Кіріспе

3D пішіні, жалпақ беттері, түзу жиектері және өткір бұрыштары бар.

Көпбұрыштардың мысалдары: Тәубекті тетраэдр, Платондық қатты дене, Жұлдызды шағын додекаэдр, Кеплер-Пойнсот қатты дене, Икозидодекаэдр, Архимедтік қатты дене, Үлкен кубикоктаэдр, Біркелкі жұлдызды көпбұрыш, Ромбтық триаконтаэдр, Каталондық қатты дене, Тороидті көпбұрыш.

Геометрияда көпбұрыш (көпбұрыштар немесе көпбұрыштар) – жалпақ көпбұрышты беттері, түзу жиектері және өткір бұрыштары немесе төбелері бар үш өлшемді пішін. Дөңес көпбұрыш – дөңес жиынтықты шектеуін қамтитын көпбұрыш. Кез келген дөңес көпбұрышты оның төбелерінің дөңес қабығы ретінде құрастыруға болады, ал барлық нүктелердің шекті жиынтығы үшін, егер олардың барлығы бір жазықтықта жатпаса, дөңес қабық дөңес көпбұрыш болады. Кубтар мен пирамидалар – дөңес көпбұрыштардың мысалдары. Полиэдр – политоптың үш өлшемді мысалы, ол кез келген өлшемдегі көбірек жалпы ұғым.

Беттер саны

Полиэдрлер жіктелуге болады және көбінесе беттерінің саны бойынша аталады. Атау жүйесі классикалық грек тіліне негізделген, бет санын көрсететін префикс пен "гедрон" қосымшасын біріктіреді, ол "негіз" немесе "орын" деген мағынаны білдіріп, беттерге сілтеме жасайды. Мысалы, тетраэдр – төрт беті бар полиэдр, пентаэдр – бес беті бар полиэдр, гексаэдр – алты беті бар полиэдр, және т.б. Грек сан префикстерінің толық тізімін грек сан есімдерінің тізімінде қараңыз. Тетраэдр, гексаэдр, октаэдр (8 жақты полиэдр), додекаэдр (12 жақты полиэдр) және икосаэдр (20 жақты полиэдр) атаулары кейде Платон денелеріне сілтеме жасау үшін қосымша нақтылаусыз қолданылады, ал кейде симметрия туралы ешқандай болжам жасамай, берілген жақтар саны бар полиэдрлерді жалпылама атау үшін қолданылады.

Жер бетінің ауданы мен қашықтық

Көпбұрыштың бетінің ауданы – бетінің ауданы дұрыс анықталған көпбұрыштардың анықтамалары үшін оның жақтары аудандарының қосындысы болып табылады. Көпбұрыштың бетіндегі кез келген екі нүкте арасындағы геодезиялық қашықтық – екі нүктені жалғастыратын ең қысқа қисықтың ұзындығын өлшейді, бұл қисық беттің ішінде болады. Александровтың бірегейлік теоремасына сәйкес, әрбір дөңес көпбұрыш оның бетіндегі геодезиялық қашықтықтардың метрикалық кеңістігі арқылы бірегей түрде анықталады. Дегенмен, дөңес емес көпбұрыштар бір-бірімен немесе кейбір дөңес көпбұрыштармен бірдей беттік қашықтықтарға ие болуы мүмкін.

