Кіріспе
Сандар теориясының саласы
Алгебралық сандар теориясы – сандар теориясының бір саласы болып табылады, ол абстрактілі алгебраның әдістерін қолданып, бүтін сандарды, рационалдық сандарды және олардың обобщениелерін зерттейді. Сандар теориясының мәселелері алгебралық нысандардың – алгебралық сандық өрістердің және олардың бүтін сандар сақиналарының, шекті өрістердің және функциялық өрістердің қасиеттері арқылы қойылады. Мұндай қасиеттер, мысалы, сақинаның бірегей жіктелуіне мүмкіндік беретіні, идеалдардың қалай өзгеретіні және өрістердің Галуа топтары, сандар теориясындағы маңызды мәселелерді – Диофанти теңдеулеріне шешімдердің болуын анықтауға көмектеседі.
Диофантус
Алгебралық сандар теориясының бастамасы Диофант теңдеулеріне саяды, олар 3-ші ғасырдағы Александриялық математик Диофанттың есімімен аталады, ол оларды зерттеді және кейбір Диофант теңдеулерін шешу әдістерін әзірледі. Типик Диофант мәселесі – екі бүтін сан x және y табу, олардың қосындысы және квадраттарының қосындысы сәйкесінше A және B деп берілген екі санға тең болады:
Диофант теңдеулері мыңдаған жылдар бойы зерттелді. Мысалы, x² + y² = z² квадраттық Диофант теңдеуінің шешімдері Пифагор үштіктері арқылы беріледі, оларды алғашқыда вавилондықтар (шамамен б.з.д. 1800 ж.) тапқан. 26x + 65y = 13 сияқты сызықтық Диофант теңдеулерінің шешімдерін Евклид алгоритмі (шамамен б.з.д. 5 ғасыр) көмегімен табуға болады. Диофанттың маңызды еңбегі – «Арифметика», оның тек бір бөлігі ғана сақталған.
Фермат
Ферманың соңғы теоремасы алғаш рет 1637 жылы Пьер де Ферма тарапынан болжалды, атақты "Арифметика" кітабының шетінде, онда ол шетке сыймайтындей үлкен дәлелі бар екенін айтқан. Сансыз математиктердің 358 жылдық тырысығандарына қарамастан, 1995 жылға дейін сәтті дәлел жарияланбады. Шешілмеген бұл мәселе 19 ғасырда алгебралық сандар теориясының және 20 ғасырда модулдік теореманың дәлелдемесін дамытуға түрткі болды.
Гаусс
Алгебралық сандар теориясының негізін қалаушы еңбектерінің бірі – Disquisitiones Arithmeticae (лат. Арифметикалық зерттеулер) – сандар теориясының оқулығы. Оны Карл Фридрих Гаусс 1798 жылы, 21 жасында латын тілінде жазған, ал алғаш рет 1801 жылы, 24 жасында басылып шыққан. Бұл кітапта Гаусс Ферма, Эйлер, Лагранж және Легендре сияқты математиктердің сандар теориясы бойынша алған нәтижелерін біріктіріп, өзінің маңызды жаңа нәтижелерін қосады. Disquisitiones Arithmeticae жарыққа шығуға дейін сандар теориясы оқшауланған теоремалар мен болжамдар жиынтығынан тұрған. Гаусс өзінің алдыңғыларының еңбектерін және өзінің түпнұсқалық жұмыстарын жүйелі аяға енгізіп, олқылықтарды жойды, дұрыс емес дәлелдемелерді түзетті және осы саланы көптеген жағынан кеңейтті. Disquisitiones Arithmeticae 19 ғасырдағы басқа еуропалық математиктердің, оның ішінде Эрнст Кумер, Питер Густав Лежун Дирихле және Ричард Дедекиндтің жұмыстарының бастауы болды. Гаусс берген көптеген түсініктемелер, шын мәнінде, оның келешек зерттеулерінің хабарламалары болып табылады, олардың кейбіреулері жарияланбаған күйде қалды. Олар оның замандастарына қатты түсініксіз болған болуы керек; біз енді оларды L функциялары және күрделі көбейту теориясының бастапқы идеяларын қамтитын деп түсіне аламыз.
