Введение
Полином без нетривиальной факторизации нефакторизуемые полиномы
non factorizable polynomials
In mathematics, an irreducible polynomial is, roughly speaking, a polynomial that cannot be factored into the product of two non constant polynomials. The property of irreducibility depends on the nature of the coefficients that are accepted for the possible factors, that is, the ring to which the coefficients of the polynomial and its possible factors are supposed to belong. For example, the polynomial x^(2) − 2 is a polynomial with integer coefficients, but, as every integer is also a real number, it is also a polynomial with real coefficients. It is irreducible if it is considered as a polynomial with integer coefficients, but it factors as if it is considered as a polynomial with real coefficients. One says that the polynomial x^(2) − 2 is irreducible over the integers but not over the reals. Polynomial irreducibility can be considered for polynomials with coefficients in an integral domain, and there are two common definitions. Most often, a polynomial over an integral domain R is said to be irreducible if it is not the product of two polynomials that have their coefficients in R, and that are not unit in R. Equivalently, for this definition, an irreducible polynomial is an irreducible element in the rings of polynomials over R. If R is a field, the two definitions of irreducibility are equivalent. For the second definition, a polynomial is irreducible if it cannot be factored into polynomials with coefficients in the same domain that both have a positive degree. Equivalently, a polynomial is irreducible if it is irreducible over the field of fractions of the integral domain. For example, the polynomial is irreducible for the second definition, and not for the first one. On the other hand, is irreducible in for the two definitions, while it is reducible in
A polynomial that is irreducible over any field containing the coefficients is absolutely irreducible. By the fundamental theorem of algebra, a univariate polynomial is absolutely irreducible if and only if its degree is one. On the other hand, with several indeterminates, there are absolutely irreducible polynomials of any degree, such as for any positive integer n.
A polynomial that is not irreducible is sometimes said to be a reducible polynomial. Irreducible polynomials appear naturally in the study of polynomial factorization and algebraic field extensions. It is helpful to compare irreducible polynomials to prime numbers: prime numbers (together with the corresponding negative numbers of equal magnitude) are the irreducible integers. They exhibit many of the general properties of the concept of "irreducibility" that equally apply to irreducible polynomials, such as the essentially unique factorization into prime or irreducible factors. When the coefficient ring is a field or other unique factorization domain, an irreducible polynomial is also called a prime polynomial, because it generates a prime ideal.
В математике неприводимый полином — это, грубо говоря, полином, который нельзя разложить на произведение двух многочленов с ненулевой степенью. Свойство неприводимости зависит от природы коэффициентов, допустимых для возможных множителей, то есть от кольца, которому принадлежат коэффициенты полинома и его возможных множителей. Например, полином x^(2) − 2 является полиномом с целыми коэффициентами, но, поскольку любое целое число также является действительным числом, он также является полиномом с действительными коэффициентами. Он неприводим, если рассматривается как полином с целыми коэффициентами, но раскладывается на множители, если рассматривается как полином с действительными коэффициентами. Говорят, что полином x^(2) − 2 неприводим над целыми числами, но не над действительными. Неприводимость полиномов может рассматриваться для полиномов с коэффициентами в целостном домене, и существует два общих определения. Чаще всего, полином над целостным доменом R называется неприводимым, если он не является произведением двух полиномов, коэффициенты которых принадлежат R и которые не являются единицами в R. Эквивалентно, для этого определения, неприводимый полином является неприводимым элементом в кольце полиномов над R. Если R является полем, то два определения неприводимости эквивалентны. Согласно второму определению, полином является неприводимым, если его нельзя разложить на полиномы с коэффициентами в том же домене, оба из которых имеют положительную степень. Эквивалентно, полином является неприводимым, если он неприводим над полем частных целостного домена. Например, полином неприводим для второго определения, но не для первого. С другой стороны, является неприводимым в обоих определениях, в то время как он приводим в .
