Кіріспе

Топологияның саласы

Математикада жалпы топология (немесе нүктелік жиын топологиясы) – топологияда қолданылатын негізгі жиын теориялық анықтамалар мен құрылымдарды зерттейтін топологияның саласы. Ол дифференциалдық топология, геометриялық топология және алгебралық топология сияқты топологияның көптеген басқа салаларының негізі болып табылады. Нүктелік жиын топологиясының негізгі ұғымдары – үздіксіздік, компакттылық және байланыстылық: Үздіксіз функциялар, интуитивті түрде, жақын нүктелерді жақын нүктелерге бейімдейді. Компакт жиындар – бұл шекті көп жиындармен жабылатын, кез келген кішкентай өлшемдегі жиындар. Байланысқан жиындар – екі алыс бөлікке бөліне алмайтын жиындар. "Жақын", "кәдімгідей кішкентай" және "алыс" терминдерін ашық жиындар ұғымын қолдану арқылы нақты анықтауға болады. Егер "ашық жиын" анықтамасын өзгертсек, онда үздіксіз функциялар, компакт жиындар және байланысқан жиындар да өзгереді. "Ашық жиын" анықтамасының әрбір таңдауы топология деп аталады. Топологиясы бар жиын – топологиялық кеңістік деп аталады. Метрикалық кеңістіктер – топологиялық кеңістіктердің маңызды класы, онда жиынның нүктелер жұбы үшін нақты, теріс емес қашықтық, сондай-ақ метрика анықталуы мүмкін. Метрика болу көптеген дәлелдемелерді жеңілдетеді, ал көптеген таралған топологиялық кеңістіктер метрикалық кеңістіктер болып табылады.

Топологияның негізі

X топологиялық кеңістігінің T топологиясы үшін B негізі (немесе базасы) – T-дағы ашық жиынтықтардың жиыны, онда T-дағы кез келген ашық жиынтықты B элементтерінің бірігімі ретінде жазуға болады. Мұндай негіз T топологиясын тудырады дейміз. Негіздердің пайдасы – топологиялардың көптеген қасиеттерін осы топологияны тудыратын негізге қатысты мәлімдемелерге келтіруге болады, сондай-ақ көптеген топологияларды оларды тудыратын негіз арқылы анықтау оңайырақ.

Кіші кеңістік және үлестік

Топологиялық кеңістіктің кез келген ішкі жиынына, үлкен кеңістіктің ашық жиындарымен қиылысы болатын ішкі кеңістік топологиясын беруге болады. Топологиялық кеңістіктердің кез келген индекстелген отбасы үшін, өнімге өнім топологиясын беруге болады, ол проекциялық бейнелеулердегі факторлардың ашық жиындарының кері бейнелерімен жасалады. Мысалы, шекті өнімдерде өнім топологиясының негізі ашық жиындардың барлық өнімдерінен тұрады. Шексіз өнімдер үшін, негізгі ашық жиында оның проекцияларының барлығынан тек шекті саны ғана бүкіл кеңістік болуы керек деген қосымша талап бар. Квотиенттік кеңістік келесідей анықталады: егер X топологиялық кеңістік болса және Y жиын болса, және егер f: X→ Y сюръективті функция болса, онда Y-дегі квотиенттік топология – f астында ашық кері бейнелері бар Y-дің ішкі жиындарының жиыны болып табылады. Басқаша айтқанда, квотиенттік топология – f үздіксіз болатын Y-дегі ең ұсақ топология. Квотиенттік топологияның кең таралған мысалы – X топологиялық кеңістігінде эквиваленттік қатынас анықталған кезде. Онда f бейнелеуі – эквиваленттік сыныптар жиынына табиғи проекция болады.

Топологиялық кеңістік үлгілері

Берілген жиынның көптеген түрлі топологиялары болуы мүмкін. Егер жиынға өзгеше топология берілсе, ол өзгеше топологиялық кеңістік деп қарастырылады.

