Кіріспе
Екінші дәрежелі полиномдық функция
Квадраттық функцияның нөлдері
Математикада, квадраттық полином – бір немесе бірнеше айнымалыдағы екінші дәрежелі полином. Квадраттық функция – бұл квадраттық полином арқылы анықталатын полиномдық функция. 20 ғасырға дейін полином мен оған байланысты полиномдық функция арасындағы айырмашылық нақты болмады; сондықтан "квадраттық полином" және "квадраттық функция" терминдері шамалы өзгешеліктерді білдірді. Бұл әлі де көптеген бастауыш курстарда қолданылады, онда екі термин де жиі "квадраттық" деп қысқартылады. Мысалы, бір өзгермелі (бір айнымалы) квадраттық функцияның түрі:
the zeros of a quadratic function
In mathematics, a quadratic polynomial is a polynomial of degree two in one or more variables. A quadratic function is the polynomial function defined by a quadratic polynomial. Before the 20th century, the distinction was unclear between a polynomial and its associated polynomial function; so "quadratic polynomial" and "quadratic function" were almost synonymous. This is still the case in many elementary courses, where both terms are often abbreviated as "quadratic". For example, a univariate (single variable) quadratic function has the form
мұнда x – оның айнымалысы. Бір өзгермелі квадраттық функцияның графигі – парабола, яғни симметрия осі y осіне параллель болатын қисық. Егер квадраттық функция нөлге теңестірілсе, нәтижесі квадраттық теңдеу болады. Квадраттық теңдеудің шешімдері – сәйкес квадраттық функцияның нөлдері. Екі айнымалы x және y жағдайында формасы былай болады:
мұнда a, b, c коэффициенттерінің кем дегенде біреуі нөлге тең болмайды. Бұл квадраттық функцияның нөлдері, жалпы жағдайда (яғни, коэффициенттердің белгілі бір өрнегі нөлге тең болмаса), конус қимасы (шеңбер немесе басқа эллипс, парабола немесе гипербола) болады. Үш айнымалы x, y және z-дағы квадраттық функция тек x^(2), y^(2), z^(2), xy, xz, yz, x, y, z және тұрақтыдан тұрады:
мұнда екінші дәрежелі терминдердің a, b, c, d, e, f коэффициенттерінің кем дегенде біреуі нөлге тең болмайды. Квадраттық функцияда кез келген саны айнымалылар болуы мүмкін. Оның нөлдерінің жиыны төртбұрышты құрайды, ол үш айнымалы жағдайында бет, ал жалпы жағдайда гипербет болып табылады.
Этимология
Квадраттық сөзі латын тіліндегі quadrātum ("төртбұрыш") деген сөзден шыққан. x² сияқты екінші дәрежеге көтерілген өрнек алгебрада квадрат деп аталады, себебі ол x қабырғасы бар төртбұрыштың ауданына тең.
Коэффициенттер
Квадраттық функцияның коэффициенттері көбінесе нақты немесе кешенді сандар ретінде алынады, бірақ оларды кез келген сақинада да алуға болады, онда домен және кодомен осы сақина болады (полиномды бағалауға қараңыз).
Степені
"Квадраттық полиномиал" терминін қолданғанда авторлар кейде "дәл 2 дәрежелі", ал кейде "2 дәрежеден аспайтын" дегенді білдіреді. Дәрежесі 2-ден төмен болса, онда бұл "дегенеративті жағдай" деп аталуы мүмкін. Әдетте, контекст қайсысы екенін анықтап береді. Кейде "рет" сөзі "дәреже" мағынасында қолданылады, мысалы, екінші реттік көпмүше. Бірақ, "полиномиалдың дәрежесі" полиномиалдың нөлдік емес мүшесінің ең жоғары дәрежесін көрсететін болса, "рет" әдетте қуат қатарының нөлдік емес мүшесінің ең төменгі дәрежесін білдіреді.
Өзгергіштер
Квадраттық полином бір айнымалы x-ті (бірөлшекті жағдай) немесе x, y, z сияқты бірнеше айнымалыны (көпөлшекті жағдай) қамтуы мүмкін.
Бір айнымалы квадраттық функцияның квадрат түбірі
Бір өзгермелі квадраттық функцияның квадрат түбірі төрт коникалық қиманың біреуін тудырады, көбінесе эллипс немесе гипербола болады. Егер теңдеу гиперболаны сипаттайтын болса, оның екі жағын квадраттау арқылы көруге болады. Гипербола осьтерінің бағыттары тиісті параболаның ең төмен нүктесінің ординатасымен анықталады. Егер ординатасы теріс болса, гиперболаның үлкен осі (оның төбелері арқылы) көлденең болады, ал егер ординатасы оң болса, гиперболаның үлкен осі тік болады. Егер теңдеу шеңберді, басқа эллипсті немесе ештеңені де сипаттамаса. Параболаның ең жоғарғы нүктесінің ординатасы оң болса, оның квадрат түбірі эллипсті сипаттайды, ал егер ординатасы теріс болса, онда ол нүктелердің бос жиынын сипаттайды.
is positive, then its square root describes an ellipse, but if the ordinate is negative then it describes an empty locus of points.
Ең төменгі/ең жоғары
Егер функцияның максимумы немесе минимумы болмаса, оның графигі гиперболалық параболоидты құрайды. Егер функцияның A > 0 және B > 0 болса, ең төменгі мәні бар, ал A < 0 және B < 0 болса, ең жоғары мәні бар, онда оның графигі эллипстік параболоидты құрайды. Бұл жағдайда минимум немесе максимум мына жерде пайда болады: Егер функцияның максимумы немесе минимумы болмаса, оның графигі параболалық цилиндрді құрайды. Егер функция максимумға/минимумға жетер болса, ол тура сызықта орналасады – A>0 болса минимум, ал A<0 болса максимум, онда оның графигі параболалық цилиндрді құрайды.
If and the function has no maximum or minimum; its graph forms a parabolic cylinder. If and the function achieves the maximum/minimum at a line—a minimum if A>0 and a maximum if A<0; its graph forms a parabolic cylinder.