non factorizable polynomials
In mathematics, an irreducible polynomial is, roughly speaking, a polynomial that cannot be factored into the product of two non constant polynomials. The property of irreducibility depends on the nature of the coefficients that are accepted for the possible factors, that is, the ring to which the coefficients of the polynomial and its possible factors are supposed to belong. For example, the polynomial x^(2) − 2 is a polynomial with integer coefficients, but, as every integer is also a real number, it is also a polynomial with real coefficients. It is irreducible if it is considered as a polynomial with integer coefficients, but it factors as if it is considered as a polynomial with real coefficients. One says that the polynomial x^(2) − 2 is irreducible over the integers but not over the reals. Polynomial irreducibility can be considered for polynomials with coefficients in an integral domain, and there are two common definitions. Most often, a polynomial over an integral domain R is said to be irreducible if it is not the product of two polynomials that have their coefficients in R, and that are not unit in R. Equivalently, for this definition, an irreducible polynomial is an irreducible element in the rings of polynomials over R. If R is a field, the two definitions of irreducibility are equivalent. For the second definition, a polynomial is irreducible if it cannot be factored into polynomials with coefficients in the same domain that both have a positive degree. Equivalently, a polynomial is irreducible if it is irreducible over the field of fractions of the integral domain. For example, the polynomial is irreducible for the second definition, and not for the first one. On the other hand, is irreducible in for the two definitions, while it is reducible in
A polynomial that is irreducible over any field containing the coefficients is absolutely irreducible. By the fundamental theorem of algebra, a univariate polynomial is absolutely irreducible if and only if its degree is one. On the other hand, with several indeterminates, there are absolutely irreducible polynomials of any degree, such as for any positive integer n.
A polynomial that is not irreducible is sometimes said to be a reducible polynomial. Irreducible polynomials appear naturally in the study of polynomial factorization and algebraic field extensions. It is helpful to compare irreducible polynomials to prime numbers: prime numbers (together with the corresponding negative numbers of equal magnitude) are the irreducible integers. They exhibit many of the general properties of the concept of "irreducibility" that equally apply to irreducible polynomials, such as the essentially unique factorization into prime or irreducible factors. When the coefficient ring is a field or other unique factorization domain, an irreducible polynomial is also called a prime polynomial, because it generates a prime ideal.
Полином, который является неприводимым над любым полем, содержащим его коэффициенты, называется абсолютно неприводимым. Согласно основной теореме алгебры, одновариантный полином абсолютно неприводим тогда и только тогда, когда его степень равна единице. С другой стороны, при наличии нескольких переменных существуют абсолютно неприводимые полиномы любой степени, например, для любого положительного целого числа n.
non factorizable polynomials
In mathematics, an irreducible polynomial is, roughly speaking, a polynomial that cannot be factored into the product of two non constant polynomials. The property of irreducibility depends on the nature of the coefficients that are accepted for the possible factors, that is, the ring to which the coefficients of the polynomial and its possible factors are supposed to belong. For example, the polynomial x^(2) − 2 is a polynomial with integer coefficients, but, as every integer is also a real number, it is also a polynomial with real coefficients. It is irreducible if it is considered as a polynomial with integer coefficients, but it factors as if it is considered as a polynomial with real coefficients. One says that the polynomial x^(2) − 2 is irreducible over the integers but not over the reals. Polynomial irreducibility can be considered for polynomials with coefficients in an integral domain, and there are two common definitions. Most often, a polynomial over an integral domain R is said to be irreducible if it is not the product of two polynomials that have their coefficients in R, and that are not unit in R. Equivalently, for this definition, an irreducible polynomial is an irreducible element in the rings of polynomials over R. If R is a field, the two definitions of irreducibility are equivalent. For the second definition, a polynomial is irreducible if it cannot be factored into polynomials with coefficients in the same domain that both have a positive degree. Equivalently, a polynomial is irreducible if it is irreducible over the field of fractions of the integral domain. For example, the polynomial is irreducible for the second definition, and not for the first one. On the other hand, is irreducible in for the two definitions, while it is reducible in
A polynomial that is irreducible over any field containing the coefficients is absolutely irreducible. By the fundamental theorem of algebra, a univariate polynomial is absolutely irreducible if and only if its degree is one. On the other hand, with several indeterminates, there are absolutely irreducible polynomials of any degree, such as for any positive integer n.
