Введение

Алгебраическая теория чисел — это раздел теории чисел, использующий методы абстрактной алгебры для изучения целых чисел, рациональных чисел и их обобщений. Вопросы теории чисел формулируются в терминах свойств алгебраических объектов, таких как алгебраические числовые поля и их кольца целых чисел, конечные поля и поля функций. Эти свойства, например, обладает ли кольцо однозначной факторизацией, поведение идеалов и группы Галуа полей, позволяют решать вопросы фундаментальной важности в теории чисел, такие как существование решений диофантовых уравнений.

Диофантус

Начало теории алгебраических чисел можно проследить до диофантовых уравнений, названных в честь александрийского математика III века Диофанта, который изучал их и разработал методы решения некоторых видов диофантовых уравнений. Типичная диофантова задача состоит в том, чтобы найти два целых числа x и y, такие, что их сумма и сумма их квадратов равны двум заданным числам A и B соответственно:

Диофантовы уравнения изучались на протяжении тысяч лет. Например, решения квадратного диофантова уравнения x² + y² = z² задаются пифагоровыми тройками, впервые решенными вавилонянами (ок. 1800 г. до н.э.). Решения линейных диофантовых уравнений, таких как 26x + 65y = 13, можно найти с помощью алгоритма Евклида (ок. V в. до н.э.). Главным трудом Диофанта была "Арифметика", до нас дошла лишь часть которой.

Фермат

Последняя теорема Ферма была впервые сформулирована Пьером де Ферма в 1637 году, знаменито на полях экземпляра "Арифметики", где он утверждал, что обладает доказательством, слишком объемным для записи на полях. Ни одно успешное доказательство не было опубликовано до 1995 года, несмотря на усилия бесчисленного количества математиков в течение 358 лет, прошедших с тех пор. Эта нерешенная задача стимулировала развитие алгебраической теории чисел в XIX веке и доказательство теоремы о модулярности в XX веке.

Гаус

Одним из основополагающих трудов алгебраической теории чисел является "Disquisitiones Arithmeticae" (лат. "Арифметические исследования"), учебник по теории чисел, написанный на латыни Карлом Фридрихом Гаусом в 1798 году, когда Гаусу было 21 год, и впервые опубликованный в 1801 году, когда ему было 24 года. В этой книге Гаусс объединяет результаты в теории чисел, полученные такими математиками, как Ферма, Эйлер, Лагранж и Лежандр, и добавляет свои собственные важные новые результаты. До публикации "Disquisitiones Arithmeticae" теория чисел представляла собой собрание разрозненных теорем и гипотез. Гаусс объединил работы своих предшественников со своими оригинальными исследованиями в систематическую структуру, восполнил пробелы, исправил несостоятельные доказательства и значительно расширил область исследования. "Disquisitiones Arithmeticae" стали отправной точкой для работ других европейских математиков XIX века, включая Эрнста Куммера, Петера Густава Лежена Дирихле и Рихарда Дедекинда. Многие примечания, сделанные Гауссом, фактически являются анонсами его дальнейших исследований, часть которых осталась неопубликованной. Они, должно быть, казались особенно загадочными его современникам; теперь мы можем рассматривать их как содержащие зачатки теорий L-функций и комплексного умножения, в частности.

Дирихле

В паре статей, опубликованных в 1838 и 1839 годах, Петер Густав Лежен Дирихле доказал первую формулу класса чисел для квадратичных форм (позже усовершенствованную его учеником Леопольдом Кронекером). Эта формула, которую Якоби назвал результатом, "достигающим предела человеческой проницательности", открыла путь к аналогичным результатам для более общих числовых полей. Исходя из своих исследований структуры группы единиц квадратичных полей, он доказал теорему Дирихле об единицах – фундаментальный результат в алгебраической теории чисел. Он впервые применил принцип Дирихле (принцип голубиных ящиков), базовый аргумент подсчёта, в доказательстве теоремы в диофантовом приближении, впоследствии названной теоремой Дирихле об приближении. Он опубликовал важные работы по последней теореме Ферма, для которой доказал случаи n = 5 и n = 14, а также по закону биквадратичной взаимности. После этого он опубликовал немного нового по этой теме, однако появление модульных форм Гильберта в диссертации его ученика закрепило его имя за важной областью математики. Он выдвинул ряд гипотез в теории классовых полей. Эти идеи оказали значительное влияние, а его вклад увековечен в названиях поля классов Гильберта и символа Гильберта в теории локальных классовых полей. Большинство результатов были доказаны к 1930 году, после работ Тейдзи Такаги.

