Введение

3D-форма с плоскими гранями, прямыми ребрами и острыми углами.

Примеры многогранников: Правильный тетраэдр. Платоново тело: Малый звёздчатый додекаэдр. Тело Кеплера — Пуансо: Икозидодекаэдр. Архимедово тело: Великий кубикоктаэдр. Равномерный звёздный многогранник: Ромбический триаконтаэдр. Тело Катала: Тороидальный многогранник.

В геометрии многогранник (многогранники, многогранники) — это трёхмерная фигура с плоскими многоугольными гранями, прямыми ребрами и острыми углами или вершинами. Выпуклый многогранник — это многогранник, ограничивающий выпуклое множество. Любой выпуклый многогранник может быть построен как выпуклая оболочка его вершин, и для любого конечного набора точек, не лежащих в одной плоскости, выпуклая оболочка является выпуклым многогранником. Кубы и пирамиды — примеры выпуклых многогранников. Многогранник — это трёхмерный пример политопа, более общего понятия в любом числе измерений.

Количество линий

Полиэдры могут быть классифицированы и часто называются по количеству граней. Система наименований основана на классическом греческом языке и сочетает в себе префикс, указывающий количество граней, с суффиксом "эдр", означающим "основание" или "поверхность" и относящимся к граням. Например, тетраэдр – это полиэдр с четырьмя гранями, пентаэдр – полиэдр с пятью гранями, гексаэдр – полиэдр с шестью гранями и так далее. Полный список греческих числительных префиксов можно найти в столбце, посвященном греческим кардинальным числам. Названия тетраэдр, гексаэдр, октаэдр (полиэдр с восемью гранями), додекаэдр (полиэдр с двенадцатью гранями) и икосаэдр (полиэдр с двадцатью гранями) иногда используются без дополнительных уточнений для обозначения платоновых тел, а иногда – для обозначения полиэдров с данным числом граней без каких-либо предположений о симметрии.

Площадь поверхности и расстояния

Площадь поверхности многогранника — это сумма площадей его граней, для определений многогранников, для которых площадь грани определена однозначно. Геодезическое расстояние между любыми двумя точками на поверхности многогранника измеряет длину кратчайшей кривой, соединяющей эти точки и лежащей на поверхности. Согласно теореме единственности Александрова, каждый выпуклый многогранник однозначно определяется метрическим пространством геодезических расстояний на его поверхности. Однако невыпуклые многогранники могут иметь одинаковые расстояния между собой или совпадать с расстояниями некоторых выпуклых многогранников.

Инвариант растяжения

В двух измерениях теорема Бойяи — Гервиена утверждает, что любой многоугольник может быть преобразован в любой другой многоугольник той же площади путём разрезания его на конечное число многоугольных частей и их перестановки. Аналогичный вопрос для многогранников был предметом третьей проблемы Гильберта. Макс Ден решил эту проблему, показав, что, в отличие от случая в двух измерениях, существуют многогранники одинакового объёма, которые нельзя разрезать на меньшие многогранники и собрать из них друг друга. Для доказательства этого Ден открыл ещё один инвариант, связанный с многогранником, — инвариант Дена, согласно которому два многогранника могут быть расчленены друг в друга только тогда, когда они имеют одинаковый объём и одинаковый инвариант Дена. Позже Сидлер доказал, что это единственное препятствие для расчленения: любые два евклидовых многогранника с одинаковыми объёмами и инвариантами Дена могут быть разрезаны и собраны друг из друга. Инвариант Дена — это не число, а вектор в бесконечномерном векторном пространстве, определяемый длинами рёбер и двугранными углами многогранника. Другая проблема Гильберта, восемнадцатая проблема Гильберта, касается (в частности) многогранников, которые мостят пространство. Каждый такой многогранник должен иметь нулевой инвариант Дена. Инвариант Дена также связан с гибкими многогранниками теоремой о сильных мехах, которая утверждает, что инвариант Дена любого гибкого многогранника остаётся неизменным при его деформации.

Выпуклые полиэдры

Трехмерное тело является выпуклым множеством, если оно содержит каждый отрезок прямой, соединяющий любые две его точки. Выпуклый полиэдр — это полиэдр, который как тело является выпуклым множеством. Выпуклый полиэдр также можно определить как ограниченное пересечение конечного числа полупространств или как выпуклую оболочку конечного числа точек. Важными классами выпуклых полиэдров являются высокосимметричные платоновы тела, архимедовы тела и тела, двойственные им — каталонские тела, а также тела Джонсона с правильными гранями.

