Кольца частных и факторкольца

Введение

Сокращение кольца по одному из его идеалов

В теории колец, ветви абстрактной алгебры, факторкольцо, также известное как кольцо частных, кольцо разности или кольцо классов вычетов, является построением, весьма похожим на факторгруппу в теории групп и на факторпространство в линейной алгебре. Это конкретный пример частного, рассматриваемый в общем контексте универсальной алгебры. Начиная с кольца R и двустороннего идеала I в R, строится новое кольцо, факторкольцо R / I, элементы которого являются смежными классами I в R относительно специальных операций сложения и умножения. (Обозначение факторкольца всегда использует дробную черту "/") Факторкольца отличаются от так называемого "поля частных" или поля дробей целостного домена, а также от более общих "колец частных", полученных локализацией.

Примеры

Кольцо частных естественно изоморфно R, и R / R является нулевым кольцом, поскольку, по нашему определению, для любого r ∈ R, имеем , что равно самому R. Это согласуется с эмпирическим правилом, что чем больше идеал I, тем меньше факторкольцо R / I. Если I – собственное идеальное кольцо R, т. е. I ≠ R, то R / I не является нулевым кольцом. Рассмотрим кольцо целых чисел Z и идеал четных чисел, обозначаемый 2Z. Тогда факторкольцо Z / 2Z имеет только два элемента: класс вычетов 0 + 2Z, состоящий из четных чисел, и класс вычетов 1 + 2Z, состоящий из нечетных чисел; применяя определение, , где 2Z – идеал четных чисел. Оно естественно изоморфно конечному полю с двумя элементами, F. Интуитивно: если рассматривать все четные числа как 0, то каждое целое число будет либо 0 (если оно четное), либо 1 (если оно нечетное и, следовательно, отличается от четного числа на 1). Модульная арифметика по сути является арифметикой в факторкольце Z / nZ (которое содержит n элементов). Теперь рассмотрим кольцо многочленов в переменной X с действительными коэффициентами, R[X], и идеал, состоящий из всех кратных многочлену . Факторкольцо естественно изоморфно полю комплексных чисел C, при этом класс [X] играет роль мнимой единицы i. Причина в том, что мы "заставили" выполняться , т. е. , что является определяющим свойством i. Поскольку любой целый показатель степени i должен быть либо ±i, либо ±1, это означает, что все возможные многочлены по существу упрощаются до вида a + bi. (Для уточнения, факторкольцо на самом деле естественно изоморфно полю всех линейных многочленов aX + b, a, b ∈ R, где операции выполняются. В свою очередь, у нас есть , и это соответствует отождествлению X с мнимой единицей в изоморфном поле комплексных чисел.) Обобщая предыдущий пример, факторкольца часто используются для построения расширений полей. Пусть K – некоторое поле, а f – неприводимый многочлен в K[X]. Тогда 1=L = K[X] / (f) – это поле, минимальный многочлен которого над K равен f, которое содержит K, а также элемент 1=x = X + (f). Важным примером предыдущего примера является построение конечных полей. Рассмотрим, например, поле 1=F3 = Z / 3Z с тремя элементами. Многочлен неприводим над F3 (поскольку у него нет корней), и мы можем построить факторкольцо F3[X] / (f). Это поле с 1=32 = 9 элементами, обозначаемое F9. Другие конечные поля можно построить аналогичным образом. Координатные кольца алгебраических многообразий являются важным примером факторколец в алгебраической геометрии. В качестве простого случая рассмотрим реальное многообразие как подмножество реальной плоскости R2. Кольцо многочленных функций с действительными значениями, определенных на V, можно отождествить с факторкольцом , и это координатное кольцо V. Многообразие V теперь исследуется путем изучения его координатного кольца. Пусть M – гладкое многообразие, а p – точка M. Рассмотрим кольцо 1=R = C∞(M) всех гладких функций, определенных на M, и пусть I – идеал в R, состоящий из тех функций f, которые тождественно равны нулю в некоторой окрестности U точки p (где U может зависеть от f). Тогда факторкольцо 1=R / I является кольцом зародышей гладких функций на M в точке p. Рассмотрим кольцо F конечных элементов гипердействительного поля *R. Оно состоит из всех гипердействительных чисел, отличающихся от стандартного действительного на бесконечно малую величину, или, эквивалентно, из всех гипердействительных чисел x, для которых существует стандартное целое число n такое, что −n < x < n. Множество I всех бесконечно малых чисел в *R, вместе с 0, является идеалом в F, а факторкольцо F / I изоморфно действительным числам R. Изоморфизм индуцируется сопоставлением каждому элементу x из F стандартной части x, т. е. единственного действительного числа, отличающегося от x на бесконечно малую величину. Фактически, получается тот же результат, а именно R, если начинать с кольца F конечных гиперрациональных чисел (т. е. отношения пары гиперцелых чисел), см. построение действительных чисел.

