Кіріспе
Тәжірибеде белгілі бір нәтиже пайда болуының ықтималдығын сипаттайтын математикалық функция. Ықтималдықтар теориясы мен статистикада ықтималдық таралымы – бұл тәжірибедегі әртүрлі мүмкін нәтижелердің пайда болу ықтималдығын көрсететін математикалық функция. Ол кездейсоқ құбылыстың үлгі кеңістігі және оқиғалардың ықтималдығы (үлгі кеңістігінің ішкі жиындары) тұрғысынан математикалық сипаттамасы болып табылады. Мысалы, егер X монета лақтыру нәтижесін білдірсе ("тәжірибе"), онда X-тің ықтималдық таралымы 1=X = сырға үшін 0.5 (1-ден 2-ге немесе 1/2) және 1=X = еске үшін 0.5 мәнін қабылдайды (монета теңдестірілген деп есептесек). Көбінесе ықтималдық таралымдары көптеген әртүрлі кездейсоқ шамалардың салыстырмалы жиілігін салыстыру үшін қолданылады. Ықтималдық таралымдарын әртүрлі тәсілдермен және дискретті немесе үздіксіз айнымалылар үшін анықтауға болады. Ерекше қасиеттері немесе маңызды қолданыстары бар таралымдарға арнайы атаулар беріледі.
In probability theory and statistics, a probability distribution is the mathematical function that gives the probabilities of occurrence of different possible outcomes for an experiment. It is a mathematical description of a random phenomenon in terms of its sample space and the probabilities of events (subsets of the sample space). For instance, if X is used to denote the outcome of a coin toss ("the experiment"), then the probability distribution of X would take the value 0.5 (1 in 2 or 1/2) for 1=X = heads, and 0.5 for 1=X = tails (assuming that the coin is fair). More commonly, probability distributions are used to compare the relative occurrence of many different random values. Probability distributions can be defined in different ways and for discrete or for continuous variables. Distributions with special properties or for especially important applications are given specific names.
Кіріспе
Ықтималдық үлестірімі – бұл оқиғалардың ықтималдықтарының математикалық сипаттамасы, үлгі кеңістігінің ішкі жиындары. Үлгі кеңістігі, көбінесе символымен белгіленеді, байқалатын кездейсоқ құбылыстың барлық мүмкін нәтижелерінің жиынтығы болып табылады; ол кез келген жиын болуы мүмкін: нақты сандар жиынтығы, сипаттамалық белгілер жиынтығы, векторлар жиынтығы, сандық емес мәндер жиынтығы және т.б. Мысалы, монета лақтырудың үлгі кеңістігі келесідей болады.
Кездейсоқ айнымалылардың нақты жағдайы үшін ықтималдық үлестірілімдерін анықтау үшін (осылайша үлгі кеңістігін сандық жиын ретінде қарастыруға болады), дискретті және абсолюттік үздіксіз кездейсоқ айнымалыларды ажырату қалыпты жағдай. Дискретті жағдайда, әрбір мүмкін нәтижеге ықтималдық тағайындайтын ықтималдық массалық функциясын анықтау жеткілікті: мысалы, әділ текше лақтырғанда, текшенің бетіндегі нүктелер санына сәйкес келетін "1" дейін "6" аралығындағы әрбір санның ықтималдығы тең болады. Оқиғаның ықтималдығы оқиғаға сәйкес келетін барлық нәтижелердің ықтималдықтарының қосындысы ретінде анықталады; мысалы, "текше жұп сан шығарады" оқиғасының ықтималдығы келесідей есептеледі.