A polynomial that is not irreducible is sometimes said to be a reducible polynomial. Irreducible polynomials appear naturally in the study of polynomial factorization and algebraic field extensions. It is helpful to compare irreducible polynomials to prime numbers: prime numbers (together with the corresponding negative numbers of equal magnitude) are the irreducible integers. They exhibit many of the general properties of the concept of "irreducibility" that equally apply to irreducible polynomials, such as the essentially unique factorization into prime or irreducible factors. When the coefficient ring is a field or other unique factorization domain, an irreducible polynomial is also called a prime polynomial, because it generates a prime ideal.
Полином, который не является неприводимым, иногда называют приводимым полиномом. Неприводимые полиномы естественным образом возникают при изучении факторизации полиномов и алгебраических расширений полей. Полезно сравнить неприводимые полиномы с простыми числами: простые числа (вместе с соответствующими отрицательными числами той же абсолютной величины) являются неприводимыми целыми числами. Они демонстрируют многие общие свойства понятия «неприводимость», которые в равной степени применимы к неприводимым полиномам, такие как, например, существенная уникальность факторизации на простые или неприводимые множители. Когда кольцо коэффициентов является полем или другой областью однозначной факторизации, неприводимый полином также называют простым полиномом, поскольку он порождает простой идеал.
non factorizable polynomials
In mathematics, an irreducible polynomial is, roughly speaking, a polynomial that cannot be factored into the product of two non constant polynomials. The property of irreducibility depends on the nature of the coefficients that are accepted for the possible factors, that is, the ring to which the coefficients of the polynomial and its possible factors are supposed to belong. For example, the polynomial x^(2) − 2 is a polynomial with integer coefficients, but, as every integer is also a real number, it is also a polynomial with real coefficients. It is irreducible if it is considered as a polynomial with integer coefficients, but it factors as if it is considered as a polynomial with real coefficients. One says that the polynomial x^(2) − 2 is irreducible over the integers but not over the reals. Polynomial irreducibility can be considered for polynomials with coefficients in an integral domain, and there are two common definitions. Most often, a polynomial over an integral domain R is said to be irreducible if it is not the product of two polynomials that have their coefficients in R, and that are not unit in R. Equivalently, for this definition, an irreducible polynomial is an irreducible element in the rings of polynomials over R. If R is a field, the two definitions of irreducibility are equivalent. For the second definition, a polynomial is irreducible if it cannot be factored into polynomials with coefficients in the same domain that both have a positive degree. Equivalently, a polynomial is irreducible if it is irreducible over the field of fractions of the integral domain. For example, the polynomial is irreducible for the second definition, and not for the first one. On the other hand, is irreducible in for the two definitions, while it is reducible in
A polynomial that is irreducible over any field containing the coefficients is absolutely irreducible. By the fundamental theorem of algebra, a univariate polynomial is absolutely irreducible if and only if its degree is one. On the other hand, with several indeterminates, there are absolutely irreducible polynomials of any degree, such as for any positive integer n.
A polynomial that is not irreducible is sometimes said to be a reducible polynomial. Irreducible polynomials appear naturally in the study of polynomial factorization and algebraic field extensions. It is helpful to compare irreducible polynomials to prime numbers: prime numbers (together with the corresponding negative numbers of equal magnitude) are the irreducible integers. They exhibit many of the general properties of the concept of "irreducibility" that equally apply to irreducible polynomials, such as the essentially unique factorization into prime or irreducible factors. When the coefficient ring is a field or other unique factorization domain, an irreducible polynomial is also called a prime polynomial, because it generates a prime ideal.
Определение
Если F – поле, то непостоянный многочлен называется неприводимым над F, если его коэффициенты принадлежат F и его нельзя представить в виде произведения двух непостоянных многочленов с коэффициентами в F.