Дирихлет
1838 және 1839 жылдары жарияланған бірнеше мақаласында Питер Густав Лежун Дирихле квадраттық формалар үшін алғашқы сынып санының формуласын дәлелдеді (кейін оның шәкірті Леопольд Кронекер оны жетілдірді). Якоби бұл формуланы "адам ақылының шегіне жеткен" нәтиже деп атады, және ол одан әрі жалпы сандық өрістерге қатысты ұқсас нәтижелерге жол ашты. Квадраттық өрістердің бірлік тобының құрылымын зерттеуге негізделіп, ол Дирихле бірлік теоремасын дәлелдеді, бұл алгебралық сандар теориясының маңызды теоремасы. Ол алғаш рет диофантық жуықтау туралы теореманы дәлелдеуде, кейін оның атымен аталған Дирихле жуықтау теоремасында, қарапайым санау аргументі – көгершін ұясы принципін қолданды. Ол Ферманың соңғы теоремасына маңызды үлес қосты, онда n = 5 және n = 14 жағдайларын дәлелдеді, сондай-ақ биквадратикалық өзара байланыс заңына да үлес қосты. Ол бұл тақырыпта көптеген жарияланымдар жасаған жоқ, бірақ студенттің диссертациясында Гилберт модульдік формаларының пайда болуы оның есімін осы маңызды саламен байланыстырды. Ол сынып өріс теориясы бойынша бірқатар болжамдар жасады. Бұл идеялардың өте зор әсері болды, ал оның өзінің үлесі Хилберт сынып өрісінің және жергілікті сынып өріс теориясының Хилберт символының аттарында сақталды. Нәтижелер көбінесе 1930 жылға дейін, Тейджи Такагидің жұмысынан кейін дәлелденді.
Артин
Эмиль Артин Артиннің өзара байланыс заңын бірқатар мақалаларында (1924; 1927; 1930) дәлелдеді. Бұл заң – сан теориясындағы маңызды теорема болып табылады және ғаламдық кластық өріс теориясының негізгі бөлігін құрайды. "Өзара байланыс заңы" термині – бұл квадраттық өзара байланыс заңынан, Эйзенштейн мен Куммердің өзара байланыс заңдарынан бастап, норма символы үшін Гилберттің көбейту формуласына дейін жалпыланған сан теориялық тұжырымдамалардың ұзақ тізімін білдіреді. Артиннің нәтижесі Гилберттің тоғызыншы мәселесіне жартылай шешім берді.
Қазіргі теория
1955 жылы жапон математиктері Горо Шимура мен Ютака Танияма математиканың екі мүлдем бөлек саласы – эллипстік қисықтар мен модульдік формалар арасындағы мүмкін байланысты байқады. Осының нәтижесінде модульдік теорема (сол кезде Танияма-Шимура болжамы деп аталған) пайда болды. Бұл теорема әрбір эллипстік қисықтың модульді екенін, яғни оны бірегей модульдік формамен байланыстыруға болатынын көрсетеді. Бастапқыда бұл болжам күмәнді немесе жорамал деп есептелді, бірақ сан теориясының маманы Андре Вейл оны қолдайтын дәлелдер тапқанда, бірақ толыққанды дәлелдеме болмағандықтан, оған көбірек мән берілді. Соның салдарынан, бұл "таң қалдыратын" болжам көбінесе Танияма-Шимура-Вейл болжамы деп белгілі болды. Ол Лэнгленд бағдарламасының бір бөлігіне енді, ол дәлелдеуді не жоққа шығаруды қажет ететін маңызды болжамдардың тізімі еді. 1993 жылдан 1994 жылға дейін Эндрю Уайлс жартылай тұрақты эллипстік қисықтар үшін модульдік теореманы дәлелдеді. Бұл, Рибе теоремасымен бірге, Ферманың соңғы теоремасын дәлелдеуге мүмкіндік берді. Сол кездегі көбінесе математиктер Ферманың соңғы теоремасы мен Модульдік теореманың ең озық жетістіктерге қарамастан, дәлелдеуі мүмкін емес немесе дерлік мүмкін емес деп санайтын. Уайлс өзінің дәлелдемесін 1993 жылдың маусым айында алғаш рет жариялады, бірақ оның нұсқасында маңызды бір жерде қате бар екені тез анықталды. Дәлелдеме Ричард Тейлормен бірлесіп түзетілді, ал соңғы, кеңінен қабылданған нұсқасы 1994 жылдың қыркүйегінде жарияланды және 1995 жылы ресми түрде басылды. Дәлелдеме алгебралық геометрия мен сандар теориясының көптеген әдістерін қолданады және математиканың осы салаларында көптеген салдарлары бар. Ол сонымен қатар қазіргі алгебралық геометрияның стандартты құрылымдарын, мысалы схемалар санатын және Ивасава теориясын, сондай-ақ Фермаға қол жетімсіз болған 20 ғасырдың басқа да әдістерін пайдаланады.