Артин

Эмиль Артин установил закон взаимности Артина в серии статей (1924; 1927; 1930). Этот закон представляет собой общую теорему в теории чисел, являющуюся центральной частью глобальной теории полей классов. Термин "закон взаимности" относится к долгой череде более конкретных теоремо-числовых утверждений, которые он обобщил, начиная с закона квадратичной взаимности и законов взаимности Эйзенштейна и Куммера, и заканчивая формулой произведения Гильберта для символа нормы. Результат Артина дал частичное решение девятой проблемы Гильберта.

Современная теория

Около 1955 года японские математики Горо Шимура и Ютака Танияма обнаружили возможную связь между двумя, казалось бы, совершенно различными областями математики – эллиптическими кривыми и модульными формами. Полученная теорема модульности (в то время известная как гипотеза Танияма — Шимуры) утверждает, что каждая эллиптическая кривая является модульной, то есть может быть сопоставлена с единственной модульной формой. Изначально она считалась маловероятной или крайне спекулятивной, но к ней стали относиться серьезнее, когда теоретик чисел Андре Вейль обнаружил подтверждающие её свидетельства, но не смог её доказать; в результате эта "поразительная" гипотеза часто называлась гипотезой Таниямы — Шимуры — Вейля. Она вошла в программу Лэнгландса – список важных гипотез, требующих доказательства или опровержения. В период с 1993 по 1994 год Эндрю Уайлс представил доказательство теоремы модульности для полустабильных эллиптических кривых, которое, вместе с теоремой Рибе, предоставило доказательство последней теоремы Ферма. Почти каждый математик того времени ранее считал как последнюю теорему Ферма, так и теорему модульности либо невозможными, либо практически невозможными для доказательства, даже с учетом самых передовых достижений. Уайлс впервые объявил о своём доказательстве в июне 1993 года в версии, которая вскоре была признана содержащей серьёзный пробел в ключевом месте. Доказательство было исправлено Уайлсом, частично в сотрудничестве с Ричардом Тейлором, и окончательная, общепринятая версия была опубликована в сентябре 1994 года и формально издана в 1995 году. В доказательстве используются многочисленные методы алгебраической геометрии и теории чисел, а также множество следствий в этих областях математики. Оно также опирается на стандартные построения современной алгебраической геометрии, такие как категория схем и теория Ивасавы, и другие методы XX века, недоступные Ферма.

Неудача уникальной факторизации

Важным свойством кольца целых чисел является то, что оно удовлетворяет основной теореме арифметики, а именно, каждое (положительное) целое число имеет разложение в произведение простых чисел, и это разложение единственно с точностью до порядка сомножителей. Это может быть неверно в кольце целых чисел O алгебраического числового поля K.

Простым элементом называется элемент p из O, такой что если p делит произведение ab, то p делит один из сомножителей a или b. Это свойство тесно связано с понятием простоты в целых числах, поскольку любое положительное целое число, удовлетворяющее этому свойству, является либо 1, либо простым числом. Однако оно строже. Например, −2 не является простым числом, поскольку оно отрицательно, но является простым элементом. Если допускаются разложения на простые элементы, то даже в целых числах существуют альтернативные разложения, такие как

В общем случае, если u — единица, то есть число, имеющее мультипликативный обратный в O, и p — простой элемент, то up также является простым элементом. Числа, такие как p и up, называются ассоциированными. В целых числах простые числа p и −p ассоциированы, но только одно из них положительно. Требование, чтобы простые числа были положительными, выделяет единственный элемент из множества ассоциированных простых элементов. Однако, когда K не является полем рациональных чисел, аналога понятия положительности не существует. Например, в гауссовых целых числах ℤ[i] числа 1 + 2i и −2 + i ассоциированы, поскольку последнее является произведением первого на i, но нет способа выделить одно из них как более каноничное, чем другое. Это приводит к уравнениям, которые доказывают, что в ℤ[i] неверно, что разложения единственны с точностью до порядка сомножителей. По этой причине принимается определение единственной факторизации, используемое в областях однозначной факторизации (UFD). В UFD ожидается, что простые элементы, входящие в разложение, будут единственными с точностью до единиц и их порядка. Однако даже при этом более слабом определении многие кольца целых чисел в алгебраических числовых полях не допускают единственной факторизации. Существует алгебраическое препятствие, называемое группой классов идеалов. Когда группа классов идеалов тривиальна, кольцо является UFD. Когда это не так, существует различие между простым элементом и неприводимым элементом. Неприводимый элемент x — это элемент, такой что если 1 = x = yz, то либо y, либо z является единицей. Это элементы, которые нельзя разложить далее. Каждый элемент в O допускает разложение на неприводимые элементы, но может допускать более одного. Это связано с тем, что, хотя все простые элементы неприводимы, некоторые неприводимые элементы могут не быть простыми. Например, рассмотрим кольцо В этом кольце числа 3, и являются неприводимыми. Это означает, что число 9 имеет два разложения на неприводимые элементы:

Это уравнение показывает, что 3 делит произведение Если бы 3 был простым элементом, то он делил бы или , но это не так, поскольку все элементы, делящиеся на 3, имеют вид Аналогично, и делят произведение 3², но ни один из этих элементов не делит 3 само по себе, поэтому ни один из них не является простым. Поскольку нет способа сделать элементы 3, и эквивалентными, единственная факторизация не выполняется в В отличие от ситуации с единицами, где единственность можно восстановить, ослабив определение, преодоление этой неудачи требует нового подхода.

Места

Реальные и комплексные вложения можно поставить на одну ступень с простыми идеалами, приняв точку зрения, основанную на оценках. Рассмотрим, например, целые числа. В дополнение к обычной функции абсолютной величины |·| : Q → R, существуют p-адические функции абсолютной величины |·|p : Q → R, определенные для каждого простого числа p, которые измеряют делимость на p. Теорема Островского утверждает, что это все возможные функции абсолютной величины на Q (с точностью до эквивалентности). Следовательно, абсолютные величины являются общим языком для описания как вещественного вложения Q, так и простых чисел. Место в алгебраическом числовом поле — это класс эквивалентности функций абсолютной величины на K. Существует два типа мест. Для каждого простого идеала O существует p-адическая абсолютная величина, и, как и p-адические абсолютные величины, она измеряет делимость. Они называются конечными местами. Другой тип места задается с использованием вещественного или комплексного вложения K и стандартной функции абсолютной величины на R или C. Они называются бесконечными местами. Поскольку абсолютные величины не могут различать комплексное вложение и его сопряженное, комплексное вложение и его сопряженное определяют одно и то же место. Следовательно, существует r1 вещественных мест и r2 комплексных мест. Поскольку места охватывают простые числа, места иногда называют простыми числами. Когда это делается, конечные места называются конечными простыми числами, а бесконечные места — бесконечными простыми числами. Если v — оценка, соответствующая абсолютной величине, то часто пишут, что v — бесконечное место, а — конечное место. Рассматривая все места поля вместе, получается кольцо аделей числового поля. Кольцо аделей позволяет одновременно отслеживать все данные, доступные с использованием абсолютных величин. Это дает значительные преимущества в ситуациях, когда поведение в одном месте может влиять на поведение в других местах, как, например, в законе взаимности Артина.

Геометрически бесконечное место

Существует геометрическая аналогия для мест в бесконечности, которая справедлива для функциональных полей кривых. Например, пусть и – гладкая, проективная, алгебраическая кривая. Функциональное поле имеет множество абсолютных значений, или мест, и каждому из них соответствует точка на кривой. Если – проективное завершение аффинной кривой , то точки в соответствуют местам в бесконечности. Тогда, завершение в одной из этих точек дает аналогию -адических чисел. Например, если , то его функциональное поле изоморфно , где – неопределённая, а поле – поле дробей многочленов в . Тогда, место в точке измеряет порядок исчезновения или порядок полюса рациональной функции в этой точке. Например, если , то на аффинной карте это соответствует точке , а оценка измеряет порядок исчезновения минус порядок исчезновения в . Функциональное поле завершения в месте тогда равно , что является полем степенных рядов по переменной , так что элемент имеет вид для некоторых . Для места в бесконечности это соответствует функциональному полю , которое состоит из степенных рядов вида .