Ұзындығы өзгермейтін

Екі өлшемде Болай-Гервиен теоремасы кез келген көпбұрышты, оны шекті сандағы көпбұрышты бөліктерге бөліп, оларды қайта орналастыру арқылы сол ауданы бар кез келген басқа көпбұрышқа түрлендіруге болады деп мәлімдейді. Көпбұрыштарға қатысты ұқсас сұрақ Гилберттің үшінші мәселесінің тақырыбы болды. Макс Дехн бұл мәселені шешті, 2D жағдайынан айырмашылығы, бірдей көлемге ие, бірақ кіші полиэдрлерге бөлініп, бір-біріне қайта құрастырылмауы мүмкін полиэдрлердің бар екенін көрсетті. Осыны дәлелдеу үшін Дехн полиэдрмен байланысты тағы бір шаманы – Дехн инвариантын тапты, екі полиэдрді бір-біріне тек бірдей көлемге және бірдей Дехн инвариантына ие болғанда ғана бөлуге болады. Кейін Сидлер бұл диссекцияға жалғыз кедергі екенін дәлелдеді: бірдей көлемге және Дехн инварианттарына ие кез келген екі Евклидтік полиэдрді кесіп, бір-біріне қайта құрастыруға болады. Дехн инварианты – сан емес, полиэдрдің қабырғаларының ұзындығы мен диэдр бұрыштарынан анықталатын шексіз өлшемді векторлық кеңістіктегі вектор. Гилберттің тағы бір мәселесі, Гилберттің 18-ші мәселесі, (басқа нәрселермен қатар) кеңістікті мозаикалайтын полиэдрлерге қатысты. Мұндай әрбір полиэдрдің Дехн инварианты нөлге тең болуы керек. Дехн инварианты сондай-ақ, икемді полиэдрлерге мықты баллон теоремасы арқылы байланысты, ол кез келген икемді полиэдрдің Дехн инварианты иілген кезде өзгермейтінін көрсетеді.

Қиыршық көпбұрыштар

Үш өлшемді қатты дене егер оның кез келген екі нүктесін қосатын түзу сызығы сегменті оның ішінде жатса, дөңгелек жиынтық деп аталады. Дөңгелек көпбұрыш – қатты дене ретінде дөңгелек жиынтық құрайтын көпбұрыш. Дөңгелек көпбұрышты шекті сандағы жарты кеңістіктердің шектеулі қиылысы ретінде немесе шекті сандағы нүктелердің дөңгелек қабығы ретінде де анықтауға болады. Маңызды дөңгелек көпбұрыштар кластарына жоғары симметриялық Платон денелері, Архимед денелері және олардың қосарлылары Каталан денелері, сондай-ақ дұрыс беттері бар Джонсон денелері жатады.

Тұрақты көпбұрыштар

Түзбелі көпжақтар ең жоғары дәрежеде симметриялық болып табылады. Барлығы тоғыз тұрақты көпжақтар бар: бесеуі дөңес, ал төртеуі жұлдызды. Бес дөңес мысал ежелден бері белгілі және Платондық денелер деп аталады. Бұлар – үшбұрышты пирамида немесе тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр және икосаэдр.

Сонымен қатар, төрт тұрақты жұлдызды көпжақтар бар, олар ашқандарының құрметіне Кеплер-Пуансо көпжақтары деп аталады. Түзбелі көпжақтардың қосарлысы да тұрақты болады.

Изоэдрлер

Изоэдр — беттерінде транзитивті әрекет ететін симметриялары бар полиэдр. Олардың топологиясы беттік конфигурация арқылы бейнеленеді. Барлық 5 Платондық және 13 Каталондық денелер изоэдрлер болып табылады, сондай-ақ трапецоэдрлер мен бипирамидалардың шексіз отбасылары да. Кейбір изоэдрлерге геометриялық өзгерістерге, оның ішінде ойыс және өзімен-өзі қиылысатын формаларға рұқсат етіледі.

Тура беттері бар көпбұрыштар

Қалыпты және біртекті көпжақтардан өзге, беттері дұрыс, бірақ жалпы симметриясы төмен басқа да кластар бар.

Бос орынды толтырушы көпбұрыштар

Бос орынды толтыратын көпжақ өз көшірмелерімен кеңістікті толтырып жатады. Мұндай тығыз жиынтық немесе кеңістікті толтыру жиі кеңістіктің мозаикасы немесе бал ұясы деп аталады. Бос орынды толтыратын көпжақтардың Дена инварианты нөлге тең болуы тиіс. Кейбір бал ұялары бірнеше түрлі көпжақтарды қамтиды.

Жатыршалы көпбұрыштар

Барлық төбелері бүтін сандық координаталары бар дөңес көпжақты торлы көпжақты немесе интегралды көпжақты деп атайды. Торлы көпжақтың Эрхарт полиномі – көпжақтың масштабталған көшірмесінің ішіндегі бүтін сандық координаталары бар нүктелер санын масштаб коэффициентіне тәуелді функция ретінде есептейді. Осы полиномдарды зерттеу комбинаторика және коммутативтік алгебраның тоғысқан жерінде жатыр. Торлық сорттар деп аталатын белгілі бір алгебралық сорттар мен торлы көпжақтылар арасында терең байланыс бар. Стенли осы байланысты Дехн-Сомервилль теңдеулерін жай политоптар үшін дәлелдеу үшін пайдаланды.

