Введение
Многочленная функция второй степени, нули квадратной функции. В математике, квадратный многочлен — это многочлен второй степени в одной или нескольких переменных. Квадратная функция — это функция, определяемая квадратным многочленом. До XX века различие между многочленом и соответствующей ему функцией было нечетким, поэтому термины "квадратный многочлен" и "квадратная функция" были почти синонимами. Это по-прежнему справедливо для многих вводных курсов, где оба термина часто сокращаются до "квадратичной функции". Например, унивариатная (однопеременная) квадратичная функция имеет вид, где x — её переменная. График унивариатной квадратичной функции представляет собой параболу — кривую с осью симметрии, параллельной оси y. Если квадратичную функцию приравнять к нулю, получится квадратичное уравнение. Решения квадратичного уравнения являются нулями соответствующей квадратичной функции. Двухмерный случай в терминах переменных x и y имеет вид, при этом хотя бы один из коэффициентов a, b, c не равен нулю. Нули этой квадратичной функции, как правило (то есть, если определенное выражение коэффициентов не равно нулю), представляют собой коническое сечение (окружность или другой эллипс, параболу или гиперболу). Квадратичная функция в трех переменных x, y и z содержит исключительно члены x², y², z², xy, xz, yz, x, y, z и константу: при этом хотя бы один из коэффициентов a, b, c, d, e, f членов второй степени не равен нулю. Квадратичная функция может иметь произвольно большое количество переменных. Множество её нулей образует квадрику, которая является поверхностью в случае трех переменных и гиперповерхностью в общем случае.
the zeros of a quadratic function
In mathematics, a quadratic polynomial is a polynomial of degree two in one or more variables. A quadratic function is the polynomial function defined by a quadratic polynomial. Before the 20th century, the distinction was unclear between a polynomial and its associated polynomial function; so "quadratic polynomial" and "quadratic function" were almost synonymous. This is still the case in many elementary courses, where both terms are often abbreviated as "quadratic". For example, a univariate (single variable) quadratic function has the form
where x is its variable. The graph of a univariate quadratic function is a parabola, a curve that has an axis of symmetry parallel to the y axis. If a quadratic function is equated with zero, then the result is a quadratic equation. The solutions of a quadratic equation are the zeros of the corresponding quadratic function. The bivariate case in terms of variables x and y has the form
with at least one of a, b, c not equal to zero. The zeros of this quadratic function is, in general (that is, if a certain expression of the coefficients is not equal to zero), a conic section (a circle or other ellipse, a parabola, or a hyperbola). A quadratic function in three variables x, y, and z contains exclusively terms x^(2), y^(2), z^(2), xy, xz, yz, x, y, z, and a constant:
where at least one of the coefficients a, b, c, d, e, f of the second degree terms is not zero. A quadratic function can have an arbitrarily large number of variables. The set of its zero form a quadric, which is a surface in the case of three variables and a hypersurface in general case.
Этимология
Прилагательное "квадратичный" происходит от латинского слова quadrātum ("квадрат"). Выражение, возведенное во вторую степень, например x^(2), в алгебре называется квадратом, поскольку оно представляет собой площадь квадрата со стороной x.
Коэффициенты
Коэффициенты квадратичной функции часто выбирают действительными или комплексными числами, но их можно выбирать из любого кольца, в этом случае область определения и область значений являются этим кольцом (см. вычисление значения многочлена).
Степень
При использовании термина "квадратичный полином" авторы иногда подразумевают "имеющий степень ровно 2", а иногда "имеющий степень не выше 2". Если степень меньше 2, это может называться "вырожденным случаем". Обычно контекст позволяет понять, что именно имеется в виду. Иногда слово "порядок" используется в значении "степень", например, полином второго порядка. Однако, когда речь идет о "степени многочлена" как о наибольшей степени ненулевого члена многочлена, чаще всего под "порядком" понимают наименьшую степень ненулевого члена степенного ряда.
Переменные
Квадратичный полином может содержать одну переменную x (унивариантный случай) или несколько переменных, таких как x, y и z (мультивариантный случай).
Корень квадратный одномерной квадратной функции
Квадратный корень от одночленной квадратной функции порождает одно из четырех конических сечений, чаще всего либо эллипс, либо гиперболу. Если , то уравнение описывает гиперболу, что можно увидеть, возведя обе части в квадрат. Направления осей гиперболы определяются ординатой минимальной точки соответствующей параболы . Если ордината отрицательна, то большая ось гиперболы (проходящая через её вершины) горизонтальна, а если ордината положительна, то большая ось гиперболы вертикальна. Если , то уравнение описывает либо окружность, либо другой эллипс, либо вообще ничего. Если ордината максимальной точки соответствующей параболы положительна, то её квадратный корень описывает эллипс, но если ордината отрицательна, то он описывает пустое множество точек.
is positive, then its square root describes an ellipse, but if the ordinate is negative then it describes an empty locus of points.
Минимальный/максимальный
Если функция не имеет максимума или минимума, её график образует гиперболический параболоид. Если функция имеет минимум, если A > 0 и B > 0, и максимум, если A < 0 и B < 0, её график образует эллиптический параболоид. В этом случае минимум или максимум достигается в точке, где: Если и функция не имеет максимума или минимума, её график образует параболический цилиндр. Если и функция достигает максимума или минимума на прямой – минимум, если A > 0, и максимум, если A < 0 – её график образует параболический цилиндр.
If and the function has no maximum or minimum; its graph forms a parabolic cylinder. If and the function achieves the maximum/minimum at a line—a minimum if A>0 and a maximum if A<0; its graph forms a parabolic cylinder.