Единицы

Целые числа имеют только две единицы, 1 и −1. Другие кольца целых чисел могут допускать больше единиц. Гауссовы целые числа имеют четыре единицы, предыдущие две, а также ±i. Целые числа Эйзенштейна Z[exp(2πi / 3)] имеют шесть единиц. Целые числа в полях действительных квадратичных чисел имеют бесконечно много единиц. Например, в Q(√d), каждая степень d является единицей, и все эти степени различны. В общем случае, группа единиц O, обозначаемая O^(×), является конечно порожденной абелевой группой. Поэтому фундаментальная теорема о конечно порожденных абелевых группах подразумевает, что она является прямой суммой торсионной части и свободной части. Переосмысливая это в контексте числового поля, торсионная часть состоит из корней единства, лежащих в O. Эта группа циклическая. Свободная часть описывается теоремой о единицах Дирихле. Эта теорема утверждает, что ранг свободной части равен r1 + r2 − 1. Таким образом, например, единственными полями, для которых ранг свободной части равен нулю, являются Q и мнимые квадратичные поля. Также возможно более точное утверждение, дающее структуру O× ⊗Z Q как модуль Галуа для группы Галуа K/Q. Свободную часть группы единиц можно изучать, используя бесконечные места K. Рассмотрим функцию

где v пробегает по бесконечным местам K, а |·|v — абсолютная величина, связанная с v. Функция L является гомоморфизмом из K^(×) в вещественное векторное пространство. Можно показать, что образ O^(×) является решеткой, порождающей гиперплоскость, определяемую выражением . Коволюм этой решетки является регулятором числового поля. Одно из упрощений, обеспечиваемых работой с кольцом аделей, заключается в том, что существует единственный объект — группа классов идеалов, который описывает как частное по этой решетке, так и группу классов идеалов.

Функция Zeta

Дедекиндова дзета-функция числового поля, аналогичная дзета-функции Римана, является аналитическим объектом, который описывает поведение простых идеалов в K. Когда K является абелевым расширением рациональных чисел, дзета-функции Дедекинда являются произведениями L-функций Дирихле, причем для каждого характера Дирихле существует один сомножитель. Тривиальный характер соответствует дзета-функции Римана. Когда K является расширением Галуа, дзета-функция Дедекинда является L-функцией Артина для регулярного представления группы Галуа поля K, и она раскладывается на множители, соответствующие неприводимым представлениям Артина группы Галуа. Дзета-функция связана с другими инвариантами, описанными выше, формулой числа классов.

Местные поля

Заполнение числового поля K в месте w дает полное поле. Если оценка архимедова, то получается R или C, если она не архимедова и лежит над простым числом p рациональных чисел, то получается конечное расширение – полное поле с дискретной оценкой и конечным полем вычетов. Этот процесс упрощает арифметику поля и позволяет локально изучать задачи. Например, теорему Кронекера — Вебера можно легко вывести из аналогичного локального утверждения. Философия изучения локальных полей во многом мотивирована геометрическими методами. В алгебраической геометрии обычно изучают многообразия локально в точке, переходя к локализации по максимальному идеалу. Глобальную информацию затем можно восстановить, склеивая локальные данные. Этот подход используется и в алгебраической теории чисел. Для простого числа в кольце алгебраических целых чисел в числовом поле желательно изучать поле локально в этом простом числе. Поэтому кольцо алгебраических целых чисел локализуют по этому простому числу, а затем дополняют поле частных, в духе геометрии.

Окончательность группы классов

Одним из классических результатов в алгебраической теории чисел является конечность группы классов идеалов алгебраического поля чисел K. Это следствие теоремы Минковского, так как существует лишь конечное число целых идеалов с нормой, меньшей заданного положительного целого числа (страница 78). Порядок группы классов называется числом классов и часто обозначается буквой h.

Теорема о единицах Дирихле

Теорема Дирихле об единицах описывает структуру мультипликативной группы единиц O× кольца целых чисел O. В частности, она утверждает, что O× изоморфна G × Zr, где G — конечная циклическая группа, состоящая из всех корней из единицы в O, а r = r1 + r2 − 1 (где r1 (соответственно, r2) обозначает число действительных вложений (соответственно, пар комплексно сопряжённых вложений) поля K). Иными словами, O× является конечно порождённой абелевой группой ранга r1 + r2 − 1, кручение которой состоит из корней из единицы в O.

Формула номера класса

Формула числа класса связывает множество важных инвариантов числового поля со специальным значением его дзета-функции Дедекинда.

Связанные области

Алгебраическая теория чисел взаимодействует со многими другими математическими дисциплинами. Она использует инструменты гомологической алгебры. Благодаря аналогии между полями функций и полями чисел, она опирается на методы и идеи алгебраической геометрии. Более того, изучение схем большей размерности над Z вместо колец целых чисел называется арифметической геометрией. Алгебраическая теория чисел также применяется в изучении арифметических гиперболических 3-многообразий.