Иілгіш көпбұрыштар

Кейбір көпбұрыштар өздерінің жалпы пішінін өзгерте алады, бірақ олардың беттерінің пішінін сақтайды, олардың қабырғаларының бұрыштарын өзгерту арқылы. Мұндай мүмкіндігі бар көпбұрыш икемді көпбұрыш деп аталады. Кошидің қатаңдық теоремасына сәйкес, икемді көпбұрыштар дөңес емес болуы керек. Икемді көпбұрыштың көлемі иілу кезінде өзгермейді; бұл нәтиже балға теоремасы деп белгілі.

Құралымдар

Полиэдрлік қосылыстар ортақ центрді бөлісетін екі немесе одан көп полиэдрден құралады. Симметриялық қосылыстар жиі басқа белгілі көпбұрыштармен ортақ төбелерге ие болады және көбінесе жұлдыздандыру арқылы да жасалуы мүмкін. Олардың кейбіреулері Веннингердің полиэдр модельдерінің тізімінде тіркелген.

Ортогональды көпбұрыштар

Ортогональды көпжақ – барлық жақтары тік бұрыштарда жанасатын және барлық қабырғалары Картезиан координаттар жүйесінің осьтеріне параллель болатын көпжақ. (Жессеннің икосаэдрі осы екі шарттың біреуін ғана орындайтын көпжақтың мысалы болып табылады.) Тікбұрышты параллелепипедтерден басқа, ортогональды көпжақтар дөңес емес. Олар 2D ортогональды көпбұрыштардың 3D аналогтары, сондай-ақ тік сызықты көпбұрыштар деп те аталады. Ортогональды көпжақтар есептеу геометриясында қолданылады, онда олардың шектеулі құрылымы кездейсоқ көпжақтар үшін шешілмеген мәселелерді шешуге мүмкіндік береді, мысалы, көпжақтың бетін көпбұрышты торға жаю. Поликубтар – ортогональды көпжақтардың ерекше жағдайы, оларды бірдей кубтарға бөлуге болады және жазық полиоминолардың үш өлшемді аналогтары болып табылады.

Жазық беттері бар жүйелі карталар

Тұрақты карталар — флагтық транзитивті абстрактілі 2-қиылыс және олар он тоғызыншы ғасырда-ақ зерттелген. Олардың кейбіреулері Клейннің төрттік сызығын бейнелейтіндей 3 өлшемді полиэдрлік еніп жатуға ие.

Каноникалық көпбұрыштар

Кез келген дөңес көпбұрыш комбинаторлық тұрғыдан дерлік бірегей канондық көпбұрышқа эквивалентті, яғни әр қабырғасына жанасатын ортақ шарға ие көпбұрыш.

Көпбұрышты жалпылау

"Полиэдр" атауы дәстүрлі полиэдрлермен ұқсас құрылымдық қасиеттері бар түрлі нысандарды атау үшін пайдаланыла бастады.

Күрделі көпбұрыштар

Комплексті полиэдрлер деп аталатын нысандар бар, олар үшін негізгі кеңістік нақты Евклид кеңістігі орнына кешенді Гилберт кеңістігі болып табылады. Нақты анықтамалар тек қана тұрақты кешенді полиэдрлер үшін ғана бар, олардың симметриялық топтары кешендік рефлексиялық топтар болып табылады. Кешенді полиэдрлер математикалық жағынан нақты полиэдрлерге қарағанда конфигурациялармен тығыз байланысты.

Бұрышты көпбұрыштар

Кейбір зерттеу салалары көпжақтардың қисық беттері мен қабырғаларына мүмкіндік береді. Қисық беттер оң ауданы бар дигональды беттердің болуына мүмкіндік тудырады.