Регулярные полиэдры

Регулярные многогранники обладают наивысшей степенью симметрии. Всего существует девять регулярных многогранников: пять выпуклых и четыре звездчатых. Пять выпуклых многогранников были известны с древних времен и называются платоновыми телами. К ним относятся треугольная пирамида, или тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.

Существуют также четыре регулярных звездчатых многогранника, известных как многогранники Кеплера — Пуансо, названные в честь их первооткрывателей. Двойственный многогранник к регулярному многограннику также является регулярным.

Изоэдры

Изоэдр — это полиэдр с симметриями, действующими транзитивно на его гранях. Их топология может быть представлена конфигурацией граней. Все 5 платоновых тел и 13 каталонских тел являются изоэдрами, а также бесконечные семейства трапецоэдров и бипирамид. Некоторые изоэдры допускают геометрические вариации, включая вогнутые и самопересекающиеся формы.

Полиэдры с правильными лицами

Кроме правильных и однородных многогранников, существуют и другие классы, которые имеют правильные грани, но обладают меньшей общей симметрией.

Полиэдры заполняющие пространство

Полиэдр, заполняющий пространство, укладывается копиями самого себя для полного заполнения пространства. Такая плотная упаковка или заполнение пространства часто называется тесселяцией пространства или сотовой структурой. Полиэдры, заполняющие пространство, должны иметь инвариант Дена, равный нулю. Некоторые сотовые структуры состоят из нескольких видов многогранников.

Полиэдры решетчатые

Выпуклый полиэдр, в котором все вершины имеют целочисленные координаты, называется решётчатым полиэдром или интегральным полиэдром. Полином Эрхарта решётчатого полиэдра подсчитывает количество точек с целочисленными координатами, лежащих внутри масштабированной копии полиэдра, как функцию от коэффициента масштабирования. Изучение этих полиномов находится на стыке комбинаторики и коммутативной алгебры. Существует глубокая эквивалентность между решётчатыми полиэдрами и определёнными алгебраическими многообразиями, называемыми торическими многообразиями. Стэнли использовал это для доказательства уравнений Дена — Сомервилля для симплициальных политопов.

Гибкие полиэдры

Некоторые полиэдры могут изменять свою общую форму, сохраняя при этом форму граней, изменяя углы между ребрами. Полиэдр, обладающий таким свойством, называется гибким полиэдром. Согласно теореме Коши о жёсткости, гибкие полиэдры должны быть невыпуклыми. Объём гибкого полиэдра должен оставаться постоянным при его деформации; этот результат известен как теорема о мехах.

Соединения

Полиэдрическое соединение состоит из двух или более многогранников, имеющих общий центр. Симметричные соединения часто разделяют вершины с другими известными многогранниками и нередко могут быть получены посредством звездчатого усечения. Некоторые из них перечислены в списке моделей многогранников Веннингера.

Ортогональные полиэдры

Ортогональный полиэдр – это полиэдр, все грани которого пересекаются под прямым углом, а все рёбра параллельны осям декартовой системы координат. (Икосаэдр Джессена является примером полиэдра, удовлетворяющего одному, но не обоим из этих двух условий.) За исключением прямоугольных параллелепипедов, ортогональные полиэдры являются невыпуклыми. Они являются трёхмерными аналогами двумерных ортогональных многоугольников, также известных как прямоугольные многоугольники. Ортогональные полиэдры используются в вычислительной геометрии, где их ограниченная структура позволила добиться прогресса в решении задач, не решённых для произвольных полиэдров, например, развёртки поверхности полиэдра в плоскую сетку. Поликубы – это частный случай ортогональных полиэдров, которые можно разложить на одинаковые кубы и являются трёхмерными аналогами плоских полиомино.

Встроенные регулярные карты с плоскими поверхностями

Регулярные карты являются флагово-транзитивными абстрактными 2-многообразиями и изучались уже в девятнадцатом веке. Некоторые из них допускают трехмерные полиэдральные вложения, такие как представляющее квартику Кляйна.

Канонические полиэдры

Каждый выпуклый многогранник комбинаторно эквивалентен по существу единственному каноническому многограннику, многограннику, имеющему сферу, касающуюся каждой из его сторон.

Обобщения многогранников

Название "полиэдр" стало применяться к разнообразным объектам, обладающим схожими структурными свойствами с традиционными полиэдрами.