Многочлен с целочисленными коэффициентами или, в более общем случае, с коэффициентами в области однозначной факторизации R, иногда называют неприводимым (или неприводимым над R), если он является неприводимым элементом кольца многочленов, то есть не является обратимым, не равен нулю и не может быть разложен на произведение двух не обратимых многочленов с коэффициентами в R. Это определение обобщает определение, данное для случая коэффициентов в поле, поскольку над полем непостоянные многочлены – это как раз те полиномы, которые не являются обратимыми и не равны нулю. Часто используется другое определение, согласно которому многочлен неприводим над R, если он неприводим над полем частных R (полем рациональных чисел, если R – целые числа). В данной статье это второе определение не используется. Эквивалентность этих двух определений зависит от R.
За реальные деньги
В поле действительных чисел степень неприводимого одночленного многочлена равна либо одному, либо двум. Более точно, неприводимые многочлены – это многочлены первой степени и квадратные многочлены с отрицательным дискриминантом. Следовательно, каждый непостоянный одночленный многочлен можно разложить в произведение многочленов степени не выше двух. Например, x⁴ + 1 разлагается над действительными числами как (x² + √2x + 1)(x² - √2x + 1), и дальнейшее разложение невозможно, так как у обоих множителей отрицательный дискриминант.
Уникальное свойство факторизации
Каждый многочлен над полем F может быть разложен в произведение ненулевой константы и конечного числа неразложимых (над F) многочленов. Это разложение единственно с точностью до порядка сомножителей и умножения сомножителей на ненулевые константы, произведение которых равно 1. В области однозначной факторизации та же теорема справедлива, но более точно формулируется с использованием понятия примитивного многочлена. Примитивный многочлен – это многочлен над областью однозначной факторизации, для которого 1 является наибольшим общим делителем его коэффициентов. Пусть F – область однозначной факторизации. Непостоянный неразложимый многочлен над F является примитивным. Примитивный многочлен над F является неразложимым над F тогда и только тогда, когда он неразложим над полем частных F. Каждый многочлен над F может быть разложен в произведение ненулевой константы и конечного числа неконстантных неразложимых примитивных многочленов. Ненулевая константа сама может быть разложена в произведение единицы F и конечного числа неразложимых элементов F. Оба разложения единственны с точностью до порядка сомножителей и умножения сомножителей на единицу F. Именно эта теорема обуславливает, что определение неразложимого многочлена в области однозначной факторизации часто подразумевает, что многочлен непостоянен. Все алгоритмы, которые в настоящее время реализованы для факторизации многочленов над целыми числами и над рациональными числами, используют этот результат (см. Факторизация многочленов).
This is this theorem which motivates that the definition of irreducible polynomial over a unique factorization domain often supposes that the polynomial is non constant. All algorithms which are presently implemented for factoring polynomials over the integers and over the rational numbers use this result (see Factorization of polynomials).
Алгоритмы
Свойство единственности разложения многочленов на множители не означает, что разложение данного многочлена всегда может быть найдено. Даже доказать неприводимость многочлена не всегда возможно вычислительным путем: существуют поля, для которых не существует алгоритма, позволяющего определить неприводимость произвольных многочленов. Алгоритмы для разложения многочленов на множители и определения их неприводимости известны и реализованы в системах компьютерной алгебры для многочленов над целыми числами, рациональными числами, конечными полями и конечно порожденными расширениями этих полей. Все эти алгоритмы используют алгоритмы разложения многочленов на множители над конечными полями.
В пределах интегральной области
Если R – целостная область, то элемент f из R, который не является ни нулем, ни обратимым элементом, называется неприводимым, если не существует не-обратимых элементов g и h таких, что f = gh. Можно показать, что каждый простой элемент является неприводимым; обратное, как правило, неверно, но верно в областях однозначной факторизации. Многочленное кольцо F[x] над полем F (или любой областью однозначной факторизации) снова является областью однозначной факторизации. Индуктивно, это означает, что многочленное кольцо от n переменных (над кольцом R) является областью однозначной факторизации, если это верно для R.