Сфералық көпбұрыштар

Сфераның бетін шекті санда үлкен доғалармен (немесе, сфераның ортасынан өтетін жазықтықтар арқылы) бөлгенде, нәтиже сфералық полиэдр деп аталады. Белгілі бір деңгейде симметриясы бар көптеген дөңес политоптар (мысалы, барлық Платон денелері) сфералық полиэдр жасау үшін концентрлі сфераның бетіне проекциялануы мүмкін. Дегенмен, кері процесс әрқашан мүмкін емес; кейбір сфералық полиэдрлердің (мысалы, госоэдрлердің) жазық беттерімен салыстыруға болатын аналогы жоқ.

Көгерілген кеңістікті толтырушы көпбұрыштар

Егер беттер дөңес қана емес, ойыс болуына да рұқсат берілсе, жапсарлас беттер тігізгіштік болмайтындай етіп біріктірілуі мүмкін. Мұндай қисық көпжақтардың кейбіреулері кеңістікті толтыру үшін бірігіп жата алады. Екі маңызды түрі: Weaire Phelan көпіршіктері сияқты көбіктер мен көбіктегі көпіршіктер. Сәулетте қолданылатын формалар.

Идеалдық көпбұрыштар

Қиыршақты полиэдрлер үш өлшемді гиперболалық кеңістікте Евклид кеңістігіндегідей, нүктелердің шекті жиынтығының дөңгелек қабығы ретінде анықталуы мүмкін. Дегенмен, гиперболалық кеңістікте кеңістікте жатқан нүктелермен қатар идеалдық нүктелерді де қарастыруға болады. Идеалдық полиэдр — идеалдық нүктелердің шекті жиынтығының дөңгелек қабығы. Оның жақтары идеалдық көпбұрыштар, бірақ оның қабырғалары сызық кесінділері емес, толық гиперболалық түзулермен анықталады, ал оның төбелері (оның дөңгелек қабығы болатын идеалдық нүктелер) гиперболалық кеңістікте орналаспайды.

Скелеттер мен полиэдрлер графиктер ретінде

Беттік құрылымын естен шығарса, кез келген көпбұрыш графқа айналады, оны қаңқа деп атайды, және оның сәйкес төбелері мен қабырғалары болады. Мұндай фигуралардың тарихы ұзақ: Леонардо да Винчи тұрақты денелердің каркас модельдерін жасады, оларды Пачолидің "Құдай пропорциясы" кітабы үшін салған, ал ұқсас сымдық каркас полиэдрлер М.С. Эшердің "Жұлдыздар" гравюрасында кездеседі. Бұл тәсілдің маңызды жетістігі – Штайниц теоремасы, ол дөңес көпбұрыштардың қаңқаларының таза графтық-теориялық сипаттамасын береді: ол әрбір дөңес көпбұрыштың қаңқасы 3-қосылған жазық граф екенін, ал әрбір 3-қосылған жазық граф кейбір дөңес көпбұрыштың қаңқасы бола алады деп мәлімдейді. Абстрактілі көпбұрыштар туралы алғашқы идеялар Бранко Грунбаумның "ішкі беті бар көпбұрыштарды" зерттеуінде пайда болды. Грунбаум беттерді циклдық ретпен орналасқан төбелер жиыны ретінде анықтады және олардың жазық емес, қисайған болуына да рұқсат берді.

Топологиялық көпбұрыштар

Топологиялық политоп – бұл топологиялық кеңістік, нақты бір конвекстік политоптарға топологиялық түрде эквивалентті және біркелкі жағдайда бір-біріне жалғанған пішіндерге жіктелген күйде беріледі. Егер оның әр аймағы симплекс болса, онда мұндай фигура симплекстік деп аталады, яғни n өлшемді кеңістікте әр аймақтың n+1 төбесі болады. Симплекстік политоптың қосарлысы қарапайым деп аталады. Сонымен қатар, политоптардың (полиэдрлердің) кеңінен зерттелген класы – негізгі құрылыс бөлігі n өлшемді куб болатын кубтық полиэдрлер.