Комплексные полиэдры

Существуют объекты, называемые комплексными многогранниками, для которых базовым пространством является комплексное гильбертово пространство, а не вещественное евклидово пространство. Точные определения существуют только для правильных комплексных многогранников, чьи группы симметрии являются группами комплексных отражений. Комплексные многогранники математически более тесно связаны с конфигурациями, чем с вещественными многогранниками.

Сгибаемые многогранники

Некоторые области изучения допускают существование полиэдров с изогнутыми гранями и рёбрами. Изогнутые грани могут позволить двуугольным граням иметь положительную площадь.

Сферические многогранники

Когда поверхность сферы разделяется конечным числом больших дуг (эквивалентно, плоскостями, проходящими через центр сферы), результат называется сферическим многогранником. Многие выпуклые многогранники, обладающие некоторой степенью симметрии (например, все платоновы тела), могут быть спроецированы на поверхность концентрической сферы для получения сферического многогранника. Однако обратный процесс не всегда возможен; некоторые сферические многогранники (такие как госоэдры) не имеют аналога с плоскими гранями.

Кривые заполняющие пространство полиэдры

Если граням разрешено быть вогнутыми, а также выпуклыми, соседние грани могут соединяться без зазоров. Некоторые из этих искривленных многогранников могут плотно упаковываться, заполняя пространство. Два важных типа: пузыри в пене и пенах, например, пузыри Уэйра-Фелана. Формы, используемые в архитектуре.

Идеальные полиэдры

Выпуклые многогранники могут быть определены в трехмерном гиперболическом пространстве так же, как и в евклидовом пространстве, как выпуклые оболочки конечных множеств точек. Однако в гиперболическом пространстве также можно рассматривать идеальные точки наряду с точками, лежащими внутри пространства. Идеальный многогранник — это выпуклая оболочка конечного множества идеальных точек. Его грани — идеальные многоугольники, но его ребра определяются целыми гиперболическими линиями, а не отрезками, а его вершины (идеальные точки, являющиеся выпуклой оболочкой) не лежат внутри гиперболического пространства.

Скелеты и полиэдеры в виде графов

Забывая о структуре граней, любой многогранник порождает граф, называемый его скелетом, с соответствующими вершинами и ребрами. Такие фигуры имеют долгую историю: Леонардо да Винчи создал каркасные модели правильных многогранников, которые он нарисовал для книги Пачоли "Божественная пропорция", и подобные многогранники в виде проволочного каркаса встречаются в гравюре М.С. Эшера "Звезды". Важным результатом этого подхода является теорема Штейница, дающая чисто графотеоретическую характеристику скелетов выпуклых многогранников: она утверждает, что скелет любого выпуклого многогранника является 3-связным планарным графом, и любой 3-связный планарный граф является скелетом некоторого выпуклого многогранника. Ранняя идея абстрактных многогранников была развита в исследовании Бранко Грюнбаума, посвященном "многогранникам с пустыми гранями". Грюнбаум определил грани как циклически упорядоченные множества вершин и допустил, чтобы они были как кососимметричными, так и плоскими.

Топологические полиэдры

Топологический политоп — это топологическое пространство, заданное вместе с конкретным разложением на фигуры, топологически эквивалентные выпуклым политопам, прикреплённым друг к другу определённым образом. Такая фигура называется симплициальной, если каждая её область является симплексом, то есть в n-мерном пространстве каждая область имеет n+1 вершин. Двойственный к симплициальному политопу называется простым. Аналогично, широко изучаемым классом политопов (полиэдров) является класс кубических полиэдров, в котором базовым элементом служит n-мерный куб.

Абстрактные полиэдры

Абстрактный политоп — это частично упорядоченное множество (посет) элементов, частичный порядок которых подчиняется определенным правилам инцидентности (связности) и ранжирования. Элементы множества соответствуют вершинам, ребрам, граням и так далее политопа: вершины имеют ранг 0, ребра — ранг 1 и т. д., причем частичное упорядочение по рангу соответствует размерности геометрических элементов. Пустое множество, необходимое в теории множеств, имеет ранг −1 и иногда называется нулевым политопом. Абстрактный полиэдр — это абстрактный политоп, имеющий следующее ранжирование:
ранг 3: Максимальный элемент, иногда отождествляемый с телом.
ранг 2: Многоугольные грани.
ранг 1: Ребра.
ранг 0: Вершины.
ранг −1: Пустое множество, иногда отождествляемое с…

Любой геометрический многогранник тогда называется «реализацией» абстрактного посета, описанного выше, в реальном пространстве.