Дискретті және тривиалды топологиялар

Кез келген жиынға дискретті топология берілуі мүмкін, онда кез келген кіші жиын ашық болады. Осы топологиядағы барлық конвергентті тізбектер мен торлар ақырында тұрақты болады. Сондай-ақ, кез келген жиынға тривиальды топология (немесе индискретті топология) берілуі мүмкін, онда тек бос жиын мен бүкіл кеңістік ғана ашық болады. Осы топологиядағы әрбір тізбек және тор кеңістіктің кез келген нүктесіне жуысады. Бұл мысал жалпы топологиялық кеңістіктерде тізбектердің шектері бірегей болуы міндетті емес екенін көрсетеді. Дегенмен, көбінесе топологиялық кеңістіктер Хаусдорф кеңістігі болуы тиіс, онда шектік нүктелер бірегей болады.

Кофинитті және кокольтебельді топологиялар

Кез келген жиынға кофинитті топологияны беруге болады, онда ашық жиындар бос жиын және толықтығысы шекті жиын болатын жиындар. Бұл кез келген шексіз жиын үшін ең кіші T1 топологиясы. Кез келген жиынға косаналатын топологияны да беруге болады, онда жиын бос немесе оның толықтығысы саналатын болса, ол ашық деп есептеледі. Егер жиын санауға болмайтын болса, бұл топология көптеген жағдайларда кері мысал ретінде қолданылады.

Нақты және күрделі сандар топологиясы

R-де, нақты сандар жиынында, топологияны анықтаудың көптеген тәсілдері бар. R-дегі стандартты топология ашық аралықтармен туындайды. Барлық ашық аралықтар жиыны топологияның базасын құрайды, яғни кез келген ашық жиын базадан алынған жиындардың бірінің бірігуі болып табылады. Атап айтқанда, бұл жиынның кез келген нүктесі үшін нөлдік емес радиусы бар ашық аралық болса, онда жиын ашық деп есептеледі. Көбірек жалпылап айтқанда, Евклидтік Rn кеңістіктеріне топология берілуі мүмкін. Rn-дегі қалыпты топологияда негізгі ашық жиындар – ашық шарлар. Сол сияқты, C, кешенді сандар жиыны, және Cn стандартты топологияға ие, онда негізгі ашық жиындар ашық шарлар болып табылады. Нақты түзуге төменгі шекті топология да берілуі мүмкін. Бұл жерде негізгі ашық жиындар жартылай ашық аралықтар [a, b) болып табылады. R-дегі бұл топология жоғарыда анықталған Евклидтік топологиядан қатаң түрде жіңішке; тізбек осы топологиядағы нүктеге жуысса, Евклидтік топологияда жоғарыдан жуысу орын алады. Бұл мысал жиынның көптеген әртүрлі топологиялармен жабдылуы мүмкін екенін көрсетеді.

Метриялық топология

Әрбір метрикалық кеңістікке метрикалық топология берілуі мүмкін, онда негізгі ашық жиынтықтар метрикамен анықталған ашық шарлар болып табылады. Бұл кез келген нормаланған векторлық кеңістіктегі стандартты топология. Шектелген өлшемді векторлық кеңістікте бұл топология барлық нормаларға қатысты бірдей болады.

Қосымша мысалдар

Кез келген шекті жиынның көптеген топологиясы бар. Мұндай кеңістіктер шекті топологиялық кеңістіктер деп аталады. Шекті кеңістіктер кейде жалпы топологиялық кеңістіктер туралы болжамдарға мысалдар немесе қарсы мысалдар келтіру үшін қолданылады. Әрбір көптүрлілік (манифольд) жергілікті түрде евклидтік болғандықтан, табиғи топологияға ие. Сол сияқты, әрбір симплекс және әрбір симплициялық кешен Rn-нен табиғи топологияны мұралайды. Зариски топологиясы сақинаның немесе алгебралық санның спектрінде алгебралық түрде анықталады. Rn немесе Cn-де Зариски топологиясының жабық жиындары полиномдық теңдеулер жүйесінің шешімдер жиындары болып табылады. Сызықтық графқа түйіндері мен қабырғалары бар графтардың көптеген геометриялық аспектілерін жалпылайтын табиғи топология тән. Функционалдық талдаудағы сызықтық операторлардың көптеген жиындары функциялар тізбегінің нөлдік функцияға қашан жақындасатынын анықтау арқылы анықталатын топологиялармен жабдықталған. Кез келген жергілікті өрістің өзіне тән топологиясы болады, және оны сол өрістегі векторлық кеңістікке дейін кеңейтуге болады. Sierpiński кеңістігі – ең қарапайым дискретті емес топологиялық кеңістік. Оның есептеу және семантика теориясымен маңызды байланысы бар. Егер Γ – реттік сан болса, онда Γ = [0, Γ) жиынына (a, b), [0, b) және (a, Γ) аралықтарымен анықталатын реттік топология берілуі мүмкін, мұнда a және b – Γ элементтері.