Керісінше, кездейсоқ айнымалы үздіксіз кеңістіктен мәндер алса, конвенция бойынша әрбір жеке нәтижеге нөлдік ықтималдық беріледі. Мұндай үздіксіз кездейсоқ айнымалылар үшін тек интервалдар сияқты шексіз көп нәтижелерді қамтитын оқиғалардың ғана ықтималдығы 0-ден жоғары болады. Мысалы, супермаркеттегі шұжықтың бір кесегінің салмағын өлшеуді қарастырайық және таразының кез келген санды дәлдікпен көрсетуге мүмкіндігі бар делік. Онда оның салмағы дәл 500 г тең болуының ықтималдығы нөлге тең болуы керек, өйткені дәлдік деңгейі қаншалықты жоғары болмасын, қалған цифрларда нөлден өзге ондық цифрлар жоқ деп болжауға болмайды. Алайда, осы жағдайда, сапаны бақылау талаптарын орындау мүмкін, мысалы, "500 г" шұжықтың салмағы кемінде 98% ықтималдықпен 490 г және 510 г аралығында болуы керек. Бұл мүмкін, өйткені бұл өлшеуге негізгі жабдықтың жоғары дәлдігі қажет емес. Абсолюттік үздіксіз ықтималдық үлестірілімдерін бірнеше тәсілмен сипаттауға болады. Ықтималдық тығыздық функциясы кез келген берілген мәннің инфинитезимальды ықтималдығын сипаттайды, ал нәтиже берілген интервалда болуының ықтималдығы сол интервал бойынша ықтималдық тығыздық функциясын интегралдау арқылы есептелуі мүмкін.
Жалпы ықтималдық анықтамасы
Ықтималдық үлестірілімін әр түрлі формада сипаттауға болады, мысалы, ықтималдық массалық функциясы немесе жинақталған үлестіру функциясы арқылы. Абсолютті үздіксіз және дискретті айнымалыларға қатысты ең жалпы сипаттама – ықтималдық функциясы арқылы, оның кіріс кеңістігі σ-алгебрасы болып табылады және шығыс ретінде нақты сан түрінде ықтималдық береді, атап айтқанда, 0 мен 1 арасындағы сан. Ықтималдық функциясы аргумент ретінде үлгі кеңістігінің ішкі жиындықтарын қабылдайды, мысалы, монета лақтыру мысалында, функция P(сырғақ) = 0.5 және P(құйрық) = 0.5 деп анықталған. Дегенмен, үлгі кеңістігін сандар жиынтығына (мысалы, ℝ) түрлендіретін кездейсоқ айнымалылардың кеңінен қолданылуына байланысты, аргументі осы жиынтықтардың (сандар жиынтықтарының) ішкі жиындықтары болып табылатын ықтималдық үлестірілімдерін зерттеу жиі кездеседі, ал осы мақалада талқыланған барлық ықтималдық үлестірілімдері осы типті. Әдетте, белгілі бір айнымалының белгілі бір мәнінің белгілі бір оқиғаға тиесілі болу ықтималдығы деп белгіленеді. Ықтималдық үлестірілімдері әдетте екі классқа жатады. Мүмкін нәтижелер жиынтығы дискретті болғанда (мысалы, монета лақтыру, ойыншық сүйекті лақтыру) және ықтималдықтар нәтижелердің ықтималдықтарының дискретті тізімімен кодталғанда дискретті ықтималдық үлестірілімі қолданылады; мұндай жағдайда дискретті ықтималдық үлестірілімі ықтималдық массалық функциясы деп аталады. Екінші жағынан, абсолютті үздіксіз ықтималдық үлестірілімдері ықтимал нәтижелер жиынтығы үздіксіз диапазонға (мысалы, нақты сандар) жататын жағдайларға қолданылады, мысалы, белгілі бір күнінің температурасы. Абсолютті үздіксіз жағдайда ықтималдықтар ықтималдық тығыздық функциясы арқылы сипатталады, ал ықтималдық үлестірілімі анықтамасы бойынша ықтималдық тығыздық функциясының интегралы болып табылады. Нормалды үлестірілім – бұл жиі кездесетін абсолютті үздіксіз ықтималдық үлестірілімі. Күрделі тәжірибелер, мысалы, тұрақты уақытта анықталған стохастикалық процестерді қамтитындар, жалпы ықтималдық шараларын қолдануды талап етуі мүмкін. Үлгі кеңістігі бір өлшемді (мысалы, нақты сандар, таңбалар тізімі, реттелген таңбалар немесе екілік) ықтималдық үлестірілімі бірөлшемді деп аталады, ал үлгі кеңістігі 2 немесе одан көп өлшемді векторлық кеңістігі болса, көпөлшемді деп аталады. Бірөлшемді үлестірілім бір кездейсоқ айнымалының әртүрлі мәндерді қабылдау ықтималдығын береді; көпөлшемді үлестірілім (бірлескен ықтималдық үлестірілімі) екі немесе одан көп кездейсоқ айнымалылар тізімінің әртүрлі комбинацияларын қабылдау ықтималдығын береді. Маңызды және жиі кездесетін бірөлшемді ықтималдық үлестірілімдеріне биномдық үлестірілім, гипергеометриялық үлестірілім және нормалды үлестірілім жатады. Көпөлшемді үлестірілімнің кең таралған мысалы – көпөлшемді нормалды үлестірілім. Ықтималдық функциясымен қатар, жинақталған үлестіру функциясы, ықтималдық массалық функциясы және ықтималдық тығыздық функциясы, моменттерді тудыратын функциясы және сипаттамалық функциясы да ықтималдық үлестірілімін анықтауға қызмет етеді, өйткені олар негізгі жинақталған үлестіру функциясын бірегей түрде анықтайды.
