Кіріспе

Көптамалықты ерекшелендіруге келмейтін көптамалар

факторланбайтын көптамалар

Математикада, ирредуктивті көптама – бұл, шамамен айтқанда, екі тұрақты емес көптаманың көбейтіндісіне жіктелмейтін көптама. Ирредуктивтілік қасиеті ықтимал факторлар үшін қабылданған коэффициенттердің табиғатына, яғни көптаманың коэффициенттері мен оның ықтимал факторлары жататын сақинаға байланысты. Мысалы, x^(2) − 2 көптамасы – бүтін коэффициенттері бар көптама, бірақ, әрбір бүтін сан нақты сан да болғандықтан, ол нақты коэффициенттері бар көптама да болып табылады. Егер ол бүтін коэффициенттері бар көптама ретінде қарастырылса, ол ирредуктивті, бірақ нақты коэффициенттері бар көптама ретінде қарастырылса, жіктеледі. Сондықтан, x^(2) − 2 көптамасы бүтін сандар бойынша ирредуктивті, бірақ нақты сандар бойынша емес. Көптамалық ирредуктивтілікті интегралды домендегі коэффициенттері бар көптамалар үшін қарастыруға болады, және екі жалпы анықтама бар. Көбінесе, R интегралды домендегі көптама, егер ол R-дегі коэффициенттері бар және R-де бірлік емес екі көптаманың көбейтіндісі болмаса, ирредуктивті деп айтылады. Бұл анықтама бойынша, ирредуктивті көптама R-дегі көптама сақиналарындағы ирредуктивті элемент болып табылады. Егер R өріс болса, ирредуктивтіліктің екі анықтамасы да тең. Екінші анықтама бойынша, көптама егер оны бірдей домендегі коэффициенттері бар, екеуінің де оң дәрежесі бар көптамаларға жіктеуге болмаса, ирредуктивті болады. Сондай-ақ, егер интегралды доменнің бөлшектер өрісі бойынша жіктелмесе, онда көптама ирредуктивті. Мысалы, көптама екінші анықтама бойынша ирредуктивті, ал бірінші анықтама бойынша емес. Екінші жағынан, екі анықтама бойынша ирредуктивті, ал ол коэффициенттері бар кез келген өрісте ирредуктивті, ал көптама жіктеледі.

Коэффициенттері бар кез келген өрісті қамтитын өрісте ирредуктивті көптама толық ирредуктивті болады. Алгебраның негізгі теоремасы бойынша, бір айнымалы көптама толық ирредуктивті болады, егер және тек оның дәрежесі бірге тең болса. Екінші жағынан, бірнеше айнымалысы бар көптамалардың кез келген дәрежеде толық ирредуктивті мысалдары бар, мысалы, кез келген оң бүтін n үшін.

Ирредуктивті емес көптама кейде жіктелетін көптама деп аталады. Ирредуктивті көптамалар көптамалық жіктеу және алгебралық өрістің кеңейтулерін зерттеуде табиғи түрде пайда болады. Ирредуктивті көптамаларды жай сандармен салыстыру пайдалы: жай сандар (бірдей шамадағы теріс сандармен бірге) – ирредуктивті бүтін сандар. Олар "ирредуктивтілік" түсінігінің көптеген жалпы қасиеттерін көрсетеді, олар ирредуктивті көптамаларға да бірдей қолданылады, мысалы, жай немесе ирредуктивті факторларға бірегей жіктеу. Коэффициент сақинасы өріс немесе басқа бірегей жіктеу домені болған кезде, ирредуктивті көптама жай көптама деп те аталады, өйткені ол жай идеалды тудырады.

Анықтама

Егер F өріс болса, тұрақты емес көпмүше F өрісінде толыққанды емес деп аталады, егер оның коэффициенттері F-ке жатса және оны F коэффициенттері бар екі тұрақты емес көпмүшенің көбейтіндісіне жіктеу мүмкін болмаса.

Бүтін сандық коэффициенттері бар немесе, жалпы алғанда, бірегей жіктеу доменіндегі коэффициенттері бар көпмүше кейде толыққанды емес (немесе R бойынша толыққанды емес) деп айтылады, егер ол көпмүше сақинасының толыққанды емес мүшесі болса, яғни ол кері емес, нөл емес және R коэффициенттері бар екі кері емес көпмүшенің көбейтіндісіне жіктеу мүмкін болмаса. Бұл анықтама өрістегі коэффициенттер үшін берілген анықтаманы кеңейтеді, себебі өрістегі тұрақты емес көпмүшелер – бұл кері емес және нөл емес көпмүшелердің өзі. Тағы бір жиі қолданылатын анықтама бар: көпмүше R-дің бөлшектер өрісінде (R бүтін сандар болған жағдайда – рационал сандар өрісінде) толыққанды емес болса, онда ол R бойынша толыққанды емес деп есептеледі. Бұл мақалада екінші анықтама қолданылмайды. Екі анықтаманың эквиваленттілігі R-ге байланысты.