Баламалы анықтамалар

Топологиялық құрылымға қатысты бірнеше мағыналас анықтамалар бар, демек, үздіксіз функцияны анықтаудың да бірнеше мағыналас тәсілдері кездеседі.

Көршіліктің анықтамасы

Алдын ала бейнелерге негізделген анықтамаларды тікелей қолдану қиын. Келесі критерий сабақтастықты көршіліктер арқылы білдіреді: f функциясы x ∈ X нүктесінде сабақтас болады, егер және тек қана егер f(x) нүктесінің кез келген V көршілігі үшін, x нүктесінің U көршілігі табылатын болса, онда f(U) ⊆ V. Интуитивті түрде, сабақтастық дегеніміз, V қаншалықты "кішкентай" болса да, V ішіндегі бейнелерді қамтитын x нүктесін қамтитын U көршілігі әрқашан табылады.

Егер X және Y метрикалық кеңістіктер болса, онда барлық көршіліктердің орнына x және f(x) орталығында орналасқан ашық шарлардың көршілік жүйесін қарастыру эквивалентті. Бұл метрикалық кеңістіктер контекстінде сабақтастықтың жоғарыдағы δ-ε анықтамасын береді. Дегенмен, жалпы топологиялық кеңістіктерде жақындық немесе қашықтық туралы ұғым жоқ. Бірақ, егер мақсатты кеңістік Хаусдорф кеңістігі болса, онда f функциясы a нүктесінде сабақтас болады, егер және тек қана егер x → a болғанда f функциясының лимиті f(a) тең болса. Оқшауланған нүктеде кез келген функция сабақтас болады.

Тізбелер мен торлар

Бірнеше жағдайда кеңістіктің топологиясы шекті нүктелер арқылы ыңғайлы түрде беріледі. Көп жағдайда бұл нүкте реттіліктің шегі болған кезде анықталады, бірақ кейбір жағдайларда тым үлкен кеңістіктер үшін нүкте бағытталған жиынмен индекстелген нүктелердің жалпы жиындарының шегі болған кезде де анықталады, олар желілер деп аталады. Функция тек қана реттіліктердің шегін реттіліктердің шегіне жібергенде ғана үздіксіз болады. Алғашқы жағдайда шектерді сақтау жеткілікті, екінші жағдайда функция реттіліктердің барлық шектерін сақтаса да, үздіксіз болмауы мүмкін, ал желілерді сақтау қажетті және жеткілікті шарт болып табылады. Нақтырақ айтқанда, f: X → Y функциясы реттілік бойынша үздіксіз болады, егер X кеңістігіндегі (xn) реттілігі x шегіне жақын болса, онда (f(xn)) реттілігі f(x) шегіне жақын болады. Осылайша, реттілік бойынша үздіксіз функциялар "реттік шектерді сақтайды". Кез келген үздіксіз функция реттілік бойынша үздіксіз болады. Егер X бірінші саналатын кеңістік болса және саналатын таңдау принципі орындалса, онда керісі де дұрыс: кез келген реттік шектерді сақтайтын функция үздіксіз болады. Атап айтқанда, егер X метрикалық кеңістік болса, реттілік бойынша үздіксіздік және үздіксіздік эквивалентті болады. Бірінші саналатын емес кеңістіктер үшін реттілік бойынша үздіксіздік үздіксіздіктен әлдеқайда нашар болуы мүмкін. (Екі қасиет тең болатын кеңістіктер реттілік кеңістіктер деп аталады.) Бұл жалпы топологиялық кеңістіктерде реттіліктердің орнына желілерді қарастыруға себеп болады. Үздіксіз функциялар желілердің шектерін сақтайды, және шындығында осы қасиет үздіксіз функцияларды сипаттайды.

