Введение

В математике, общая топология (или топология точечных множеств) — это раздел топологии, изучающий базовые определения теории множеств и конструкции, используемые в топологии. Она является основой для большинства других разделов топологии, включая дифференциальную топологию, геометрическую топологию и алгебраическую топологию. Фундаментальными понятиями в топологии точечных множеств являются непрерывность, компактность и связность: непрерывные функции, интуитивно, отображают близкие точки в близкие точки. Компактные множества — это те, которые можно покрыть конечным числом множеств сколь угодно малого размера. Связные множества — это множества, которые нельзя разделить на две удалённые друг от друга части. Понятия «близкие», «сколь угодно малые» и «удалённые друг от друга» можно уточнить, используя понятие открытых множеств. Изменение определения «открытого множества» меняет определения непрерывных функций, компактных множеств и связных множеств. Каждый выбор определения «открытого множества» называется топологией. Множество, снабжённое топологией, называется топологическим пространством. Метрические пространства — важный класс топологических пространств, в которых на парах точек множества можно определить вещественную неотрицательную метрику (расстояние). Наличие метрики упрощает многие доказательства, и многие из наиболее часто встречающихся топологических пространств являются метрическими пространствами.

Основа для топологии

База (или основание) B для топологического пространства X с топологией T — это семейство открытых множеств в T, такое что любое открытое множество в T можно представить в виде объединения элементов B. Говорят, что база генерирует топологию T. Базы полезны, поскольку многие свойства топологий можно свести к утверждениям о базе, которая генерирует данную топологию, и потому что многие топологии проще всего определить, задавая базу, которая их генерирует.

Подпространство и коэффициент

Каждому подмножеству топологического пространства можно задать топологию подпространства, в которой открытыми множествами являются пересечения открытых множеств большего пространства с данным подмножеством. Для любого индексированного семейства топологических пространств произведение можно снабдить топологией произведения, которая порождается образами открытых множеств факторов при проекционных отображениях. Например, в конечных произведениях базис для топологии произведения состоит из всех произведений открытых множеств. Для бесконечных произведений существует дополнительное требование, что в любом базовом открытом множестве все, кроме конечного числа его проекций, являются всем пространством. Относительное пространство (или факторпространство) определяется следующим образом: если X – топологическое пространство, а Y – множество, и если f : X → Y – сюръективное отображение, то топология факторпространства на Y – это семейство подмножеств Y, имеющих открытые прообразы при отображении f. Иными словами, топология факторпространства – это слабейшая топология на Y, при которой отображение f непрерывно. Распространенным примером топологии факторпространства является случай, когда на топологическом пространстве X задано отношение эквивалентности. Отображение f тогда является естественной проекцией на множество классов эквивалентности.

Примеры топологических пространств

Данное множество может иметь множество различных топологий. Если множеству задается другая топология, то оно рассматривается как иное топологическое пространство.

Дискретные и тривиальные топологии

Любому множеству можно задать дискретную топологию, в которой каждое подмножество открыто. Единственными сходящимися последовательностями или сетями в этой топологии являются те, которые в конечном итоге становятся постоянными. Также любому множеству можно задать тривиальную топологию (также называемую неразличимой топологией), в которой открыты только пустое множество и всё пространство. Каждая последовательность и сеть в этой топологии сходится к каждой точке пространства. Этот пример показывает, что в общих топологических пространствах пределы последовательностей не обязательно единственны. Однако часто топологические пространства должны быть хаусдорфовыми пространствами, где предельные точки единственны.

Кофинитные и коколькулятивные топологии

Любому множеству можно задать кофинитную топологию, в которой открытыми множествами являются пустое множество и множества, чей комплемент конечен. Это наименьшая T1-топология на любом бесконечном множестве. Любому множеству можно задать кокосчетную топологию, в которой множество считается открытым, если оно пустое или его дополнение счетно. Когда множество несчетно, эта топология служит контрпримером во многих ситуациях.

Топологии на реальных и комплексных числах

Существует много способов определить топологию на R, множестве действительных чисел. Стандартная топология на R порождается открытыми интервалами. Множество всех открытых интервалов образует базу или основание для этой топологии, то есть любое открытое множество является объединением некоторого набора множеств из базы. В частности, это означает, что множество открыто, если для каждой его точки существует открытый интервал ненулевого радиуса, содержащий эту точку. В более общем случае, евклидовым пространствам Rn можно задать топологию. В обычной топологии на Rn базовыми открытыми множествами являются открытые шары. Аналогично, C, множество комплексных чисел, и Cn имеют стандартную топологию, в которой базовыми открытыми множествами являются открытые шары. Прямая также может быть снабжена нижней топологией предела. В этой топологии базовыми открытыми множествами являются полуинтервалы [a, b). Эта топология на R строго тоньше евклидовой топологии, определенной выше; последовательность сходится к точке в этой топологии тогда и только тогда, когда она сходится сверху в евклидовой топологии. Этот пример показывает, что на одном и том же множестве можно определить множество различных топологий.