Бірегей факторлаудың қатесі
Жалпы сандар сақинасының маңызды қасиеті — ол арифметиканың негізгі теоремасын қанағаттандырады, яғни кез келген (оң) бүтін санның жай сандардың көбейтіндісіне жіктелуі бар, және бұл жіктелу факторлардың ретіне қарай бірегей. Бірақ бұл алгебралық сан денесі K-нің O бүтін сандар сақинасында орын алмауы мүмкін. Жай элемент — O-ның p элементі, егер p көбейтінді ab-ді бөлсе, онда ол a немесе b факторларының біреуін бөледі. Бұл қасиет бүтін сандардағы жайлылықпен тығыз байланысты, себебі осы қасиетті қанағаттандыратын кез келген оң бүтін сан 1 немесе жай сан болады. Дегенмен, ол қатаң түрде әлсіз. Мысалы, -2 жай сан емес, себебі ол теріс, бірақ ол жай элемент. Егер жай элементтерге жіктеуге рұқсат етілсе, тіпті бүтін сандарда да, басқа жіктелулер болуы мүмкін. Жалпы алғанда, егер u — бірлік болса, яғни O-да көбейтуге кері саны бар сан болса, және егер p — жай элемент болса, онда up да жай элемент болады. p және up сандары байланысқан сандар деп аталады. Бүтін сандардағы p және -p жай сандары байланысқан, бірақ олардың тек біреуі ғана оң сан. Жай сандардың оң болуын талап ету байланысқан жай элементтер жиынтығынан бірегей элементті таңдайды. Бірақ K рационал сандар болмаған жағдайда, оңдыққа ұқсас ештеңе жоқ. Мысалы, Гаусс бүтін сандары Z[i]-де 1 + 2i және −2 + i сандары байланысқан, себебі соңғысы алғашқысын i-ге көбейту арқылы алынады, бірақ олардың біреуін екіншісінен артық канондық деп белгілеуге болмайды. Бұл Z[i]-де жіктелулер факторлардың ретіне қарай бірегей емес екенін көрсететін теңдеулерге әкеледі. Сондықтан бірегей жіктеу домендерінде (UFD) қолданылатын бірегей жіктеудің анықтамасын қабылдаймыз. UFD-де жіктеуде кездесетін жай элементтер бірліктерге және олардың ретіне қарай ғана бірегей болады деп күтіледі. Бірақ тіпті осы әлсіз анықтамамен де, алгебралық сан денесіндегі бүтін сандардың көптеген сақиналары бірегей жіктеуге ие емес. Алгебралық кедергі бар, ол идеалдық топ деп аталады. Идеалдық топтың мәні нөл болса, сақина UFD болады. Егер ол нөл болмаса, онда жай элемент пен толық емес элементтің арасында айырмашылық бар. Толық емес элемент x — егер 1 = x = yz болса, онда y немесе z бірлік болады. Бұл элементтер одан әрі жіктеле алмайды. O-ның кез келген элементі толық емес элементтерге жіктеледі, бірақ ол бірнеше жіктелуге ие болуы мүмкін. Себебі барлық жай элементтер толық емес болса да, кейбір толық емес элементтер жай болмауы мүмкін. Мысалы, мына сақинаны қарастырайық: онда 3 және 3 толық емес. Бұл 9 санының екі толық емес элементке жіктелуі бар екенін білдіреді. Бұл теңдеу 3 көбейтіндісін бөледі. Егер 3 жай элемент болса, онда ол немесе бөледі, бірақ ол бөлмейді, себебі 3-ке бөлінетін барлық элементтер осы түрде болады. Сол сияқты, және бөледі, бірақ олардың ешқайсысы 3-тің өзін бөлмейді, сондықтан олардың ешқайсысы жай емес. 3 элементтерін теңестіруге болмайтындықтан, бірегей жіктелу орын алмайды. Бірліктердегі жағдайдан айырмашылығы, онда бірегейлікті анықтаманы әлсірету арқылы қалпына келтіруге болады, бұл сәтсіздікті жеңу үшін жаңа көзқарас қажет.