Гомеоморфизмдер

Тұрақты функция тұжырымдамасына симметриялық түрде ашық функция келеді, онда ашық жиындардың бейнелері ашық болады. Шындығында, егер f ашық функция болса және оның кері функциясы болса, онда ол кері функция тұрақты болады, ал егер g тұрақты функция болса және оның кері функциясы болса, онда ол кері функция ашық болады. Екі топологиялық кеңістік арасындағы f биективті функцияны қарастыратын болсақ, f⁻¹ кері функциясы міндетті түрде тұрақты болуы керек емес. Тұрақты кері функциясы бар биективті тұрақты функция гомеоморфизм деп аталады. Егер тұрақты биекцияның домені компакт кеңістік болса және оның кодоменасы Хаусдорф кеңістігі болса, онда ол гомеоморфизм болады.

Қосылған компоненттер

Бос емес топологиялық кеңістіктің ең үлкен байланысқан ішкі жиындары (қосалу бойынша реттелген) кеңістіктің байланысқан компоненттері деп аталады. Кез келген топологиялық кеңістіктің компоненттері X-тің бөлінісін құрайды: олар бір-бірімен қиылыспайды, бос емес және олардың біріктірілісі – бүкіл кеңістік. Әрбір компонент бастапқы кеңістіктің жабық ішкі жиыны болып табылады. Осыдан келіп, олардың саны шекті болған жағдайда, әрбір компонент сонымен қатар ашық ішкі жиын болып табылады. Дегенмен, егер олардың саны шексіз болса, мұндай болмауы мүмкін; мысалы, рационал сандар жиынының байланысқан компоненттері бірнүктелі жиындар болып табылады, олар ашық емес. X топологиялық кеңістігіндегі x-тің байланысқан компоненті болсын, ал x-ті қамтитын барлық ашық жабық жиындардың қиылысы болсын (x-тің квазикомпоненті деп аталады). Онда , теңдік X компактты Хаусдорф кеңістігі немесе жергілікті байланысқан болған жағдайда орындалады.

Қосылмаған кеңістіктер

Барлық компоненттері бірнүсқа жиынтық болатын кеңістік толығымен үзілген деп аталады. Осы қасиетке байланысты, егер X кеңістігінің кез келген екі түрлі x және y элементтері үшін x-тің U және y-тің V бірікпес ашық маңдары болса, және X кеңістігі U мен V-нің бірігімінен тұрса, онда X кеңістігі толығымен бөлінген деп аталады. Әрине, кез келген толығымен бөлінген кеңістік толығымен үзілген, бірақ керісіне дұрыс емес. Мысалы, Q рационал сандарының екі көшірмесін алып, оларды нөлден басқа барлық нүктеде теңестіріңіз. Нәтижесінде алынған кеңістік, бөлік топологиясымен, толығымен үзілген болады. Бірақ, нөлдің екі көшірмесін қарастырғанда, кеңістік толығымен бөлінбегенін көруге болады. Шындығында, ол тіпті Хаусдорф кеңістігі де емес, ал толығымен бөліну шарты Хаусдорф кеңістігі болу шартынан қатаң түрде күшті.

