Сақинаны идеал бойынша қысқарту

Кіріспе

Сақинаның оның идеалдарының бірі арқылы қысқартылуы

Сақиналар теориясында, абстракт алгебраның бір саласы, квотиент сақинасы, сондай-ақ фактор сақинасы, айырма сақинасы немесе қалдық кластар сақинасы деп аталады, бұл топтар теориясындағы квотиент топқа және сызықтық алгебрадағы квотиент кеңістігіне өте ұқсас құрылым. Бұл, жалпы алгебраның жалпы контекстінде қарастырылғандағы, квотиенттің нақты мысалы. R сақинасынан және R-дағы екі жақты идеал I-ден бастап, R / I квотиент сақинасы құрастырылады, оның элементтері R-дағы I-нің косеттері болып табылады және оларға ерекше + және ⋅ операциялары қолданылады. (Квотиент сақинасының нотациясында әрқашан бөлшек сызығы "/" қолданылады.) Квотиент сақиналары интегралдық доменнің "квотиент өрісінен" немесе бөлшектер өрісінен, сондай-ақ локализация арқылы алынған жалпы "квотиент сақиналарынан" ерекшеленеді.

Мысалдар

Квозиент сақинасы R-ге табиғи түрде изоморфты, ал R / R нөл сақинасы болып табылады, өйткені анықтамамыз бойынша кез келген r ∈ R үшін , ол R-дің өзіне тең. Бұл идеал I неғұрлым үлкен болса, R / I квозиент сақинасы соғұрлым кіші болады деген қағидаға сәйкес келеді. Егер I R-дің нақты идеалы болса, яғни I ≠ R, онда R / I нөлдік сақина емес. Z бүтін сандар сақинасын және 2Z арқылы белгіленетін жұп сандардың идеалын қарастырайық. Содан кейін Z / 2Z квозиент сақинасының тек екі элементі бар: 0 + 2Z косеті, жұп сандардан тұрады, және 1 + 2Z косеті, тақ сандардан тұрады. Анықтаманы қолданғанда, , мұнда 2Z жұп сандардың идеалы. Бұл екі элементі бар шекті өріске табиғи түрде изоморфты, F. Интуитивті түрде: егер барлық жұп сандарды 0 деп ойласақ, онда әрбір бүтін сан 0 (егер ол жұп болса) немесе 1 (егер ол тақ болса және сондықтан жұп сандан 1-ге өзгеше) болады. Модульдік арифметика негізінен Z / nZ (n элементі бар) квозиент сақинасындағы арифметика болып табылады. Енді нақты коэффициенттері бар X айнымалысындағы R[X] сақинасын және полиномдардың барлық еселіктерінен тұратын идеалды қарастырайық. Квозиент сақинасы күрделі сандар C өрісіне табиғи түрде изоморфты, мұнда [X] класы i қиял бірлігінің рөлін атқарады. Себебі біз i-ді "күштеп" енгіздік, яғни i-нің анықтамалық қасиетін жасадық. I-нің кез келген бүтін дәрежесі ±i немесе ±1 болуы керек, сондықтан барлық мүмкін полиномдар a + bi түрінде оңайлатылады. (Нақтырақ айтқанда, квозиент сақинасы шын мәнінде барлық сызықтық полиномдардың өрісіне табиғи түрде изоморфты: aX + b, a, b ∈ R, мұнда операциялар орындалады. Нәтижесінде, бізде бар , және бұл X-ті изоморфты күрделі сандар өрісіндегі қиял бірлігіне сәйкес келеді.) Алдыңғы мысалды жалпылағанда, квозиент сақиналары көбінесе өріс кеңейтімдерін құру үшін қолданылады. K белгілі бір өріс болсын және f K[X]-дегі бөлгішсіз полином болсын. Онда 1=L = K[X] / (f) - K бойынша ең төменгі полиномы f болатын өріс, ол K-ны және 1=x = X + (f) элементін қамтиды. Алдыңғы мысалдың маңызды мысалы - шекті өрістерді құру. Мысалы, үш элементі бар 1=F3 = Z / 3Z өрісін қарастырайық. Полином F3 бойынша бөлгішсіз (түбірі болмағандықтан), және біз F3[X] / (f) квозиент сақинасын құра аламыз. Бұл 1=32 = 9 элементі бар өріс, F9 деп белгіленеді. Басқа шекті өрістерді де осыған ұқсас тәсілмен құруға болады. Алгебралық сорттардың координаттық сақиналары алгебралық геометриядағы квозиент сақиналарының маңызды мысалдары болып табылады. Қарапайым жағдайда, нақты сортты V-ны R2 нақты жазықтығының ішкі жиыны ретінде қарастырайық. V-де анықталған нақты бағаланған полиномдық функциялар сақинасы квозиент сақинасымен сәйкес келеді, және бұл V-нің координаттық сақинасы болып табылады. V сорты енді оның координаттық сақинасын зерттеу арқылы зерттеледі. M - C∞ көптігі болсын, ал p - M нүктесі болсын. M-де анықталған барлық C∞ функциялардың 1=R = C∞(M) сақинасын қарастырайық және I-ді R-дегі осы функциялардан тұратын идеал деп атайық, олар p-нің U аймағында толығымен нөлге тең (мұнда U f-ке тәуелді болуы мүмкін). Содан кейін 1=R / I квозиент сақинасы - M-дегі C∞ функцияларының тұқымдарының сақинасы, p нүктесінде. Гипернақты өрістің *R шекті элементтерінен тұратын F сақинасын қарастырайық. Ол стандартты нақты сандан шексіз аз айырмашылығы бар барлық гипернақты сандардан немесе эквивалентті түрде: стандартты бүтін сан n үшін −n < x < n болатын барлық гипернақты сандар x-тен тұрады. *R-дегі барлық шексіз аз сандардың I жиыны, 0-мен бірге, F-дегі идеал болып табылады, ал F / I квозиент сақинасы R нақты сандарына изоморфты. Изоморфизм F-тің әрбір элементі x-ке x-тің стандартты бөлігін, яғни x-тен шексіз аз айырмашылығы бар бірегей нақты санды қосу арқылы туындайды. Шын мәнінде, шекті гиперрационалдардың F сақинасынан (яғни гипербүтін сандар жұбының қатынасынан) бастаса, нақты сандардың құрылымын қарастырса, бірдей нәтижеге қол жеткізесіз, атап айтқанда R.