A prime element is an element p of O such that if p divides a product ab, then it divides one of the factors a or b. This property is closely related to primality in the integers, because any positive integer satisfying this property is either 1 or a prime number. However, it is strictly weaker. For example, −2 is not a prime number because it is negative, but it is a prime element. If factorizations into prime elements are permitted, then, even in the integers, there are alternative factorizations such as
In general, if u is a unit, meaning a number with a multiplicative inverse in O, and if p is a prime element, then up is also a prime element. Numbers such as p and up are said to be associate. In the integers, the primes p and −p are associate, but only one of these is positive. Requiring that prime numbers be positive selects a unique element from among a set of associated prime elements. When K is not the rational numbers, however, there is no analog of positivity. For example, in the Gaussian integers 'Z'[i], the numbers 1 + 2i and −2 + i are associate because the latter is the product of the former by i, but there is no way to single out one as being more canonical than the other. This leads to equations such as
which prove that in 'Z'[i], it is not true that factorizations are unique up to the order of the factors. For this reason, one adopts the definition of unique factorization used in unique factorization domains (UFDs). In a UFD, the prime elements occurring in a factorization are only expected to be unique up to units and their ordering. However, even with this weaker definition, many rings of integers in algebraic number fields do not admit unique factorization. There is an algebraic obstruction called the ideal class group. When the ideal class group is trivial, the ring is a UFD. When it is not, there is a distinction between a prime element and an irreducible element. An irreducible element x is an element such that if 1=x = yz, then either y or z is a unit. These are the elements that cannot be factored any further. Every element in O admits a factorization into irreducible elements, but it may admit more than one. This is because, while all prime elements are irreducible, some irreducible elements may not be prime. For example, consider the ring In this ring, the numbers 3, and are irreducible. This means that the number 9 has two factorizations into irreducible elements,
This equation shows that 3 divides the product If 3 were a prime element, then it would divide or , but it does not, because all elements divisible by 3 are of the form Similarly, and divide the product 3^(2), but neither of these elements divides 3 itself, so neither of them are prime. As there is no sense in which the elements 3, and can be made equivalent, unique factorization fails in Unlike the situation with units, where uniqueness could be repaired by weakening the definition, overcoming this failure requires a new perspective.
Орны
Нақты және күрделі кіріктірулерді бағалауларға негізделген көзқарас қабылдау арқылы жай идеалдармен бірдей деңгейге келтіруге болады. Мысалы, бүтін сандарды қарастырайық. Әдеттегі абсолюттік мән функциясынан басқа, |·| : Q → R, әрбір жай сан p үшін анықталған |·|p : Q → R абсолюттік мән функциялары бар, олар p-ға қатысты бөлінуді өлшейді. Островский теоремасы бойынша, бұл Q-дағы барлық мүмкін абсолюттік мән функциялары (эквиваленттілікке дейін). Сондықтан абсолюттік мәндер Q-ның жай кіріктіруін және жай сандарды сипаттау үшін ортақ тіл болып табылады. Алгебралық сан денесінің орны – K-дегі абсолюттік мән функцияларының эквиваленттілік класы. Орындардың екі түрі бар. O-ның әрбір жай идеалы үшін адикалық абсолюттік мән бар, және p-адикалық абсолюттік мәндер сияқты, ол бөлінуді өлшейді. Бұлар шекті орындар деп аталады. Орның басқа түрі K-нің нақты немесе күрделі кіріктіруін және R немесе C-дегі стандартты абсолюттік мән функциясын пайдаланып анықталады. Бұлар шексіз орындар. Абсолюттік мәндер күрделі кіріктіру мен оның түйіндесін ажырата алмайтындықтан, күрделі кіріктіру мен оның түйіндесі бір орынды анықтайды. Сондықтан r1 нақты орын және r2 күрделі орын бар. Орындар жай сандарды қамтитындықтан, оларды кейде жайлар деп атайды. Бұл жағдайда шекті орындар шекті жайлар деп, ал шексіз орындар шексіз жайлар деп аталады. Егер v абсолюттік мәнге сәйкес бағалау болса, онда v – шексіз орын екенін білдіру үшін және v – шекті орын екенін білдіру үшін жиі жазылады. Денедегі барлық орындарды бірге қарастыру сан денесінің Адель сақинасын құрайды. Адель сақинасы абсолюттік мәндерді пайдалана отырып, қол жетімді барлық деректерді бір уақытта қадағалауға мүмкіндік береді. Бұл, мысалы, Артиннің өзара байланыс заңындағыдай, бір орындағы мінез-құлық басқа орындағы мінез-құлыққа әсер ететін жағдайларда маңызды артықшылықтар береді.