Абстрактілі көпбұрыштар

Абстрактілі политоп – элементтердің ішінара реттелген жиынтығы (посет), олардың ішінара реттілігі белгілі бір оқиғалар (қосылыс) және дәрежелік ережелерге бағынады. Жиынтықтың элементтері политоптың төбелері, қабырғалары, жақтары және т.б. сәйкес келеді: төбелер 0-дәрежелі, қабырғалар 1-дәрежелі, және т.б. Геометриялық элементтердің өлшемділігіне сәйкес ішінара реттелген дәрежелік. Жиын теориясы талап ететін бос жиынның дәрежесі −1-ге тең және кейде бос политопқа сәйкес келеді. Абстрактілі полиэдр – келесі дәрежелікке ие абстрактілі политоп:
3-дәрежелі: Максималды элемент, кейде денемен теңестіріледі.
2-дәрежелі: Көпбұрышты жақтар.
1-дәрежелі: Қабырғалар.
0-дәрежелі: Төбелер.
−1-дәрежелі: Бос жиын, кейде кез келген геометриялық полиэдрдің нақты кеңістіктегі «реализациясы» ретінде қарастырылады, бұл жоғарыда сипатталған абстрактілі жиын.

Гректерден бұрын

Полиэдрлер текшелер мен кубоидтар сияқты ерте архитектуралық формаларда кездесті, ал ең ерте төрт жақты Мысыр пирамидалары б.з.д. 27 ғасырда салынған. Шамамен б.з.д. 1800–1650 жылдарға жатқан Мәскеу математикалық папирусы полиэдрлер мен олардың көлемдерін зерттеген алғашқы жазбаша еңбектерді қамтиды (әсіресе, қиық пирамиданың көлемі). Сонымен қатар, шамамен Мәскеу папирусымен бірдей кезеңде болған Ежелгі Вавилон империясының математикасы кубоидтардың (және полиэдр емес цилиндрлердің) көлемдерін есептеумен қатар, белгілі бір көлемге жету үшін қажетті пішіннің биіктігін анықтауды да қамтыды. Этрусктер гректерге қарағанда кем дегенде кейбір дұрыс полиэдрлерді ертерек білген, бұл туралы Монте-Лоффа тауынан сабын тастан жасалған этрусктің он екі қырлы полиэдрінің табылуы куәлік етеді. Оның қырларындағы әртүрлі суреттер кейбір ғалымдарға оның ойын сүйегі ретінде қолданылғанын ұсынуда.

Ежелгі Грекия

Ежелгі грек математиктері платондық қатты денелер деп аталатын дөңес тұрақты көпжақтарды ашты және зерттеді. Олардың алғашқы жазбаша сипаттамасы Платонның «Тимей» еңбегінде (б.з.д. шамамен 360 жыл) келтірілген, онда олардың төртеуі төрт элементпен, ал бесіншісі ғаламның жалпы пішінімен байланыстырылған. Осы бес көпжақтың математикалық тұрғыдан қарастырылуы Евклидтің «Элементтер» еңбегінде жазылған. Евклидтің ертедегі түсіндірушісі (мүмкін, Геминус) бұл пішіндердің Платонға жатқызылуы дұрыс емес екенін жазады: Пифагор тетраэдр, куб және додекаэдрді білген, ал Театет (б.з.д. 417 жыл шамасында) қалған екеуін – октаэдр мен икосаэдрді ашқан. Кейін Архимед зерттеуін енді оның атымен аталатын дөңес біркелкі көпжақтарға дейін кеңейтті. Оның бастапқы еңбегі жоғалып, оның тұтас материалдары Паппус арқылы бізге жеткен.

Ежелгі Қытай

Қытайда куб тәрізді және 14 қырлы, қиық октаэдр пішіндес ойыншықтардың пайда болуы Соғысқан мемлекеттер дәуіріне дейін жетеді. 236 жылы Лю Хуэй кубты оның ерекше тетраэдріне (ортосхема) және осымен байланысты қатты денелерге бөлуді сипаттады, ал осы денелердің жиынтығын инженерлік қазба жұмыстары кезінде көшірілетін топырақ көлемін есептеу үшін негіз ретінде қолданды.

Ортағасырлық ислам

Классикалық дәуір аяқталғаннан кейін ислам өркениетінің ғалымдары грек білімін одан әрі дамытуды жалғастырды (ортағасырлық исламдағы математикаға қараңыз). 9 ғасырдың ғалымы Табит ибн Құра өз зерттеулеріне көлемдерді есептеуді қосты және кубоктаэдр туралы еңбек жазды. Ал 10 ғасырда Әбул Вафа дөңес тұрақты және квазирегулярлы сфералық көпжақтарды сипаттады.

