительно или отрицательно определена. Компонента единицы, элементы которой сохраняют ориентацию на обоих подпространствах, обозначается как… Группа O(3, 1) является группой Лоренца, фундаментальной в теории относительности. Здесь 3 соответствует пространственным координатам, а 1 – временной координате.

из сложных квадратных форм

Над полем 'C' комплексных чисел, любая невырожденная квадратичная форма в n переменных эквивалентна. Таким образом, с точностью до изоморфизма, существует только одно невырожденное комплексное квадратичное пространство размерности n и одна связанная с ним ортогональная группа, обычно обозначаемая O(n, 'C'). Это группа комплексных ортогональных матриц, то есть комплексных матриц, произведение которых с транспонированной матрицей является единичной матрицей. Как и в вещественном случае, O(n, 'C') имеет два связных компонента. Компонента единицы состоит из всех матриц с определителем 1 в O(n, 'C'); она обозначается SO(n, 'C'). Группы O(n, 'C') и SO(n, 'C') являются комплексными группами Ли размерности n(n − 1) / 2 над 'C' (размерность над 'R' вдвое больше). Для n ≥ 2 эти группы некомпактны. Как и в вещественном случае, SO(n, 'C') не простосвязна: для n > 2 фундаментальная группа SO(n, 'C') является циклической группы порядка 2, в то время как фундаментальная группа SO(2, 'C') является 'Z'.

Инвариант Диксона

Для ортогональных групп инвариант Диксона является гомоморфизмом из ортогональной группы в факторгруппу Z/2Z (целые числа по модулю 2), принимающим значение 0, если элемент является произведением четного числа отражений, и значение 1 в противном случае. Алгебраически инвариант Диксона можно определить как D(f) = ранг(I − f) по модулю 2, где I — единичная матрица. Для полей, не имеющих характеристики 2, это эквивалентно определителю: определитель равен −1 в степени инварианта Диксона. В полях характеристики 2 определитель всегда равен 1, поэтому инвариант Диксона предоставляет больше информации, чем определитель. Специальная ортогональная группа является ядром инварианта Диксона. Когда характеристика поля F не равна 2, инвариант Диксона равен 0, когда определитель равен 1. Следовательно, когда характеристика не равна 2, SO(n, F) обычно определяется как множество элементов O(n, F) с определителем 1. Каждый элемент в O(n, F) имеет определитель ±1. Таким образом, в характеристике 2 определитель всегда равен 1. Инвариант Диксона также может быть определен для групп Клиффорда и групп спинов аналогичным образом (во всех размерностях).

Ортогональные группы характеристики 2

Над полями характеристики 2 ортогональные группы часто демонстрируют особые свойства, некоторые из которых перечислены в этом разделе. (Ранее эти группы были известны как гипоабелианские группы, но этот термин больше не используется.) Любая ортогональная группа над любым полем порождается отражениями, за исключением единственного случая, когда векторное пространство имеет размерность 4 над полем из 2 элементов и индекс Витта равен 2. Отражение в характеристике 2 имеет несколько иное определение. В характеристике 2 отражение, ортогональное вектору u, отображает вектор v в v + B(v, u) / Q(u) · u, где B — билинейная форма, а Q — квадратичная форма, связанная с ортогональной геометрией. Сравните это с отражением Хаусхолдера для нечетной характеристики или характеристики 0, которое отображает v в v − 2·B(v, u) / Q(u) · u. Центр ортогональной группы обычно имеет порядок 1 в характеристике 2, а не 2, поскольку 1 = I = −I. В нечетных размерностях 2n + 1 в характеристике 2 ортогональные группы над совершенными полями совпадают с симплектическими группами размерности 2n. Фактически, симметричная форма становится чередующейся в характеристике 2, и поскольку размерность нечетна, она должна иметь ядро размерности 1, а факторпространство по этому ядру является симплектическим пространством размерности 2n, на которое действует ортогональная группа. В четных размерностях в характеристике 2 ортогональная группа является подгруппой симплектической группы, поскольку симметричная билинейная форма квадратичной формы также является чередующейся формой.

Норма спинора

Спинорная норма — это гомоморфизм из ортогональной группы над полем F в факторгруппу F^(×) / (F^(×))^(2) (мультипликативная группа поля F по модулю умножения на квадраты), который отображает отражение относительно вектора нормы n в образ n в F^(×) / (F^(×))^(2). Для обычной ортогональной группы над действительными числами она тривиальна, но может быть нетривиальной для других полей или для ортогональной группы квадратичной формы над действительными числами, не являющейся положительно определённой.