Геометриялық шексіз жерлер
Шексіз жерлер үшін геометриялық аналогия бар, бұл қисықтардың функциялық өрістерінде сақталады. Мысалы, және тегіс, проективті алгебралық қисық болсын. Функциялық өрістің көптеген абсолюттік шамалары немесе жерлері бар, және әрқайсысы қисықтағы бір нүктеге сәйкес келеді. Егер проективтік аяқталуы аффиндік қисық болса, онда нүктелер шексіз жерлерге сәйкес келеді. Содан кейін, осы нүктелердің бірінде адиктік сандардың аналогы алынады. Мысалы, егер онда оның функциялық өрісі, онда ол белгісіз және өріс - көпмүшелік бөлшектерінің өрісі болса, онда нүктедегі жер, бөлшектің нүктеде жоғалу ретін немесе полюсінің ретін өлшейді. Мысалы, егер , онда аффиндік кескінде бұл нүктеге сәйкес келеді, бағалау жоғалу ретін өлшейді, минус жоғалу ретін орындайды. Осы жердегі аяқталудың функциялық өрісі, өзгермелідегі қуат қатарларының өрісі болып табылады, сондықтан элемент мынадай түрде болады, мұндағы белгілі бір. Шексіз жер үшін бұл функциялық өріске сәйкес келеді, бұл мынадай түрдегі қуат қатарлары болып табылады.
Бірліктер
Бүкіл сандар тек екі бірлікке ие, 1 және -1. Басқа бүтін сандар сақиналары көбірек бірліктерді қабылдауы мүмкін. Гаусс бүтін сандарының төрт бірлігі бар, бұрынғы екеуі де, сондай-ақ ±i. Айзенштейн бүтін сандары 'Z'[exp(2πi / 3)] алты бірлікке ие. Нақты квадраттық сандар өрістеріндегі бүтін сандар шексіз көп бірлікке ие. Мысалы, , -ның кез келген дәрежесі бірлік болып табылады, және осы дәрежелердің барлығы ерекшеленеді. Жалпы, O-ның бірліктері тобы, O^(×) деп белгіленеді, шекті түрде туындаған абельдік топ болып табылады. Сондықтан, шекті түрде туындаған абельдік топтардың негізгі теоремасы, ол бұралу бөлігі мен еркін бөлігінің тікелей қосындысы екенін көрсетеді. Бұл сандық өріс контекстінде қайта қарастырылса, бұралу бөлігі О-да жатқан бірліктің түбірлерінен тұрады. Бұл топ циклдік. Еркін бөлік Дирихле бірлік теоремасымен сипатталады. Бұл теорема еркін бөліктің ранкі r1 + r2 − 1-ге тең дейді. Осылайша, мысалы, еркін бөліктің ранкі нөлге тең болатын жалғыз өрістер – 'Q' және жорамал квадраттық өрістер. K/Q Галуа тобының Галуа модулі ретінде O× ⊗Z Q құрылымын анықтайтын нақтырақ мәлімдеме де мүмкін. Бірлік тобының еркін бөлігін K-ның шексіз орындарын пайдалана отырып зерттеуге болады. Келесі функцияны қарастырайық:
мұнда v K-ның шексіз орындары бойынша өзгереді және |·|v – v-мен байланысты абсолюттік мән. L функциясы K^(×)-ты нақты векторлық кеңістікке гомоморфизм болып табылады. O^(×)-тың кескіні осы гипержазықтықты жабатын тор екенін көрсетуге болады, ол арқылы анықталады. Бұл тордың коволюмі – сандық өрістің реттегіші. Адель сақинасымен жұмыс істеудің қамтамасыз ететін жеңілдетулердің бірі – бұл торға қатысты бөлуді және идеалдық сынып тобын сипаттайтын жалғыз нысан, идеалдық сынып тобының болуы.