Метрическая топология

Каждое метрическое пространство можно снабдить метрической топологией, в которой базовыми открытыми множествами являются открытые шары, заданные метрикой. Это стандартная топология на любом нормированном векторном пространстве. На конечномерном векторном пространстве эта топология не зависит от выбора нормы.

Другие примеры

Существует множество топологий на любом конечном множестве. Такие пространства называются конечными топологическими пространствами. Конечные пространства иногда используются для приведения примеров или контрпримеров к гипотезам о топологических пространствах в общем случае. Каждое многообразие имеет естественную топологию, поскольку оно локально евклидово. Аналогично, каждый симплекс и каждый симплициальный комплекс наследуют естественную топологию из Rn. Топология Зариски определяется алгебраически на спектре кольца или алгебраического многообразия. На Rn или Cn замкнутыми множествами топологии Зариски являются множества решений систем полиномиальных уравнений. Линейный граф имеет естественную топологию, которая обобщает многие геометрические аспекты графов с вершинами и ребрами. Многие множества линейных операторов в функциональном анализе снабжены топологиями, которые определяются указанием условий сходимости последовательности функций к нулевой функции. Любое локальное поле имеет собственную топологию, которую можно расширить на векторные пространства над этим полем. Пространство Серпинского — это простейшее недискретное топологическое пространство. Оно имеет важное отношение к теории вычислений и семантике. Если Γ — это порядковое число, то множество Γ = [0, Γ) можно наделить топологией порядка, порожденной интервалами (a, b), [0, b) и (a, Γ), где a и b — элементы Γ.

Альтернативные определения

Существует несколько эквивалентных определений топологической структуры, и, следовательно, существует несколько эквивалентных способов определения непрерывной функции.

Определение квартала

Определения, основанные на прообразах, часто трудно использовать напрямую. Следующий критерий выражает непрерывность в терминах окрестностей: функция f непрерывна в точке x ∈ X тогда и только тогда, когда для любой окрестности V точки f(x) существует окрестность U точки x такая, что f(U) ⊆ V. Интуитивно, непрерывность означает, что как бы "маленькой" ни становилась V, всегда найдется окрестность U, содержащая x, которая отображается внутрь V.

Если X и Y – метрические пространства, то эквивалентно рассматривать систему окрестностей открытых шаров с центрами в x и f(x) вместо всех окрестностей. Это возвращает вышеуказанное δ-ε определение непрерывности в контексте метрических пространств. Однако в общих топологических пространствах нет понятия близости или расстояния. Следует отметить, однако, что если целевое пространство является хаусдорфовым, то всё равно верно, что f непрерывна в точке a тогда и только тогда, когда предел f при x, стремящемся к a, равен f(a). В изолированной точке любая функция непрерывна.

Последовательность и сетки

В нескольких контекстах топология пространства удобно задается с точки зрения предельных точек. Во многих случаях это достигается путем указания, когда точка является пределом последовательности, но для некоторых пространств, которые в некотором смысле слишком велики, также указывается, когда точка является пределом более общих множеств точек, индексированных направленным множеством, известным как сети. Функция непрерывна только тогда, когда она переводит пределы последовательностей в пределы последовательностей. В первом случае сохранение пределов также достаточно; во втором случае функция может сохранять все пределы последовательностей, но при этом оставаться разрывной, и сохранение сетей является необходимым и достаточным условием. В частности, функция f: X → Y называется последовательно непрерывной, если всякий раз, когда последовательность (xn) в X сходится к пределу x, последовательность (f(xn)) сходится к f(x). Таким образом, последовательно непрерывные функции "сохраняют последовательные пределы". Каждая непрерывная функция является последовательно непрерывной. Если X – первое счетное пространство и выполняется аксиома выбора, то обратное также верно: любая функция, сохраняющая последовательные пределы, непрерывна. В частности, если X – метрическое пространство, последовательная непрерывность и непрерывность эквивалентны. Для пространств, не являющихся первыми счетными, последовательная непрерывность может быть строго слабее, чем непрерывность. (Пространства, для которых эти два свойства эквивалентны, называются последовательными пространствами.) Это мотивирует рассмотрение сетей вместо последовательностей в общих топологических пространствах. Непрерывные функции сохраняют пределы сетей, и, более того, именно это свойство характеризует непрерывные функции.