The quotient ring is naturally isomorphic to R, and R / R is the zero ring , since, by our definition, for any r ∈ R, we have that , which equals R itself. This fits with the rule of thumb that the larger the ideal I, the smaller the quotient ring R / I. If I is a proper ideal of R, i. e., I ≠ R, then R / I is not the zero ring. Consider the ring of integers Z and the ideal of even numbers, denoted by 2Z. Then the quotient ring Z / 2Z has only two elements, the coset 0 + 2Z consisting of the even numbers and the coset 1 + 2Z consisting of the odd numbers; applying the definition, , where 2Z is the ideal of even numbers. It is naturally isomorphic to the finite field with two elements, F. Intuitively: if you think of all the even numbers as 0, then every integer is either 0 (if it is even) or 1 (if it is odd and therefore differs from an even number by 1). Modular arithmetic is essentially arithmetic in the quotient ring Z / nZ (which has n elements). Now consider the ring of polynomials in the variable X with real coefficients, R[X], and the ideal consisting of all multiples of the polynomial The quotient ring is naturally isomorphic to the field of complex numbers C, with the class [X] playing the role of the imaginary unit i. The reason is that we "forced" , i. e. , which is the defining property of i. Since any integer exponent of i must be either ±i or ±1, that means all possible polynomials essentially simplify to the form a + bi. (To clarify, the quotient ring is actually naturally isomorphic to the field of all linear polynomials aX + b, a, b ∈ R, where the operations are performed In return, we have , and this is matching X to the imaginary unit in the isomorphic field of complex numbers.) Generalizing the previous example, quotient rings are often used to construct field extensions. Suppose K is some field and f is an irreducible polynomial in K[X]. Then 1=L = K[X] / (f) is a field whose minimal polynomial over K is f, which contains K as well as an element 1=x = X + (f). One important instance of the previous example is the construction of the finite fields. Consider for instance the field 1=F3 = Z / 3Z with three elements. The polynomial is irreducible over F3 (since it has no root), and we can construct the quotient ring F3[X] / (f). This is a field with 1=32 = 9 elements, denoted by F9. The other finite fields can be constructed in a similar fashion. The coordinate rings of algebraic varieties are important examples of quotient rings in algebraic geometry. As a simple case, consider the real variety as a subset of the real plane R2. The ring of real valued polynomial functions defined on V can be identified with the quotient ring , and this is the coordinate ring of V. The variety V is now investigated by studying its coordinate ring. Suppose M is a C∞ manifold, and p is a point of M. Consider the ring 1=R = C∞(M) of all C∞ functions defined on M and let I be the ideal in R consisting of those functions f which are identically zero in some neighborhood U of p (where U may depend on f). Then the quotient ring 1=R / I is the ring of germs of C∞ functions on M at p.
Consider the ring F of finite elements of a hyperreal field *R. It consists of all hyperreal numbers differing from a standard real by an infinitesimal amount, or equivalently: of all hyperreal numbers x for which a standard integer n with −n < x < n exists. The set I of all infinitesimal numbers in *R, together with 0, is an ideal in F, and the quotient ring F / I is isomorphic to the real numbers R. The isomorphism is induced by associating to every element x of F the standard part of x, i. e. the unique real number that differs from x by an infinitesimal. In fact, one obtains the same result, namely R, if one starts with the ring F of finite hyperrationals (i. e. ratio of a pair of hyperintegers), see construction of the real numbers.