Зета функциясы
Риманның зетта функциясына ұқсас сандық өрістің Дедекинд зетта функциясы – K өрісіндегі жай идеалдардың қалай өрнектелетінін сипаттайтын аналитикалық объект. Егер K өрісі 'Q' өрісінің абельдік кеңейтуі болса, Дедекинд зетта функциялары Дирихле L функцияларының көбейтіндісі болып табылады, әр Дирихле белгісі үшін бір көбейткіш болады. Тривиалды белгі Риманның зетта функциясына сәйкес келеді. Егер K өрісі Галуа кеңейтуі болса, Дедекинд зетта функциясы K өрісінің Галуа тобының тұрақты өрнектемесінің Артин L функциясы болып табылады және ол Галуа тобының ирредуктибелді Артин өрнектемелері арқылы жіктеледі. Зета функциясы жоғарыда сипатталған басқа инварианттармен класс саны формуласы арқылы байланысты.
Жергілікті салалар
K сандық өрісін w орнында толықтыру толық өріс береді. Егер бағалау Архимедтік болса, R немесе C алынады, ал егер ол Архимедтік емес және рационал сандардың p жай санында жатса, онда шекті кеңейту, шекті қалдық өрісі бар толық, дискретті бағаланған өріс алынады. Бұл процесс өрістің арифметикасын жеңілдетеді және проблемаларды жергілікті түрде зерттеуге мүмкіндік береді. Мысалы, Кронекер-Вебер теоремасын сәйкес жергілікті тұжырымнан оңай шығаруға болады. Жергілікті өрістерді зерттеу философиясы көбінесе геометриялық әдістермен шақырылады. Алгебралық геометрияда, түрлерді бір нүктеде жергілікті түрде зерттеу үшін максималды идеалға қарай локализация жасау қалыпты жағдай. Жаһандық ақпаратты жергілікті деректерді біріктіру арқылы қалпына келтіруге болады. Бұл көзқарас алгебралық сандар теориясында қабылданады. Сан өрісінің алгебралық бүтін сандар сақинасындағы жай санды қарастыра отырып, өрісті сол жай сан бойынша жергілікті түрде зерттеуге ұмтылу қажет. Сондықтан, алгебралық бүтін сандар сақинасын сол жай санға локализация жасайды, содан кейін бөлшек өрісін геометриялық рухта толықтайды.
Сынып тобының шектілігі
Алгебралық сандар теориясындағы классикалық нәтижелердің бірі – алгебралық сандар өрісі K-ның идеалдық сынып тобы шекті. Бұл Минковский теоремасының салдары, себебі белгілі бір оң бүтін сандан кіші нормасы бар интегралды идеалдар саны шектеулі. Сынып тобының реті сынып саны деп аталады және көбінесе h әрпімен белгіленеді.
Дирихле бірлік теоремасы
Дирихле бірлік теоремасы бүтін сандар сақинасы O-ның бірліктердің көбейту тобы O× құрылымын сипаттайды. Нақтырақ айтқанда, O× G × Zr-ге изоморфты, мұнда G – O-дағы бірліктің барлық түбірлерінен тұратын шекті циклдік топ, ал r = r1 + r2 − 1 (мұнда r1 (сәйкесінше, r2) K-нің нақты ендірулер санын (сәйкесінше, жұпталған нақты емес ендірулер санын) білдіреді). Басқаша айтқанда, O× – r1 + r2 − 1 ранктің шекті туынды Абель тобы, оның бұрылыс бөлігі O-дағы бірліктің түбірлерінен тұрады.
Сыныптың нөмірі формуласы
Сыныптық сан формуласы сан өрісінің көптеген маңызды инварианттарын оның Дедекинд зета функциясының нақты мәнімен байланыстырады.
Қатынас аймақтар
Алгебралық сандар теориясы көптеген басқа математикалық пәндермен байланысты. Ол гомологиялық алгебраның құралдарын қолданады. Функциялық және сан өрістерінің арасындағы аналогия арқылы, ол алгебралық геометрияның әдістері мен идеяларын пайдаланады. Бұдан әрі, Z-дің үстіндегі жоғары өлшемді схемаларды зерттеу арифметикалық геометрия деп аталады. Алгебралық сандар теориясы арифметикалық гиперболалық 3-көптүрліліктерді зерттеуде де қолданылады.