Кохомология Галуа и ортогональные группы

В теории галуасовой кохомологии алгебраических групп вводятся некоторые дополнительные точки зрения. Они обладают объяснительной силой, в частности, по отношению к теории квадратичных форм, но в основном появились уже после открытия самого явления. Первый момент заключается в том, что квадратичные формы над полем можно отождествить с галуазовой H¹ или скрученными формами (торсорами) ортогональной группы. Как алгебраическая группа, ортогональная группа, как правило, не связна и не просто связна; последний момент связан с явлениями спина, а первый – с определителем. Название «спин» для спинорной нормы можно объяснить связью со спиновой группой (точнее, с группой pin). Это теперь можно быстро объяснить с помощью галуасовой кохомологии (которая, однако, появилась позже введения этого термина и более прямого использования алгебр Клиффорда). Спинное покрытие ортогональной группы дает короткую точную последовательность алгебраических групп. Здесь μ₂ – алгебраическая группа квадратных корней из единицы; над полем характеристики, отличной от 2, она примерно соответствует группе из двух элементов с тривиальным действием Галуа. Соединительный гомоморфизм из H⁰(OV), который является просто группой OV(F) F-значных точек, в H¹(μ₂) по существу является спинорной нормой, поскольку H¹(μ₂) изоморфна мультипликативной группе поля по модулю квадратов. Существует также соединительный гомоморфизм из H¹ ортогональной группы в H² ядра спинового покрытия. Когомология неабелева, поэтому это предел наших возможностей, по крайней мере, при обычных определениях.

Алгебра лжи

Алгебра Ли, соответствующая группам Ли O(n, F) и SO(n, F), состоит из кососимметричных матриц n × n, со скобкой Ли [ , ], заданной коммутатором. Одна алгебра Ли соответствует обеим группам. Её часто обозначают или , и называют ортогональной алгеброй Ли или специальной ортогональной алгеброй Ли. Над действительными числами эти алгебры Ли для разных n являются компактными действительными формами двух из четырех семейств полупростых алгебр Ли: в нечетном измерении Bk, где n = 2k + 1, а в четном измерении Dr, где n = 2r. Поскольку группа SO(n) не просто связна, теория представлений ортогональных алгебр Ли включает в себя как представления, соответствующие обычным представлениям ортогональных групп, так и представления, соответствующие проективным представлениям ортогональных групп. (Проективные представления SO(n) являются просто линейными представлениями универсального покрытия, спиновой группы Spin(n).) Последние – так называемые спинорные представления, которые важны в физике. В более общем случае, для векторного пространства V (над полем с характеристикой, не равной 2) с недегенерируемой симметричной билинейной формой (⋅, ⋅), специальная ортогональная алгебра Ли состоит из бесследовых эндоморфизмов, которые кососимметричны относительно этой формы. Над полем характеристики 2 мы рассматриваем вместо этого чередующиеся эндоморфизмы. Конкретно, мы можем отождествить их с чередующимися тензорами. Соответствие задается следующим образом:

Это описание применимо также к неопределенным специальным ортогональным алгебрам Ли для симметричных билинейных форм с сигнатурой (p, q). Над действительными числами эта характеристика используется при интерпретации ротора векторного поля (естественно, 2-вектора) как бесконечно малого вращения или "ротора", отсюда и название.

Связанные группы

Ортогональные группы и специальные ортогональные группы имеют ряд важных подгрупп, супергрупп, факторгрупп и накрывающих групп. Они перечислены ниже. Включения O(n) ⊂ U(n) ⊂ USp(2n) и USp(n) ⊂ U(n) ⊂ O(2n) являются частью последовательности из 8 включений, используемых в геометрическом доказательстве теоремы о периодичности Ботта, а соответствующие факторпространства представляют собой симметричные пространства, представляющие самостоятельный интерес – например, U(n)/O(n) является лагранжевым грассманианом.

Конформальная группа

Будучи изометриями, вещественные ортогональные преобразования сохраняют углы и, следовательно, являются конформными отображениями, хотя не все конформные линейные преобразования являются ортогональными. В классических терминах это различие между конгруэнтностью и подобием, что иллюстрируется конгруэнтностью треугольников по трем сторонам (SSS) и подобием треугольников по трем углам (AAA). Группа конформных линейных отображений Rⁿ обозначается CO(n) для конформной ортогональной группы и состоит из произведения ортогональной группы и группы расширений. Если n нечетно, эти две подгруппы не пересекаются и образуют прямое произведение: CO(2k+1) = O(2k+1) × R*, где R* = R \ {0} – вещественная мультипликативная группа, а если n четно, эти подгруппы пересекаются в ±1, поэтому это не прямое произведение, но является прямым произведением с подгруппой расширений положительным скаляром: CO(2k) = O(2k) × R⁺. Аналогично можно определить CSO(n); оно всегда равно: CSO(n) = CO(n) ∩ GL⁺(n) = SO(n) × R⁺.

Основное однородное пространство: коллектор Штифеля

Главным однородным пространством для ортогональной группы O(n) является многообразие Стифеля Vn(ℝⁿ) ортонормальных базисов (ортонормальных n кадров). Иными словами, пространство ортонормальных базисов аналогично ортогональной группе, но лишено выбора базовой точки: для заданного ортогонального пространства не существует естественного выбора ортонормального базиса, однако, как только один базис задан, устанавливается взаимно однозначное соответствие между базисами и ортогональной группой. В частности, линейное отображение полностью определяется тем, куда оно отображает базис: подобно тому, как обратимое отображение может перевести любой базис в любой другой, ортогональное отображение может перевести любой ортогональный базис в любой другой ортогональный базис. Другие многообразия Стифеля Vk(ℝⁿ) для k < n, состоящие из неполных ортонормальных базисов (ортонормальных k кадров), также являются однородными пространствами для ортогональной группы, но не являются главными однородными пространствами: любой k кадр можно перевести в любой другой k кадр с помощью ортогонального отображения, однако это отображение не единственно.