Қайта өрлеу дәуірі

Ислам ғалымдары қолдаған және дамытқан грек ойларының басқа салалары сияқты, полиэдрлерге деген батыстың қызығушылығы Италияның Ренессанс дәуірінде қайта жанданды. Суретшілер полиэдрлердің қаңқаларын жасап, перспективаны зерттеудің бір бөлігі ретінде оларды тірі көріністе бейнеледі. Ағаштан жасалған және бас киімдерді ұстап тұру үшін қолданылған тороидты полиэдрлер перспективалық сурет салуда жиі қолданылатын жаттығуға айналды және геометрия символы ретінде сол дәуірдің инкрустациялық панельдерінде көрсетілді. Пьеро делла Франческа полиэдрлердің перспективалық бейнелерін салу туралы жазды және Архимед денелерінің көптеген түрлерін қайта ашты. Леонардо да Винчи Лука Пачолидің кітабы үшін бірнеше полиэдрлердің қаңқалық үлгілерін суреттеді, ал мәтіннің көп бөлігі делла Франческадан алынған. Полиэдрлердің жазылымдары Альбрехт Дюрердің туындыларында кездеседі. Осы кезеңде жұлдыз тәрізді полиэдрлер және Платондық пішіннің басқа да күрделі түрлері зерттелді. Паоло Уччеллоның жобалауымен Венециядағы Сан-Марко базиликасының еденіндегі мәрмәр инкрустациясында жұлдызды он екі қырлы полиэдр бейнеленген. Ренессанс Италиядан тысқары тарағанда, Венцель Ямницер, Дюрер және басқа суретшілер де қиялға толы гравюраларда көбінесе жаңа, күрделі полиэдрлерді суреттеді. Сол кезде Эйлердің полиэдр формуласы, полиэдрдің төбелері, қабырғалары және жақтары арасындағы байланысты көрсететін сызықтық теңдеу, 1537 жылы Франческо Мауроликоның жарияланбаған қолжазбасында Платондық денелер үшін айтылды.

17-19 ғасырлар

Рене Декарт шамамен 1630 жылы «De solidorum elementis» атты кітабын жазды, онда платондық көпжақтар мен олардың өңделулерімен шектелмейтін, жалпы ұғым ретінде дөңес көпжақтарды зерттеді. Бұл еңбек жоғалып, 19 ғасырға дейін қайта табылмай қалды. Оның еңбегінің бірі – Декарттың толық бұрыштық кемшілік туралы теоремасы, ол Эйлердің көпжақты формуласымен тығыз байланысты. Формуланың авторы Леонхард Эйлер оны 1758 жылы дөңес көпжақтар үшін жалпылай енгізді, бірақ дәлелі дұрыс болмады. Эйлердің жұмысы (оның бұрынғы Кенигсбергтің жеті көпірінің жұмбағын шешкенімен бірге) топологияның жаңа саласының негізін қалады. Бұл саланың негізгі түсініктері, соның ішінде көпжақты формуланың жалпылаулары, 19 ғасырдың соңында Анри Пуанкаре, Энрико Бетти, Бернхард Риман және басқалармен әзірленді. 19 ғасырдың басында Луи Пуансо Кеплердің жұмысын кеңейтіп, қалған екі тұрақты жұлдызды көпжақтарды ашты. Одан кейін, Огюстен Луи Коши Пуансоның тізімі толық екенін дәлелдеді, бірақ бұл әрбір көпжақтың қабырғалары мен төбелерінің тізбегінде қайталауларға жол бермейтін айтылмаған болжамға байланысты (бұл болжам А.Ф.Л. Майстердің бұрынғы жұмысында қарастырылған, бірақ қабылданбаған). Олар Кеплер-Пуансо көпжақтары ретінде белгілі болды, ал олардың әдеттегі аттарын Артур Кейли берді. Сонымен қатар, 19 ғасырдың басында жоғары өлшемдердің ашылуы Людвиг Шлефлиді 1853 жылы жоғары өлшемді политоптар идеясына жеткізді. Бұған қоса, 19 ғасырдың соңында орыс кристаллографы Евграф Федоров параллелоэдрлердің, яғни аудармалар арқылы кеңістікті толтыратын дөңес көпжақтардың жіктелуін аяқтады.