The quotient ring is naturally isomorphic to R, and R / R is the zero ring , since, by our definition, for any r ∈ R, we have that , which equals R itself. This fits with the rule of thumb that the larger the ideal I, the smaller the quotient ring R / I. If I is a proper ideal of R, i. e., I ≠ R, then R / I is not the zero ring. Consider the ring of integers Z and the ideal of even numbers, denoted by 2Z. Then the quotient ring Z / 2Z has only two elements, the coset 0 + 2Z consisting of the even numbers and the coset 1 + 2Z consisting of the odd numbers; applying the definition, , where 2Z is the ideal of even numbers. It is naturally isomorphic to the finite field with two elements, F. Intuitively: if you think of all the even numbers as 0, then every integer is either 0 (if it is even) or 1 (if it is odd and therefore differs from an even number by 1). Modular arithmetic is essentially arithmetic in the quotient ring Z / nZ (which has n elements). Now consider the ring of polynomials in the variable X with real coefficients, R[X], and the ideal consisting of all multiples of the polynomial The quotient ring is naturally isomorphic to the field of complex numbers C, with the class [X] playing the role of the imaginary unit i. The reason is that we "forced" , i. e. , which is the defining property of i. Since any integer exponent of i must be either ±i or ±1, that means all possible polynomials essentially simplify to the form a + bi. (To clarify, the quotient ring is actually naturally isomorphic to the field of all linear polynomials aX + b, a, b ∈ R, where the operations are performed In return, we have , and this is matching X to the imaginary unit in the isomorphic field of complex numbers.) Generalizing the previous example, quotient rings are often used to construct field extensions. Suppose K is some field and f is an irreducible polynomial in K[X]. Then 1=L = K[X] / (f) is a field whose minimal polynomial over K is f, which contains K as well as an element 1=x = X + (f). One important instance of the previous example is the construction of the finite fields. Consider for instance the field 1=F3 = Z / 3Z with three elements. The polynomial is irreducible over F3 (since it has no root), and we can construct the quotient ring F3[X] / (f). This is a field with 1=32 = 9 elements, denoted by F9. The other finite fields can be constructed in a similar fashion. The coordinate rings of algebraic varieties are important examples of quotient rings in algebraic geometry. As a simple case, consider the real variety as a subset of the real plane R2. The ring of real valued polynomial functions defined on V can be identified with the quotient ring , and this is the coordinate ring of V. The variety V is now investigated by studying its coordinate ring. Suppose M is a C∞ manifold, and p is a point of M. Consider the ring 1=R = C∞(M) of all C∞ functions defined on M and let I be the ideal in R consisting of those functions f which are identically zero in some neighborhood U of p (where U may depend on f). Then the quotient ring 1=R / I is the ring of germs of C∞ functions on M at p.
Consider the ring F of finite elements of a hyperreal field *R. It consists of all hyperreal numbers differing from a standard real by an infinitesimal amount, or equivalently: of all hyperreal numbers x for which a standard integer n with −n < x < n exists. The set I of all infinitesimal numbers in *R, together with 0, is an ideal in F, and the quotient ring F / I is isomorphic to the real numbers R. The isomorphism is induced by associating to every element x of F the standard part of x, i. e. the unique real number that differs from x by an infinitesimal. In fact, one obtains the same result, namely R, if one starts with the ring F of finite hyperrationals (i. e. ratio of a pair of hyperintegers), see construction of the real numbers.