Күрделі жазықтықтың вариациялары

R[X] / (X), R[X] / (X + 1) және R[X] / (X − 1) үлестерінің бәрі R-ге изоморфты және бастапқыда көп қызығушылық тудырмайды. Бірақ, бұл геометриялық алгебрада "қос сан жазықтығы" деп аталады. Ол R[X] элементін X-ке дейін қысқарғаннан кейін "қалдықтар" ретіндегі сызықтық биномдардан ғана тұрады. Бұл күрделі жазықтықтың түрі, алгебрада нақты түзу және нильпотент болғанда ғана субальгебра ретінде пайда болады. Сонымен қатар, сақиналық үлестік R[X] / (X + 1) және R[X] / (X − 1) болып бөлінеді, сондықтан бұл сақина көбінесе R ⊕ R тікелей қосындысы ретінде қарастырылады. Дегенмен, күрделі сандардың бір түрі, 1=z = x + y j, i-ге қарағанда j-ні түбір ретінде ұсынады. Бұл жазықтықтағы бөлінген күрделі сандар R ⊕ R тікелей қосындысын нормалайды, 2 өлшемді кеңістік үшін негіз ұсынады, онда алгебраның бірлік элементі нөлден бірлік қашықтықта орналасқан. Осы негізде бірлік гиперболасын әдеттегі күрделі жазықтықтың бірлік шеңберімен салыстыруға болады.

Квартерниондар мен вариациялар

Егер X және Y екі, өзара ауыспайтын, белгісіз шамалар болса және еркін алгебра құрайды десек, онда Гамильтонның 1843 жылғы кватерниондарын R / (X + 1, Y + 1, XY + YX) түрінде көрсетуге болады. Егер орнына қойылса, бөлінген кватерниондар сақинасы алынады. Антикоммутативтік қасиет 1=YX = −XY, XY-тің квадраты (XY)(XY) = X(YX)Y = −X(XY)Y = −(XX)(YY) = −(−1)(+1) = +1 болады екенін білдіреді. Екі квадраттық биномдағы плюс белгісін минус белгісімен алмастыру да бөлінген кватерниондарға әкеледі. Бикватерниондардың үш түрін де үш белгісіз шамасы бар R еркін алгебрасын қолдану және тиісті идеалдар құру арқылы бөлімдер ретінде жазуға болады.

Қасиеттері

Егер R коммутативті сақина болса, онда R / I да солай; алайда керісінше, жалпы жағдайда, дұрыс емес. P табиғи бөлгіш картасының ядросы I болады; әрбір сақиналық гомоморфизмнің ядросы екі жақты идеал болғандықтан, екі жақты идеалдар – сақиналық гомоморфизмдердің ядроларының өзі болады. Сақиналық гомоморфизмдер, ядролар және бөлгіш сақиналар арасындағы тығыз байланысты былай қорытындылауға болады: R / I-де анықталған сақиналық гомоморфизмдер, R-де анықталған және I-де нөлге тең болатын (яғни жоғалатын) сақиналық гомоморфизмдермен шамалас. Нақтырақ айтқанда, R-дегі екі жақты идеал I және ядросы I-ді қамтитын сақиналық гомоморфизм f: R → S берілген болса, дәл бір сақиналық гомоморфизм g: R / I → S бар, мұнда 1 = gp = f (p – табиғи бөлгіш карта). g картасы жақсы анықталған ережемен беріледі: 1 = g([a]) = f(a), барлық a ∈ R үшін. Шындығында, осы әмбебап қасиетті бөлгіш сақиналарды және олардың табиғи бөлгіш карталарын анықтау үшін пайдалануға болады. Жоғарыда айтылғандардың салдары ретінде, негізгі тұжырымға жетеміз: кез келген сақиналық гомоморфизм f: R → S, R / ker(f) бөлгіш сақинасы мен im(f) кескіні арасында сақиналық изоморфизмді тудырады. (Сондай-ақ қараңыз: Гомоморфизмдер туралы негізгі теорема.) R идеалдары мен R / I арасындағы байланыс тығыз: табиғи бөлгіш карта I-ді қамтитын R-дің екі жақты идеалдары мен R / I-дің екі жақты идеалдары арасындағы өзара теңдік (биекция) береді (сол және оң жақты идеалдар үшін де осыған ұқсас). Екі жақты идеалдар арасындағы бұл байланыс тиісті бөлгіш сақиналар арасындағы қатынасқа дейін жалғасады: егер M – I-ді қамтитын R-дегі екі жақты идеал болса және біз R / I-дегі сәйкес идеалды M / I деп белгілесек (яғни M / I = p(M)), онда бөлгіш сақиналар R / M және (R / I) / (M / I) табиғи түрде (жақсы анықталған) a + M ↦ (a + I) + M / I картасы арқылы изоморфты болады. Коммутативтік алгебра мен алгебралық геометрияда келесі фактілер пайдалы: егер R / I коммутативті болса, онда R / I – өріс, тек қана I максималды идеал болған жағдайда, ал R / I – интегралдық домен, тек қана I жай идеал болған жағдайда. Сан алуан ұқсас тұжырымдар I идеалдың қасиеттерін R / I бөлгіш сақинаның қасиеттерімен байланыстырады. Қытайлық қалдық теоремасы былай тұжырымдайды: егер I идеалы жұптық өзара жай идеалдардың I1, ..., Ik қиылысы (немесе баламалы түрде, көбейтіндісі) болса, онда R / I бөлгіш сақинасы R / I1, ..., R / Ik бөлгіш сақиналарының көбейтіндісіне изоморфты болады.