До греков

Полиэдры появились в ранних архитектурных формах, таких как кубы и параллелепипеды, причём самые ранние четырёхсторонние египетские пирамиды датируются 27 веком до нашей эры. Московский математический папирус, созданный примерно в 1800–1650 годах до нашей эры, содержит раннее письменное исследование полиэдров и их объёмов (в частности, объёма усечённой пирамиды). Математические знания Древней Вавилонской империи, примерно того же периода, что и Московский папирус, также включали вычисления объёмов параллелепипедов (и не являющихся полиэдрами цилиндров), а также вычисление высоты фигуры, необходимой для получения заданного объёма. Этруски опередили греков в понимании по крайней мере некоторых правильных многогранников, что подтверждается находкой этрусского додекаэдра из стеатита на горе Монте-Лоффа. Его грани были украшены различными узорами, что, по мнению некоторых исследователей, позволяет предположить, что он мог использоваться как игральная кость.

Древняя Греция

Древнегреческие математики открыли и изучили выпуклые правильные многогранники, которые впоследствии стали известны как платоновы тела. Первое письменное описание этих фигур содержится в «Тимее» Платона (около 360 г. до н.э.), где четыре из них сопоставляются с четырьмя элементами, а пятый – с общей формой Вселенной. Вскоре после этого, в «Началах» Евклида, было представлено более математическое описание этих пяти многогранников. Ранний комментатор Евклида (возможно, Геминус) утверждает, что приписывание этих фигур Платону ошибочно: Пифагор был знаком с тетраэдром, кубом и додекаэдром, а Феатет (около 417 г. до н.э.) открыл остальные два – октаэдр и икосаэдр. Позднее Архимед расширил свои исследования на выпуклые однородные многогранники, которые теперь носят его имя. Его оригинальные работы не сохранились, и сведения о них дошли до нас благодаря Паппусу.

Древний Китай

Как кубические кости, так и 14-гранные кости в форме усечённого октаэдра, найденные в Китае, датируются периодом Сражающихся царств. К 236 году нашей эры Лю Хуэй описывал разбиение куба на его характерный тетраэдр (ортосхему) и связанные с ним тела, используя комбинации этих тел в качестве основы для вычисления объемов земляных работ при инженерных изысканиях.

Средневековый ислам

После окончания классической эпохи ученые исламской цивилизации продолжали развивать греческие знания (см. Математика в средневековом исламе). Ученый IX века Табит ибн Курра включил вычисление объемов в свои исследования и написал труд о кубоктаэдри. В X веке Абу'л Вафа описал выпуклые правильные и квазиправильные сферические многогранники.

Ренессанс

Как и в других областях греческой мысли, поддерживаемых и развитых исламскими учеными, западный интерес к многогранникам возродился в эпоху итальянского Возрождения. Художники создавали каркасные модели многогранников, изображая их с натуры в рамках своих исследований перспективы. Тороидальные многогранники, изготавливаемые из дерева и использовавшиеся для поддержки головных уборов, стали распространенным упражнением в перспективном рисовании и изображались на панелях инкрустации того времени как символ геометрии. Пьеро делла Франческа писал о построении перспективных изображений многогранников и заново открыл многие архимедовы тела. Леонардо да Винчи проиллюстрировал каркасные модели нескольких многогранников для книги Луки Пачоли, текст которой во многом был заимствован у делла Франчески. Развертки многогранников появляются в работах Альбрехта Дюрера. В ряде работ того времени исследуются звездные многогранники и другие вариации основных платонических форм. Мраморная инкрустация на полу базилики Святого Марка в Венеции, разработанная Паоло Уччелло, изображает звездчатый додекаэдр. С распространением Возрождения за пределы Италии, более поздние художники, такие как Венцель Ямницер, Дюрер и другие, также изображали многогранники возрастающей сложности, многие из которых были новыми, в фантастических гравюрах. В тот же период формула Эйлера для многогранников, линейное уравнение, связывающее число вершин, ребер и граней многогранника, была сформулирована для платонических тел в 1537 году в неопубликованной рукописи Франческо Мауролико.