Вариации сложных плоскостей

Квоциенты R[X] / (X), R[X] / (X + 1) и R[X] / (X − 1) все изоморфны R и поначалу не представляют особого интереса. Но следует отметить, что это называется плоскостью двойственных чисел в геометрической алгебре. Она состоит только из линейных биномов в качестве "остатков" после приведения элемента R[X] по модулю X. Эта вариация комплексной плоскости возникает как субалгебра, когда алгебра содержит вещественную прямую и нильпотентный элемент. Более того, кольцо-частное R[X] / (X²) расщепляется на R[X] / (X + 1) и R[X] / (X − 1), поэтому это кольцо часто рассматривается как прямая сумма R ⊕ R.

Тем не менее, вариация комплексных чисел вида 1 = z = x + yj предлагается, где j является корнем X², в отличие от i, являющегося корнем -1. Эта плоскость расщеплённых комплексных чисел нормализует прямую сумму R ⊕ R, предоставляя базис для 2-мерного пространства, где единичный элемент алгебры находится на единичном расстоянии от нуля. С этим базисом единичную гиперболу можно сравнить с единичной окружностью обычной комплексной плоскости.

Кватернионы и вариации

Предположим, что X и Y – две некоммутирующие неопределенности, образующие свободную алгебру. Тогда кватернионы Гамильтона 1843 года можно представить в виде R / (X + 1, Y + 1, XY + YX). Если вместо X подставить -X, то получается кольцо расщепленных кватернионов. Антикоммутативное свойство 1 = YX = −XY подразумевает, что квадрат XY равен (XY)(XY) = X(YX)Y = −X(XY)Y = −(XX)(YY) = −(−1)(+1) = +1. Замена знаков в обоих квадратных биномах на противоположные также приводит к расщепленным кватернионам. Три типа бикватернионов также можно записать в виде частных, используя свободную алгебру с тремя неопределенностями R и конструируя соответствующие идеалы.

Свойства

Очевидно, что если R — коммутативное кольцо, то R / I также коммутативно; однако обратное в общем случае неверно. Натуральное фактор-отображение p имеет I в качестве ядра; поскольку ядро каждого гомоморфизма кольца является двусторонним идеалом, мы можем утверждать, что двусторонние идеалы являются ядрами гомоморфизмов кольца. Тесная связь между гомоморфизмами кольца, ядрами и фактор-кольцами может быть суммирована следующим образом: гомоморфизмы кольца, определенные на R / I, по существу такие же, как гомоморфизмы кольца, определенные на R, которые обращаются в нуль (т. е. равны нулю) на I. Более точно, если дан двусторонний идеал I в R и гомоморфизм кольца f : R → S, ядро которого содержит I, то существует ровно один гомоморфизм кольца g : R / I → S, такой что g∘p = f (где p — натуральное фактор-отображение). Гомоморфизм g здесь задается хорошо определенным правилом g([a]) = f(a) для всех a из R. Действительно, это универсальное свойство может быть использовано для определения фактор-колец и их натуральных фактор-отображений. Как следствие вышесказанного, получаем фундаментальное утверждение: каждый гомоморфизм кольца f : R → S индуцирует изоморфизм кольца между фактор-кольцом R / ker(f) и образом im(f). (См. также: Фундаментальная теорема о гомоморфизмах.) Идеалы R и R / I тесно связаны: натуральное фактор-отображение устанавливает биекцию между двусторонними идеалами R, содержащими I, и двусторонними идеалами R / I (то же самое верно для левых и правых идеалов). Эта связь между двусторонними идеалами распространяется на связь между соответствующими фактор-кольцами: если M — двусторонний идеал в R, содержащий I, и мы обозначаем M / I соответствующий идеал в R / I (т. е. M / I = p(M)), то фактор-кольца R / M и (R / I) / (M / I) естественно изоморфны посредством (хорошо определенного) отображения a + M ↦ (a + I) + M / I. Следующие факты оказываются полезными в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии: для коммутативного кольца R, R / I является полем тогда и только тогда, когда I — максимальный идеал, а R / I является областью целостности тогда и только тогда, когда I — простой идеал. Ряд подобных утверждений связывает свойства идеала I со свойствами фактор-кольца R / I. Китайская теорема об остатках утверждает, что если идеал I является пересечением (или, эквивалентно, произведением) попарно взаимно простых идеалов I1, ..., Ik, то фактор-кольцо R / I изоморфно произведению фактор-колец R / I1, ..., R / Ik.

