Введение
Метод построения композиционных алгебр
В математике конструкция Кейли — Диксона, названная в честь Артура Кейли и Леонарда Юджина Диксона, порождает последовательность алгебр над полем действительных чисел, каждая из которых имеет вдвое большую размерность, чем предыдущая. Алгебры, получаемые в результате этого процесса, известны как алгебры Кейли — Диксона, например, комплексные числа, кватернионы и октонионы. Эти примеры представляют собой полезные композиционные алгебры, часто применяемые в математической физике. Конструкция Кейли — Диксона определяет новую алгебру как декартово произведение алгебры на саму себя, при этом умножение определяется особым образом (отличается от почленного умножения) и задается инволюция, известная как сопряжение. Произведение элемента на его сопряжение (или иногда квадратный корень из этого произведения) называется нормой. Симметрии поля действительных чисел утрачиваются по мере многократного применения конструкции Кейли — Диксона: сначала теряется упорядоченность, затем коммутативность умножения, ассоциативность умножения и, наконец, альтернативность. В более общем смысле, конструкция Кейли — Диксона преобразует любую алгебру с инволюцией в другую алгебру с инволюцией, имеющую вдвое большую размерность. Теорема Хурвица об алгебрах композиции утверждает, что действительные числа, комплексные числа, кватернионы и октонионы являются единственными (нормированными) алгебрами деления (над действительными числами).
In mathematics, the Cayley–Dickson construction, named after Arthur Cayley and Leonard Eugene Dickson, produces a sequence of algebras over the field of real numbers, each with twice the dimension of the previous one. The algebras produced by this process are known as Cayley–Dickson algebras, for example complex numbers, quaternions, and octonions. These examples are useful composition algebras frequently applied in mathematical physics. The Cayley–Dickson construction defines a new algebra as a Cartesian product of an algebra with itself, with multiplication defined in a specific way (different from the componentwise multiplication) and an involution known as conjugation. The product of an element and its conjugate (or sometimes the square root of this product) is called the norm. The symmetries of the real field disappear as the Cayley–Dickson construction is repeatedly applied: first losing order, then commutativity of multiplication, associativity of multiplication, and finally alternativity. More generally, the Cayley–Dickson construction takes any algebra with involution to another algebra with involution of twice the dimension. Hurwitz's theorem (composition algebras) states that the reals, complex numbers, quaternions, and octonions are the only (normed) division algebras (over the real numbers).
Дальнейшие алгебры
Алгебра, непосредственно следующая за октонионами, называется седенионами. Она сохраняет алгебраическое свойство, называемое сило́вой ассоциативностью, то есть для любого седениона s выполняется , но теряет свойство альтернативности и, следовательно, не может быть композиционной алгеброй. Конструкция Кейли-Диксона может быть продолжена до бесконечности, на каждом шаге порождая сило́вую ассоциативную алгебру, размерность которой вдвое больше размерности алгебры предыдущего шага. Все алгебры, генерируемые таким образом над полем, являются квадратичными: то есть каждый элемент удовлетворяет квадратному уравнению с коэффициентами из этого поля. Он также доказал, что любая алгебра производных алгебры Кейли-Диксона изоморфна алгебре производных чисел Кейли, представляющей собой 14-мерную алгебру Ли над F.
Модифицированная конструкция Кейли-Диксона
Конструкция Кейли-Диксона, начиная с действительных чисел, генерирует композиционные алгебры – комплексные числа, кватернионы и октонионы. Существуют также композиционные алгебры, норма которых является изотропной квадратичной формой, которые получаются путем незначительной модификации: заменяя знак минус в определении произведения упорядоченных пар знаком плюс, следующим образом:
При применении этой модифицированной конструкции к , получаются разделенные комплексные числа, которые кольцево изоморфны прямому произведению . Далее получаются разделенные кватернионы – ассоциативная алгебра, изоморфная алгебре 2 × 2 вещественных матриц, и разделенные октонионы, которые изоморфны векторной матричной алгебре Зорна. Применение оригинальной конструкции Кейли-Диксона к разделенным комплексным числам также приводит к разделенным кватернионам, а затем к разделенным октонионам.