The probability function can take as argument subsets of the sample space itself, as in the coin toss example, where the function was defined so that 1=P(heads) = 0.5 and 1=P(tails) = 0.5. However, because of the widespread use of random variables, which transform the sample space into a set of numbers (e. g., , ), it is more common to study probability distributions whose argument are subsets of these particular kinds of sets (number sets), and all probability distributions discussed in this article are of this type. It is common to denote as the probability that a certain value of the variable belongs to a certain event
Probability distributions usually belong to one of two classes. A discrete probability distribution is applicable to the scenarios where the set of possible outcomes is discrete (e. g. a coin toss, a roll of a die) and the probabilities are encoded by a discrete list of the probabilities of the outcomes; in this case the discrete probability distribution is known as probability mass function. On the other hand, absolutely continuous probability distributions are applicable to scenarios where the set of possible outcomes can take on values in a continuous range (e. g. real numbers), such as the temperature on a given day. In the absolutely continuous case, probabilities are described by a probability density function, and the probability distribution is by definition the integral of the probability density function. The normal distribution is a commonly encountered absolutely continuous probability distribution. More complex experiments, such as those involving stochastic processes defined in continuous time, may demand the use of more general probability measures. A probability distribution whose sample space is one dimensional (for example real numbers, list of labels, ordered labels or binary) is called univariate, while a distribution whose sample space is a vector space of dimension 2 or more is called multivariate. A univariate distribution gives the probabilities of a single random variable taking on various different values; a multivariate distribution (a joint probability distribution) gives the probabilities of a random vector – a list of two or more random variables – taking on various combinations of values. Important and commonly encountered univariate probability distributions include the binomial distribution, the hypergeometric distribution, and the normal distribution. A commonly encountered multivariate distribution is the multivariate normal distribution. Besides the probability function, the cumulative distribution function, the probability mass function and the probability density function, the moment generating function and the characteristic function also serve to identify a probability distribution, as they uniquely determine an underlying cumulative distribution function.
Терминология
Мүмкіндік таралымдары тақырыбындағы әдебиеттерде кеңінен қолданылатын кейбір негізгі ұғымдар мен терминдер төменде келтірілген. Жинақталған тарату функциясы: кездейсоқ шаманың (тек нақты мәнді кездейсоқ шамалар үшін) дербес мәні кем немесе тең болатын ықтималдықты анықтайтын функция. Квантильдік функция: жинақталған тарату функциясының кері функциясы. Осымен ықтималдықпен кездейсоқ шама берілген мәннен аспайды.