Clearly, if R is a commutative ring, then so is R / I; the converse, however, is not true in general. The natural quotient map p has I as its kernel; since the kernel of every ring homomorphism is a two sided ideal, we can state that two sided ideals are precisely the kernels of ring homomorphisms. The intimate relationship between ring homomorphisms, kernels and quotient rings can be summarized as follows: the ring homomorphisms defined on R / I are essentially the same as the ring homomorphisms defined on R that vanish (i. e. are zero) on I. More precisely, given a two sided ideal I in R and a ring homomorphism f : R → S whose kernel contains I, there exists precisely one ring homomorphism g : R / I → S with 1=gp = f (where p is the natural quotient map). The map g here is given by the well defined rule 1=g([a]) = f(a) for all a in R. Indeed, this universal property can be used to define quotient rings and their natural quotient maps. As a consequence of the above, one obtains the fundamental statement: every ring homomorphism f : R → S induces a ring isomorphism between the quotient ring R / ker(f) and the image im(f). (See also: Fundamental theorem on homomorphisms.) The ideals of R and 1=R / I are closely related: the natural quotient map provides a bijection between the two sided ideals of R that contain I and the two sided ideals of R / I (the same is true for left and for right ideals). This relationship between two sided ideal extends to a relationship between the corresponding quotient rings: if M is a two sided ideal in R that contains I, and we write M / I for the corresponding ideal in R / I (i. e. 1=M / I = p(M)), the quotient rings 1=R / M and (R / I) / (M / I) are naturally isomorphic via the (well defined) mapping a + M ↦ (a + I) + M / I. The following facts prove useful in commutative algebra and algebraic geometry: for commutative, R / I is a field if and only if I is a maximal ideal, while R / I is an integral domain if and only if I is a prime ideal. A number of similar statements relate properties of the ideal I to properties of the quotient ring R / I. The Chinese remainder theorem states that, if the ideal I is the intersection (or equivalently, the product) of pairwise coprime ideals I1, , Ik, then the quotient ring R / I is isomorphic to the product of the quotient rings R / In, 1=n = 1, , k.

Для алгебры по кольцу

Ассоциативная алгебра A над коммутативным кольцом R является кольцом. Если I – идеал в A (замкнутый относительно умножения на R), то A / I наследует структуру алгебры над R и является фактор-алгеброй.

Дополнительные ссылки

Ф. Каш (1978) Moduln und Ringe, переведенный DAR Wallace (1982) Модули и кольца, Academic Press, страница 33. Нил Х. Маккой (1948) Кольца и идеалы, §13 Кольца классов вычетов, страница 61, Математические монографии Каруса #8, Математическая ассоциация Америки. Б. Л. ван дер Вэрден (1970) Алгебра, переведенный Фредом Блумом и Джоном Р. Шуленбергером, Frederick Ungar Publishing, Нью-Йорк. См. главу 3.5, "Идеалы. Кольца классов вычетов", стр. 47–51.