Кіріспе
Композициялық алгебраларды жасау әдісі Математикада Артур Кейли және Леонард Юджин Диксонның есімімен аталған Кейли-Диксон құрылымы, нақты сандар өрісіндегі алгебралар тізбесін жасайды, мұнда әр алгебраның өлшемі алдыңғысына қарағанда екі есе артық. Осы процесс арқылы алынатын алгебралар Кейли-Диксон алгебралары деп аталады, мысалы, кешенді сандар, кватерниондар және октониондар. Бұл мысалдар математикалық физикада жиі қолданылатын пайдалы композициялық алгебралар болып табылады. Кейли-Диксон құрылымы жаңа алгебраны өзімен-өзінің декарттық көбейтіндісі ретінде анықтайды, көбейту белгілі бір тәсілмен анықталады (компоненттік көбейтуден өзгеше) және конъюгация деп аталатын инволюция қолданылады. Элемент пен оның конъюгатының көбейтіндісі (немесе кейде осы көбейтіндінің квадрат түбірі) норма деп аталады. Кейли-Диксон құрылымы қайталап қолданылғанда нақты сандар өрісінің симметриясы жоғалады: бірінші кезек жоғалады, содан кейін көбейтудің коммутативтілігі, көбейтудің ассоциативтілігі және соңында альтернативтілік. Жалпы алғанда, Кейли-Диксон құрылымы кез келген инволюциясы бар алгебраны екі есе үлкен өлшемді инволюциясы бар басқа алгебраға түрлендіреді. Hurwitz теоремасы (композициялық алгебралар) нақты сандар, кешенді сандар, кватерниондар және октониондар (нақты сандар үстінде) жалғыз (нормаланған) бөлу алгебралары екенін көрсетеді.
In mathematics, the Cayley–Dickson construction, named after Arthur Cayley and Leonard Eugene Dickson, produces a sequence of algebras over the field of real numbers, each with twice the dimension of the previous one. The algebras produced by this process are known as Cayley–Dickson algebras, for example complex numbers, quaternions, and octonions. These examples are useful composition algebras frequently applied in mathematical physics. The Cayley–Dickson construction defines a new algebra as a Cartesian product of an algebra with itself, with multiplication defined in a specific way (different from the componentwise multiplication) and an involution known as conjugation. The product of an element and its conjugate (or sometimes the square root of this product) is called the norm. The symmetries of the real field disappear as the Cayley–Dickson construction is repeatedly applied: first losing order, then commutativity of multiplication, associativity of multiplication, and finally alternativity. More generally, the Cayley–Dickson construction takes any algebra with involution to another algebra with involution of twice the dimension. Hurwitz's theorem (composition algebras) states that the reals, complex numbers, quaternions, and octonions are the only (normed) division algebras (over the real numbers).
Қосымша алгебралар
Октониондардан кейінгі алгебра седениондар деп аталады. Ол қуаттық ассоциативтілік деп аталатын алгебралық қасиетті сақтайды, яғни s седенион болса, , бірақ баламалы алгебра болу қасиетін жоғалтады, сондықтан композициялық алгебра бола алмайды. Кейли-Диксон құрылысын шексіздікке дейін жалғастыруға болады, әр қадамында алдыңғы алгебраның өлшемінен екі есе үлкен қуаттық ассоциативті алгебра туындайды. Осы әдіспен құрылған барлық алгебралар квадраттық алгебралар болып табылады: яғни, әрбір элемент өріс коэффициенттерімен берілген квадрат теңдеуді қанағаттандырады. Ол сондай-ақ, Кейли-Диксон алгебрасының кез келген туынды алгебрасы Кейли сандарының туынды алгебрасына изоморфты екенін дәлелдеді, бұл F өрісіндегі 14 өлшемді Ли алгебрасы.
Өзгертілген Кейли Диксон құрылымы
Кейли-Диксон құрылымы нақты сандардан басталып, композициялық алгебраларды – (комплексті сандар), – (квартерниондар) және – (октониондар) тудырады. Нормасы изотроптық квадраттық формасы болатын композициялық алгебралар да бар, олар реттелген жұптардың көбейтіндісінің анықтамасындағы минус белгісін плюс белгісімен алмастыру арқылы, сәл өзгертумен алынады:
Осы өзгертілген құрылым қолданылғанда , тікелей көбейтіндіге сақиналық изоморфты бөлінген кешенді сандар алынады, одан кейін 2×2 нақты матрицалардың ассоциативтік алгебрасына изоморфты бөлінген кватерниондар; және Зорнның векторлық матрица алгебрасына изоморфты бөлінген октониондар. Түпнұсқа Кейли-Диксон құрылымын бөлінген кешенді сандарға қолдану да бөлінген кватерниондарға, содан кейін бөлінген октониондарға әкеледі.