Жолға қосылған жиынтықтар

Топологиялық кеңістіктегі x нүктесінен y нүктесіне дейінгі жол – f бірлік интервалынан [0,1]-ден X кеңістігіне дейінгі үздіріссіз функция, мұнда f(0) = x және f(1) = y. X кеңістігінің жол компоненті – бұл теңдестік қатынасы бойынша X-тің теңдестік класы, егер x-тен y-ге жол болса, онда x пен y тең деп есептеледі. X кеңістігі жолмен байланысқан (немесе жол бойынша байланысқан немесе 0-байланысқан) деп аталады, егер онда ең көп дегенде бір жол компоненті болса; яғни, X кеңістігінің кез келген екі нүктесін қосатын жол болса. Көптеген авторлар бос кеңістікті де қарастырмайды. Кез келген жолмен байланысқан кеңістік байланысқан болады. Керісінше әрқашан дұрыс емес: жолмен байланыспаған, бірақ байланысқан кеңістіктердің мысалдарына ұзартылған ұзын түзу L* және топологтың синустық қисығы жатады. Дегенмен, R нақты сызығының ішкі жиындары байланысқан болса және тек сонда ғана жолмен байланысқан болады; мұндай ішкі жиындар R интервалдары болып табылады. Сондай-ақ, Rn немесе Cn кеңістіктерінің ашық ішкі жиындары байланысқан болса және тек сонда ғана жолмен байланысқан болады. Сонымен қатар, шекті топологиялық кеңістіктер үшін байланыстылық пен жолмен байланыстылық бірдей.

Бөлу аксиомалары

Көптеген атаулардың математикалық әдебиетте баламалы мағыналары бар, бұл бөліну аксиомалары тарихында түсіндірілген; мысалы, "нормальді" және "T4" мағыналары кейде ауыстырылады, сондай-ақ "реттелі" және "T3" сияқты. Көптеген түсініктердің де бірнеше атауы бар; алайда, тізімдегі біріншісі ең аз беймағына болып саналады. Бұл аксиомалардың көпшілігінің бірдей мағыналы баламалы анықтамалары бар; мұнда келтірілген анықтамалар алдыңғы бөлімде анықталған түрлі бөліну ұғымдарын байланыстыратын тұрақты үлгіге сәйкес келеді. Басқа мүмкін анықтамаларды жеке мақалаларда табуға болады. Келесі анықтамалардың барлығында X қайтадан топологиялық кеңістік болып табылады. X - T0, немесе Колмогоров, егер X-тегі кез келген екі әртүрлі нүкте топологиялық тұрғыдан ажыратылатын болса. (Бөліну аксиомаларының жалпы ерекшелігі – аксиоманың T0 талап ететін және талап етпейтін нұсқасының болуы.) X - T1, немесе қолжетімді немесе Фреше, егер X-тегі кез келген екі әртүрлі нүкте ажыратылған болса. Осылайша, X T1 болса және тек қана егер ол T0 және R0 болса ғана. (Мысалы, T1 кеңістігі, Фреше топологиясы деп айтуға болады, бірақ бұл контексте Фреше кеңістігін айтудан аулақ болыңыз, себебі функционалдық талдауда басқаша түсінік бар.) X - Хаусдорф, немесе T2, немесе ажыратылған, егер X-тегі кез келген екі әртүрлі нүкте шұғылалармен ажыратылған болса. Осылайша, X Хаусдорф болса және тек қана егер ол T0 және R1 болса ғана. Хаусдорф кеңістігі сондай-ақ T1 болуы керек. X - T2½, немесе Урысон, егер X-тегі кез келген екі әртүрлі нүкте жабық шұғылалармен ажыратылған болса. T2½ кеңістігі де Хаусдорф болуы керек. X - реттелі, немесе T3, егер ол T0 болса және егер X-тегі кез келген x нүктесі мен F жабық жиыны үшін, егер x жиынға жатпаса, олар шұғылалармен ажыратылса. (Шындығында, реттелі кеңістікте кез келген x және F жабық шұғылалармен де ажыратылады.) X - Тихонов, немесе T3½, толық T3, немесе толық реттелі, егер ол T0 болса және егер f, кез келген x нүктесі мен F жабық жиыны үшін, егер x жиынға жатпаса, олар үздіксіз функциямен ажыратылса. X - нормальді, немесе T4, егер ол Хаусдорф болса және егер X-тің кез келген екі жиындық жабық жиынтығы шұғылалармен ажыратылса. (Шындығында, кеңістік нормальді, егер және тек қана егер кез келген екі жиындық жабық жиынтықты үздіксіз функциямен ажыратуға болады; бұл Урысон леммасы.) X - толық нормальді, немесе T5, немесе толық T4, егер ол T1 болса және егер кез келген екі ажыратылған жиын шұғылалармен ажыратылса. Толық нормальді кеңістік де нормальді болуы керек. X - мінсіз нормальді, немесе T6, немесе мінсіз T4, егер ол T1 болса және кез келген екі жиындық жабық жиын үздіксіз функциямен дәл ажыратылса. Мінсіз нормальді Хаусдорф кеңістігі де толық нормальді Хаусдорф кеңістігі болуы керек. Тиетце кеңейту теоремасы: нормальді кеңістікте жабық ішкі кеңістікте анықталған кез келген үздіксіз нақты бағаланған функцияны бүкіл кеңістікте анықталған үздіксіз функцияға кеңейтуге болады.