Гомеоморфизмы

Симметричным понятию непрерывного отображения является открытое отображение, для которого образы открытых множеств открыты. Действительно, если открытое отображение f имеет обратную функцию, то эта обратная функция непрерывна, а если непрерывное отображение g имеет обратную функцию, то эта обратная функция открыта. Для биективного отображения f между двумя топологическими пространствами обратное отображение f−1 не обязательно непрерывно. Биективное непрерывное отображение с непрерывным обратным отображением называется гомеоморфизмом. Если непрерывное биективное отображение имеет в качестве области компактное пространство, а область значений — хаусдорфово, то оно является гомеоморфизмом.

Соединенные компоненты

Максимальные связные подмножества (упорядоченные по включению) непустого топологического пространства называются связными компонентами пространства. Компоненты любого топологического пространства X образуют разбиение X: они попарно не пересекаются, непусты и их объединение составляет всё пространство. Каждая компонента является замкнутым подмножеством исходного пространства. Следовательно, в случае, когда их число конечно, каждая компонента также является открытым подмножеством. Однако, если их число бесконечно, это может быть не так; например, связные компоненты множества рациональных чисел — это одноточечные множества, которые не являются открытыми. Пусть — связная компонента точки x в топологическом пространстве X, а — пересечение всех открыто-замкнутых множеств, содержащих x (называемое квазикомпонентой x). Тогда , где равенство выполняется, если X является компактным хаусдорфовым пространством или локально связным пространством.

Отключенные пространства

Пространство, в котором все компоненты являются одноточечными множествами, называется полноотсоединенным. Связанное с этим свойством пространство X называется полноразделенным, если для любых двух различных элементов x и y из X существуют непересекающиеся открытые окрестности U элемента x и V элемента y, такие что X является объединением U и V. Очевидно, что любое полноразделенное пространство полноотсоедено, но обратное неверно. Например, возьмите две копии рациональных чисел Q и отождествите их во всех точках, кроме нуля. Полученное пространство с фактортопологией полноотсоедено. Однако, рассматривая две копии нуля, можно увидеть, что пространство не полноразделено. Фактически, оно даже не хаусдорфово, и условие полноразделенности строго сильнее условия хаусдорфовости.

Сборник с подключением к трассе

Путь от точки x до точки y в топологическом пространстве X — это непрерывная функция f из единичного интервала [0,1] в X, такая что f(0) = x и f(1) = y. Компонентой пути X называется класс эквивалентности X относительно отношения эквивалентности, при котором x эквивалентно y, если существует путь от x к y. Пространство X называется пути-связным (или кусочно-связным, или 0-связным), если оно имеет не более одной компоненты пути; то есть, если существует путь, соединяющий любые две точки в X. Многие авторы исключают пустое множество. Любое пути-связное пространство является связным. Обратное не всегда верно: примеры связных пространств, которые не являются пути-связными, включают расширенную длинную линию L* и синусоиду тополога. Однако подмножества вещественной прямой R связны тогда и только тогда, когда они пути-связны; эти подмножества являются интервалами R. Также, открытые подмножества Rn или Cn связны тогда и только тогда, когда они пути-связны. Кроме того, для конечных топологических пространств связность и пути-связность совпадают.