XVII-XIX века

Рене Декарт около 1630 года написал свою книгу De solidorum elementis, изучающую выпуклые многогранники как общее понятие, не ограничивающееся платоновыми телами и их вариациями. Работа была утеряна и вновь обнаружена лишь в XIX веке. Одним из его вкладов стала теорема Декарта о суммарном угловом дефекте, тесно связанная с полиэдрической формулой Эйлера. Леонард Эйлер, в честь которого названа эта формула, ввёл её в 1758 году для выпуклых многогранников в более общем виде, хотя и с неверным доказательством. Работа Эйлера (вместе с его более ранним решением задачи о семи мостах Кёнигсберга) стала основой нового направления – топологии. Ключевые концепции этой области, включая обобщения полиэдрической формулы, были разработаны в конце XIX века Анри Пуанкаре, Энрико Бетти, Бернхардом Риманом и другими. В начале XIX века Луи Пуансо расширил работы Кеплера и открыл два оставшихся правильных звездных многогранника. Вскоре после этого Огюстен Луи Коши доказал полноту списка Пуансо, опираясь на неявное предположение о том, что последовательность вершин и рёбер каждой многоугольной грани не должна содержать повторений (предположение, которое рассматривалось, но было отвергнуто в более ранних работах А. Ф. Л. Майстера). Они стали известны как многогранники Кеплера — Пуансо, а их общепринятые названия дал Артур Кейли. Тем временем, открытие многомерного пространства в начале XIX века привело Людвига Шляфли к идее многомерных политопов к 1853 году. Кроме того, в конце XIX века русский кристалограф Евграф Фёдоров завершил классификацию параллелоэдров – выпуклых многогранников, которые заполняют пространство посредством параллельных переносов.

XX-XXI века

Математика в 20 веке началась с проблем Гильберта, одна из которых, третья проблема Гильберта, касалась многогранников и их разбиений. Она была быстро решена учеником Гильберта Максом Деном, который ввел инвариант Дена для многогранников. Теорема Штейница, опубликованная Эрнстом Штейницем в 1992 году, характеризует графы выпуклых многогранников, привнося современные идеи из теории графов и комбинаторики в изучение многогранников. Полиэдры Кеплера — Пуансо можно построить из платоновых тел посредством процесса, называемого звездчатым усечением. Большинство звездчатых усечений не являются правильными. Изучение звездчатых усечений платоновых тел получило значительный импульс благодаря работам Х. С. М. Коксетера и других в 1938 году, в частности, знаменитой статье «The 59 icosahedra». Анализ Коксетера ознаменовал возрождение интереса к геометрии. Сам Коксетер впервые перечислил звездные однородные многогранники, рассматривал мощения плоскости как многогранники, открыл правильные скошенные многогранники и разработал теорию комплексных многогранников, впервые обнаруженную Шепардом в 1952 году, а также внес фундаментальный вклад во многие другие области геометрии. Во второй половине двадцатого века Бранко Грюнбаум и Имре Лакатос отметили тенденцию среди математиков определять «многогранник» различными и иногда несовместимыми способами, в зависимости от текущих потребностей. Полиэдры часто встречаются в современной вычислительной геометрии, компьютерной графике и геометрическом дизайне, в таких областях, как реконструкция полиэдрических поверхностей или поверхностных сеток по рассеянным точкам данных, геодезические на полиэдрических поверхностях, видимость и освещение в полиэдрических сценах, поликубы и другие невыпуклые многогранники с параллельными сторонами, алгоритмические варианты теоремы Штейница и до сих пор не решенная проблема существования разверток для выпуклых многогранников.

В природе

Для природных проявлений правильных многогранников см. Неправильные многогранники встречаются в природе в виде кристаллов.

Свободные программы

Множество полиэдров – Интерактивная и бесплатная коллекция полиэдров, реализованная на Java. Функциональность включает в себя развёртки, плоские сечения, двойственные полиэдры, усечения и звездообразные формы для более чем 300 полиэдров. Hyperspace Star Polytope Slicer – Java-апплет Explorer с различными опциями 3D-просмотра. openSCAD – Бесплатное кроссплатформенное программное обеспечение для программистов. Полиэдры – лишь один из типов моделей, которые можно создавать. Также доступно руководство пользователя openSCAD. OpenVolumeMesh – Кроссплатформенная библиотека C++ с открытым исходным кодом для работы с полиэдрическими сетями. Разработана группой компьютерной графики RWTH Aachen University (Аахенский технический университет). Polyhedronisme – Веб-инструмент для генерации моделей полиэдров с использованием нотации полиэдров Конвея. Модели можно экспортировать в виде 2D PNG-изображений или 3D-файлов форматов OBJ и VRML2. 3D-файлы можно открыть в CAD-программах или загрузить для 3D-печати на сервисах, таких как Shapeways.