Бейрдің категория теоремасы

Бейр категориясы теоремасы былай глайды: Егер X толық метрикалық кеңістік немесе жергілікті айқас Хаусдорф кеңістігі болса, онда санаулы көптеген ешқайда тығыз емес жиындардың кез келген біріктірілісінің ішкі бөлігі бос жиын болады. Кез келген ашық ішкі кеңістік, Бейр кеңістігі болса, өзі де Бейр кеңістігі болып табылады.

Континуумдық теория

Континуум (pl continua) — бос емес, ықшам және байланысты метрикалық кеңістік, немесе сирек жағдайда, ықшам және байланысты Хаусдорф кеңістігі. Континуум теориясы — топологияның континуумдарды зерттеуге арналған саласы. Бұл объектілер топология мен анализдің дерлік барлық салаларында жиі кездеседі және олардың қасиеттері көптеген 'геометриялық' ерекшеліктерді анықтауға жеткілікті.

Динамикалық жүйелер

Топологиялық динамика – үздіксіз өзгеріске түсетін кезде кеңістік пен оның ішкі кеңістіктерінің уақыт өте қалай өзгеретінін зерттейтін сала. Физика және математиканың басқа да салаларында қолданылатын мысалдардың көптегеніне сұйық динамикасы, бильярд және манифольдтардағы ағындар жатады. Фрактал геометриясындағы фракталдардың, күрделі динамикада туындайтын Джулия жиындары мен Мандельброт жиынының, сондай-ақ дифференциалдық теңдеулердегі тартымдылықтардың топологиялық қасиеттері мұндай жүйелерді түсіну үшін өте маңызды.

Мағынасыз топология

Мағынасыз топология (кейде нүктесіз немесе нүктесіз топология деп те аталады) – топологияға қатысты, нүктелерді тікелей атаудан немесе пайдаланудан аулақ болатын тәсіл. "Мағынасыз топология" терминін Джон фон Нейман енгізген. Мағынасыз топологияның идеялары мереотопологиялармен тығыз байланысты, онда аймақтар (жинақтар) негізгі ұғым ретінде қарастырылады, ал жатқылық нүктелер жинағына тікелей сілтеме жасалмайды.

Өлшем теориясы

Өлшемдер теориясы – топологиялық кеңістіктердің өлшемдік инварианттарын зерттейтін жалпы топологияның бір саласы.

Метрлендіру теориясы

Топология және математиканың осымен байланысты салаларында метризацияланатын кеңістік – метрикалық кеңістікке гомеоморфты топологиялық кеңістік. Яғни, егер d метрикасы арқылы туындаған топологиясы болса, онда топологиялық кеңістік метризацияланатын болады. Метризациялау теоремалары – топологиялық кеңістіктің метризацияланатыны үшін жеткілікті шарттар беретін теоремалар.

Жинақ теориясы топологиясы

Жинақтар теориясы топологиясы – жинақтар теориясы мен жалпы топологияны біріктіретін ғылым саласы. Ол Зермело-Франкель жинақтар теориясынан (ZFC) тәуелсіз болатын топологиялық мәселелерге қатысты. Белгілі бір мәселе – нормальді Мур кеңістігі туралы сұрақ, ол жалпы топологиядағы қарқынды зерттеулердің нысаны болды. Нормальді Мур кеңістігі туралы сұраққа берілген жауаптың ZFC-ден тәуелсіз екені соңында дәлелденді.