Clearly, if R is a commutative ring, then so is R / I; the converse, however, is not true in general. The natural quotient map p has I as its kernel; since the kernel of every ring homomorphism is a two sided ideal, we can state that two sided ideals are precisely the kernels of ring homomorphisms. The intimate relationship between ring homomorphisms, kernels and quotient rings can be summarized as follows: the ring homomorphisms defined on R / I are essentially the same as the ring homomorphisms defined on R that vanish (i. e. are zero) on I. More precisely, given a two sided ideal I in R and a ring homomorphism f : R → S whose kernel contains I, there exists precisely one ring homomorphism g : R / I → S with 1=gp = f (where p is the natural quotient map). The map g here is given by the well defined rule 1=g([a]) = f(a) for all a in R. Indeed, this universal property can be used to define quotient rings and their natural quotient maps. As a consequence of the above, one obtains the fundamental statement: every ring homomorphism f : R → S induces a ring isomorphism between the quotient ring R / ker(f) and the image im(f). (See also: Fundamental theorem on homomorphisms.) The ideals of R and 1=R / I are closely related: the natural quotient map provides a bijection between the two sided ideals of R that contain I and the two sided ideals of R / I (the same is true for left and for right ideals). This relationship between two sided ideal extends to a relationship between the corresponding quotient rings: if M is a two sided ideal in R that contains I, and we write M / I for the corresponding ideal in R / I (i. e. 1=M / I = p(M)), the quotient rings 1=R / M and (R / I) / (M / I) are naturally isomorphic via the (well defined) mapping a + M ↦ (a + I) + M / I. The following facts prove useful in commutative algebra and algebraic geometry: for commutative, R / I is a field if and only if I is a maximal ideal, while R / I is an integral domain if and only if I is a prime ideal. A number of similar statements relate properties of the ideal I to properties of the quotient ring R / I. The Chinese remainder theorem states that, if the ideal I is the intersection (or equivalently, the product) of pairwise coprime ideals I1, , Ik, then the quotient ring R / I is isomorphic to the product of the quotient rings R / In, 1=n = 1, , k.

Сақинадағы алгебралар үшін

Ассоциативтік алгебра А коммутативті сақина R үстінде, өзі сақина болып табылады. Егер I, А-дағы идеал болса (R көбейтуіне қатысты жабық), онда A / I, R үстінде алгебра құрылымын сақтайды және ол бөлу алгебрасы болып табылады.

Қосымша сілтемелер

Ф. Каш (1978) Moduln und Ringe, DAR Wallace (1982) Modules and Rings, Academic Press, 33-бет. Нил Х. Маккой (1948) Сақиналар мен идеалдар, §13 Қалдық сынып сақиналары, 61-бет, Карус математикалық монографиялар #8, Америка математикалық қауымдастығы. Б. Л. ван дер Вэрден (1970) Алгебра, Фред Блум және Джон Р. Шуленбергер аударған, Фредерик Унгар баспасы, Нью-Йорк. 3.5-тарауды қараңыз, "Идеалдар. Қалдық сынып сақиналары", 47–51-беттер.