Нақтылар

Нақты сандар өрісінде, түбірленбейтін бір айнымалы полиномның дәрежесі бір немесе екі болады. Дәлірек айтқанда, түбірленбейтін полиномдар – бірінші дәрежелі полиномдар және теріс дискриминанты бар квадраттық полиномдар. Осыдан әрбір тұрақты емес бір айнымалы полиномды ең көп дегенде екінші дәрежелі полиномдардың көбейтіндісі түрінде жіктеуге болады. Мысалы, нақты сандарда түрінде жіктеледі және оны одан әрі жіктеу мүмкін емес, себебі екі фактордың да теріс дискриминанты бар:

Бірегей факторлау қасиеттері

F өрісіндегі кез келген полиномиалды нөлдік емес тұрақты және F үстінен азайтылмайтын полиномиалдардың шекті санының көбейтіндісіне жіктеуге болады. Бұл жіктелу факторлардың ретіне және факторларды 1-ге тең өнімі бар нөлдік емес тұрақтыларға көбейтуге дейін бірегей. Бірегей факторлау доменінде де осы теорема дұрыс, бірақ бастапқы полиномиал түсінігін қолдану арқылы оны дәлірек формулиреуге болады. Бастапқы полиномиал – бірегей факторлау доменіндегі полиномиал, онда 1 – оның коэффициенттерінің ең үлкен ортақ бөлгіші. F – бірегей факторлау домені болсын. F үстіндегі тұрақты емес азайтылмайтын полиномиал бастапқы болады. F үстіндегі бастапқы полиномиал, F-тің бөлшектері өрісінде азайтылмайтын болса және тек сонда ғана F үстінде азайтылмайтын болады. F өрісіндегі кез келген полиномиалды нөлдік емес тұрақты және тұрақты емес азайтылмайтын бастапқы полиномиалдардың шекті санының көбейтіндісіне жіктеуге болады. Нөлдік емес тұрақтының өзі F-тің бірлігінің көбейтіндісі және F-тің шекті санының азайтылмайтын элементтеріне жіктелуі мүмкін. Екі жіктелу де факторлардың ретіне және факторларды F-тің бірлігімен көбейтуге дейін бірегей. Осы теорема бірегей факторлау доменіндегі азайтылмайтын полиномиалдың анықтамасы көбінесе полиномиалдың тұрақты емес екенін қарастырады дегенге негіз болады. Бүтін сандар мен рационалды сандарға полиномиалдарды жіктеу үшін қазіргі уақытта қолданылатын барлық алгоритмдер осы нәтижені пайдаланады (Полиномиалдарды жіктеу қараңыз).

Алгоритмдер

Көптамалардың бірегей факторлау қасиеті, берілген көптаманың факторлануын әрқашан есептеуге болады дегенді білдірмейді. Тіпті көптаманың азайтылмайтындығы да әрқашан есептеу арқылы дәлелденбеуі мүмкін: кез келген көптаманың азайтылмайтындығын анықтау үшін алгоритмнің жоқ болуы мүмкін болатын өрістер бар. Көптамаларды факторлау және азайтылмайтындығын анықтау алгоритмдері белгілі және компьютерлік алгебра жүйелерінде бүтін сандар, рационал сандар, шекті өрістер және осы өрістердің шекті кеңейтімдері үшін іске асырылған. Бұл алгоритмдердің бәрі шекті өрістердегі көптамаларды факторлау алгоритмдерін қолданады.

Интегралдық домен бойынша

Егер R интегралды домен болса, R-дың нөл емес және бірлік те емес элементі f, егер f = gh болатын бірлік емес g және h элементтері болмаса, түйінделмейтін элемент деп аталады. Кез келген жай элемент түйінделмейтін екенін көрсетуге болады; керісі шарт әдетте дұрыс емес, бірақ бірегей факторлау домендерінде орындалады. F өрісі (немесе кез келген бірегей факторлау домені) үстіндегі F[x] полиномдық сақинасы қайтадан бірегей факторлау домені болып табылады. Индуктивті түрде, бұл n белгісізі бар полиномдық сақина (R сақинасы үстінде) R үшін де осы шарт орындалса, бірегей факторлау домені болады дегенді білдіреді.