20 ғасырлар

ХХ ғасырдағы математика Хилберт проблемаларымен басталды, оның бірі – Хилберттің үшінші проблемасы, көпбұрыштар мен олардың бөлінуіне қатысты. Оны Хилберттің шәкірті Макс Дэн жылдам шешіп, көпбұрыштардың Дэн инвариантын енгізді. Эрнст Штайнциц 1992 жылы жариялаған Штайнциц теоремасы, графтар теориясы мен комбинаторикадан полиэдрлерді зерттеуге жаңа идеялар әкеліп, дөңес полиэдрлердің графтарын сипаттады. Кеплер–Пойнсо полиэдрлерін Платондық қатты денелерден жұлдыздандыру деп аталатын әдіс арқылы құруға болады. Көптеген жұлдыздандырулар тұрақты емес. Платондық қатты денелердің жұлдыздандыруларын зерттеуге 1938 жылы Х. С. М. Коксетер және басқалар, қазір танымал «The 59 icosahedra» мақаласы арқылы үлкен серпін берді. Коксетердің талдауы геометрияға қызығушылықтың қайта жандануын көрсетті. Коксетердің өзі алғаш рет жұлдызды біркелкі полиэдрлерді санап шығарды, жазықтықтың мозаикаларын полиэдрлер ретінде қарастырды, тұрақты қисық полиэдрлерді ашты және 1952 жылы Шепард алғаш ашқан күрделі полиэдрлер теориясын дамытты, сондай-ақ геометрияның көптеген басқа салаларына маңызды үлес қосты. ХХ ғасырдың екінші жартысында Бранко Грунбаум мен Имре Лакатос математиктердің «полиэдр» терминін әр түрлі және кейде бір-біріне қайшы келетін тәсілдермен, қажеттілікке қарай анықтауға бейім екенін көрсетті. Полиэдрлер қазіргі заманғы есептеу геометриясында, компьютерлік графикада және геометриялық дизайнда жиі кездеседі, оларға полиэдр беттерін немесе шашыраңқы деректер нүктелерінен беттік торларды қайта құру, полиэдр беттеріндегі геодезиялықтар, полиэдрлік көріністердегі көріну және жарықтандыру, поликубтар және басқа да дөңес емес полиэдрлер, параллель қабырғалары бар, Штайнциц теоремасының алгоритмдік түрлері және дөңес полиэдрлер үшін полиэдрлік торлардың болуы туралы әлі шешілмеген мәселе кіреді.

Табиғатта

Тәртіпті көпбұрыштар табиғатта қалай пайда болады дегенге қатысты, қараңыз.
Табиғаттағы бұрыштас көпбұрыштар кристалдар түрінде кездеседі.

Еркін бағдарламалық қамтамасыз ету

Полиэдрлердің көптігі – Java-дағы полиэдрлердің интерактивті және тегін жинағы. 300-ден астам полиэдрдің торлары, жазық қималары, қос полиэдрлер, қиып өңдеулері және жылдызшалары қамтылған. Hyperspace Star Polytope Slicer – Explorer java апплеті, түрлі 3D көру опцияларын ұсынады. openSCAD – Бағдарламашыларға арналған тегін, платформадан тәуелсіз бағдарламалық жасақтама. Полиэдрлер – модельдеуге болатын нысандардың тек бір түрі ғана. openSCAD пайдаланушы нұсқаулығы да қолжетімді. OpenVolumeMesh – Полиэдрлік торларды өңдеуге арналған ашық кодты, платформадан тәуелсіз C++ кітапханасы. Аахендегі RWTH университетінің компьютерлік графика тобымен әзірленген. Polyhedronisme – Конвей полиэдрлік нотациясын пайдаланып полиэдр модельдерін жасауға арналған веб-құрал. Модельдерді 2D PNG суреттері түрінде немесе 3D OBJ немесе VRML2 файлдары түрінде экспорттауға болады. 3D файлдарды CAD бағдарламалық жасақтамасында ашуға болады немесе Shapeways сияқты сервистерде 3D басып шығару үшін жүктеуге болады.