Дискреттік ықтималдық үлестірілімдері
Дискреттік ықтималдық үлестірімі: шекті немесе санаулы шексіз көп мәндері бар көптеген кездейсоқ шамалар үшін. Ықтималдық массалық функциясы (pmf): дискретті кездейсоқ шаманың белгілі бір мәнге тең болу ықтималдығын көрсететін функция. Жиілік үлестірімі: сынамадағы әртүрлі нәтижелердің қайталану жиілігін көрсететін кесте. Салыстырмалы жиілік үлестірімі: сынамадағы нәтижелер санына (яғни, сынама көлеміне) бөлінген (қалыпқа келтірілген) жиілік үлестірімі. Категориялық үлестірім: шекті мәндер жиынымен дискретті кездейсоқ шамалар үшін.
Абсолютті үздіксіз ықтималдық үлестірілімдері
Абсолютті үздіксіз ықтималдық үлестірімі: көптеген кездейсоқ айнымалылар үшін, олардың мәндері санала алмайды. Ықтималдық тығыздық функциясы (pdf) немесе ықтималдық тығыздығы: кез келген сынамадағы (немесе нүктедегі) сынама кеңістігіндегі (кездейсоқ айнымалының алуға болатын мүмкін мәндерінің жиынтығы) мәні, кездейсоқ айнымалының мәні сол сынамаға тең болу мүмкіндігінің салыстырмалы шамасын көрсетеді.
Бір нүктелік үлестіру
Арнайы жағдай – тек бір ғана белгілі мәнді қабылдай алатын кездейсоқ айнымалының дискретті таралуы; яғни, бұл детерминистік таралу. Формальды түрде, кездейсоқ айнымалы бірнүктелі таралуға ие, егер оның бір мүмкін нәтижесі болса және барлық басқа мүмкін нәтижелердің ықтималдығы 0-ге тең болса. Оның жиынтық таралу функциясы 0-ден 1-ге тікелей секіреді.
Колмогоровтың анықтамасы
Ықтималдық теориясының өлшемдік теориялық формализациясында кездейсоқ шама — ықтималдық кеңістігінен өлшенетін кеңістікке дейінгі өлшенетін функция ретінде анықталады. Оқиғалардың түріндегі ықтималдықтары Колмогоровтың ықтималдық аксиомаларын қанағаттандыратын болса, шаманың ықтималдық үлестірімі — бұл шаманың суреттік өлшемі, ол үстіндегі ықтималдық өлшемі болып табылады және шартты қанағаттандырады.
Ықтималдық үлестірілімдерінің кейбір арнайы қолданбалары
Кэш тілдерінің модельдері және табиғи тілді өңдеуде нақты сөздер мен сөз тізбектерінің пайда болу ықтималдығын анықтау үшін қолданылатын басқа статистикалық тілдер модельдері, ықтималдық тарату арқылы жұмыс істейді. Кванттық механикада, белгілі бір нүктеде бөлшекті табу ықтималдығының тығыздығы, сол нүктедегі бөлшектің толқындық функциясының модулінің квадратына пропорционал (Бо́р ережесін қараңыз). Сондықтан, бөлшектің орналасуының ықтималдық тарату функциясы, бөлшектің орналасуы x-тің бірінші өлшемде a ≤ x ≤ b аралығында болу ықтималдығымен және үшінші өлшемде осыған ұқсас үштік интегралмен сипатталады. Бұл кванттық механиканың маңызды қағидасы. Электр қуатын зерттеудегі ықтималдық жүктеме ағыны, кіріс айнымалыларының белгісіздіктерін ықтималдық тарату ретінде түсіндіреді және электр қуатын есептеуді де ықтималдық тарату тұрғысынан жүзеге асырады. Тропикалық дауылдар, нөсер жаңбырлар, оқиғалар арасындағы уақыт сияқты бұрынғы жиілік таратуларға негізделген табиғи құбылыстардың пайда болуын болжау.