Аксиомы разделения

Многие из этих названий имеют альтернативные значения в некоторых математических трудах, как объясняется в статье «История аксиом разделения»; например, значения «нормальный» и «T4» иногда меняются местами, аналогично «регулярный» и «T3» и т. д. Многие из этих понятий также имеют несколько названий; однако, первое из перечисленных наименее вероятно будет неоднозначным. Большинство этих аксиом имеют альтернативные определения с тем же смыслом; определения, представленные здесь, соответствуют последовательной схеме, которая связывает различные понятия разделения, определенные в предыдущем разделе. Другие возможные определения можно найти в отдельных статьях. Во всех следующих определениях X снова является топологическим пространством. X называется T0, или колмогоровским, если любые две различные точки в X топологически различимы. (Общая черта аксиом разделения — наличие одной версии аксиомы, требующей T0, и одной версии, не требующей T0.) X называется T1, или доступным, или фреше, если любые две различные точки в X разделены. Таким образом, X является T1 тогда и только тогда, когда он одновременно является T0 и R0. (Хотя можно говорить о пространстве T1, топологии Фреше и, например, предположить, что топологическое пространство X является фреше, избегайте использования термина «пространство Фреше» в этом контексте, поскольку в функциональном анализе существует совершенно иное понятие пространства Фреше.) X называется хаусдорфовым, или T2, или разделенным, если любые две различные точки в X разделены окрестностями. Таким образом, X является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда он одновременно является T0 и R1. Хаусдорфово пространство также должно быть T1. X называется T2½, или урысоновским, если любые две различные точки в X разделены замкнутыми окрестностями. Пространство T2½ также должно быть хаусдорфовым. X называется регулярным, или T3, если оно удовлетворяет условию T0 и для любой точки x и замкнутого множества F в X, не содержащего x, существуют окрестности, разделяющие их. (Фактически, в регулярном пространстве любые такие x и F также разделены замкнутыми окрестностями.) X называется тихоновским, или T3½, полностью T3, или полностью регулярным, если оно удовлетворяет условию T0 и для любой точки x и замкнутого множества F в X, не содержащего x, существует непрерывная функция, разделяющая их. X называется нормальным, или T4, если оно хаусдорфово и любые два непересекающихся замкнутых подмножества X разделены окрестностями. (Фактически, пространство является нормальным тогда и только тогда, когда любые два непересекающихся замкнутых множества могут быть разделены непрерывной функцией; это лемма Урысона.) X называется полностью нормальным, или T5, или полностью T4, если оно T1 и любые два разделенных множества разделены окрестностями. Полностью нормальное пространство также должно быть нормальным. X называется вполне нормальным, или T6, или вполне T4, если оно T1 и любые два непересекающихся замкнутых множества точно разделены непрерывной функцией. Вполне нормальное хаусдорфово пространство также должно быть полностью нормальным хаусдорфовым. Теорема Тице об продолжении: В нормальном пространстве любая непрерывная функция, принимающая действительные значения и определенная на замкнутом подпространстве, может быть продолжена до непрерывного отображения, определенного на всем пространстве.

Теорема категории Бейра

Теорема о категории Байра утверждает: если X — полное метрическое пространство или локально компактное хаусдорфово пространство, то внутренняя область любого объединения счётного числа нигде не плотных множеств пуста. Любое открытое подпространство пространства Байра само является пространством Байра.

Теория континуума

Континуум (мн. число континуумы) — это непустое компактное связное метрическое пространство, или, реже, компактное связное хаусдорфово пространство. Теория континуума — это раздел топологии, посвященный изучению континуумов. Эти объекты часто встречаются практически во всех областях топологии и анализа, и их свойства достаточно сильны, чтобы обуславливать множество "геометрических" характеристик.

Динамические системы

Топологическая динамика изучает поведение пространства и его подпространств во времени под воздействием непрерывных изменений. Многие примеры, имеющие приложения в физике и других областях математики, включают динамику жидкостей, бильярд и потоки на многообразиях. Топологические характеристики фракталов в фрактальной геометрии, множеств Жюлиа и множества Мандельброта, возникающие в комплексной динамике, и аттракторов в дифференциальных уравнениях часто критически важны для понимания этих систем.

Бессмысленная топология

Бесточечная топология (также называемая топологией без точек) — это подход к топологии, который избегает упоминания точек. Название "бесточечная топология" принадлежит Джону фон Нейману. Идеи бесточечной топологии тесно связаны с мереотопологиями, в которых области (множества) рассматриваются как фундаментальные без явной ссылки на лежащие в их основе множества точек.

Теория измерений

Теория размерности — это раздел общей топологии, изучающий размерностные инварианты топологических пространств.

Теория метризируемости

В топологии и смежных областях математики метризуемое пространство — это топологическое пространство, гомеоморфное метрическому пространству. То есть, топологическое пространство называется метризуемым, если существует метрика d, такая что топология, индуцированная метрикой d, совпадает с исходной топологией. Теоремы о метризации — это теоремы, дающие достаточные условия для метризуемости топологического пространства.

Топология теории множеств

Теоретическая топология множеств – это область математики, объединяющая теорию множеств и общую топологию. Она сосредоточена на топологических вопросах, независимых от аксиоматической теории множеств Цермело — Френкеля (ZFC). Известной проблемой является вопрос о нормальном пространстве Мура – вопрос общей топологии, который интенсивно исследовался. Ответ на вопрос о нормальном пространстве Мура в конечном итоге был доказан как независимый от ZFC.