Кіріспе
Векторлық кеңістік билинеарлық көбейтіндімен жабдықталған
Математикада, өріс үстіндегі алгебра (көбінесе жай ғана алгебра деп аталады) – билинеарлық көбейтіндімен жабдықталған векторлық кеңістік. Осылайша, алгебра – бұл жиын, қосу, көбейту және өріс элементтерімен скалярлық көбейту операцияларымен, сондай-ақ «векторлық кеңістік» және «билинеарлық» аксиомаларын қанағаттандыратын алгебралық құрылым. Алгебрадағы көбейту операциясы ассоциативті болуы да, болмауы да мүмкін, бұл ассоциативті алгебралар және ассоциативті емес алгебралар туралы түсініктерге әкеледі. n бүтін саны берілгенде, n-реттік нақты квадраттық матрицалар сақинасы, матрицалық қосу және матрицалық көбейту арқылы, нақты сандар өрісіндегі ассоциативті алгебраның мысалы болып табылады, себебі матрицалық көбейту ассоциативті. Үш өлшемді Евклид кеңістігі, векторлық көбейту арқылы берілген көбейтумен, нақты сандар өрісіндегі ассоциативті емес алгебраның мысалы болып табылады, өйткені векторлық көбейту ассоциативті емес, оның орнына Якоби тождестігін қанағаттандырады. Алгебра, егер оның көбейтуге қатысты бірлік элементі болса, униталды немесе бірлік алгебра деп аталады. n-реттік нақты квадраттық матрицалар сақинасы униталды алгебра құрайды, себебі n-реттік бірлік матрицасы матрицалық көбейтуге қатысты бірлік элементі болып табылады. Бұл – униталды ассоциативті алгебраның, сонымен қатар векторлық кеңістік болатын (униталды) сақинаның мысалы. Көптеген авторлар алгебра терминін ассоциативті алгебра, униталды ассоциативті алгебра немесе алгебралық геометрия сияқты кейбір салаларда униталды ассоциативті коммутативті алгебраны білдіру үшін қолданады. Скалярлар өрісін коммутативті сақинамен алмастыру сақина үстіндегі алгебраның жалпы түсінігіне әкеледі. Алгебраларды ішкі көбейту кеңістіктері сияқты билинеарлық формамен жабдықталған векторлық кеңістіктермен шатастыруға болмайды, себебі мұндай кеңістікте көбейтудің нәтижесі кеңістікте емес, керісінше коэффициенттер өрісінде болады.
Алгебралық гомоморфизмдер
K алгебралары A және B берілген болса, K алгебраларының гомоморфизмі немесе K алгебралық гомоморфизм – A-дан B-ға дейінгі K-сызықтық бейнелеу f, мұнда барлық x, y ∈ A үшін f(xy) = f(x)f(y) теңдігі орындалады. A және B арасындағы барлық K алгебралық гомоморфизмдер жиынтығы жиі жазылады.
K алгебралық изоморфизм – бұл өзіне-өзі сәйкес келетін K алгебралық гомоморфизм.
Скалярлардың кеңейтілуі
Егер біз F/K өріс кеңейтіміне ие болсақ, яғни үлкен өріс F, K-ны қамтитын болса, онда кез келген K үстіндегі алгебрадан F үстіндегі алгебраны құрудың табиғи жолы бар. Бұл үлкен өрісте векторлық кеңістік құру үшін қолданылатын конструкциямен бірдей, атап айтқанда тензорлық көбейтінді. Сонымен, егер A, K үстіндегі алгебра болса, онда ол F үстіндегі алгебра болады.
Алгебраның түрлері және мысалдар
Алгебралар өрістер үстінде көптеген түрлерде болады. Бұл түрлер алгебраның жалпы анықтамасында міндетті емес, көбейту операциясының коммутативтігі немесе ассоциативтілігі сияқты қосымша аксиомалар арқылы анықталады. Әртүрлі алгебра түрлеріне сәйкес теориялар көбінесе мүлдем әртүрлі болады.
Бiрлiк алгебрасы
Алгебрада барлық x үшін Ix = x = xI теңдігі орындалса, онда алгебра бірлікке ие немесе унитарлы деп аталады.
Нөл алгебрасы
Алгебрадағы барлық u, v үшін 1=uv=0 болса, онда бұл алгебра нөлдік алгебра деп аталады, оны бір элементі бар алгебрамен шатастырмау керек. Ол өзінен-өзі бірлік емес (тек бір элемент болған жағдайда ғана), ассоциативті және коммутативті. Бірлік нөлдік алгебраны K өрісінің (немесе жалпы алғанда сақинаның) модульдерінің тікелей қосындысын және K векторлық кеңістігін (немесе модульді) V алып, V элементтерінің кез келген жұбының көбейтіндісін нөл деп анықтау арқылы құруға болады. Яғни, егер λ, μ ∈ K және u, v ∈ V болса, онда 1=(λ + u)(μ + v) = λμ + (λv + μu). Егер e1, ..., ed V-нің базасы болса, онда бірлік нөлдік алгебра – K[E1, ..., En] полиномиялық сақинасының, әрбір (i, j) жұбы үшін EiEj-мен құрылған идеалға бөлінген үлесі болып табылады. Бірыңғай нөлдік алгебраның мысалы – қос сандар алгебрасы, бір өлшемді нақты векторлық кеңістік негізінде құрылған бірлік нөлдік R алгебрасы. Бұл бірлік нөлдік алгебралар көбірек пайдалы болуы мүмкін, себебі олар алгебралардың кез келген жалпы қасиеттерін векторлық кеңістіктердің немесе модульдердің қасиеттеріне аударуға мүмкіндік береді. Мысалы, Грёбнер базаларының теориясын Бруно Бухбергер өрістегі 1=R = K[x1, ..., xn] полиномиялық сақинадағы идеалдар үшін енгізді. Бос R модулінде бірлік нөлдік алгебраны құру, осы теорияны бос модульдің субмодульдері үшін Грёбнер базаларының теориясы ретінде кеңейтуге мүмкіндік береді. Бұл кеңейту субмодульдің Грёбнер базасын есептеу үшін, идеалдардың Грёбнер базаларын есептеуге арналған кез келген алгоритм мен бағдарламалық жасақтаманы өзгертусіз пайдалануға мүмкіндік береді.
Жалпылау: алгебраның сақинадағы реті
Математиканың кейбір салаларында, мысалы коммутативтік алгебрада, сақина үстіндегі алгебраның көбірек жалпыланған түсінігі қарастырылады, онда коммутативтік R сақинасы K өрісінің орнына қолданылады. Анықтаманың өзгеретін жалғыз бөлігі – A-ның R-модуль (K векторлық кеңістігінің орнына) деп қарастырылуы.
Сақиналар бойынша ассоциативтік алгебралар
А сақинасы өзінің ортасы және бүтін сандар үстінде әрқашан ассоциативтік алгебра болып табылады. Ортасы бойынша алгебраның классикалық мысалы – екі кватернион алгебрасының тікелей көбейтіндісіне , яғни , изоморфты бөлінген бикварнион алгебрасы. Бұл сақинаның орталығы – , сондықтан ол өріс емес ортасы бойынша алгебра құрылымына ие. Екіге бөлінген бикварнион алгебрасы сонымен қатар табиғи түрде 8 өлшемді алгебра болып табылады. Коммутативтік алгебрада, егер A коммутативтік сақина болса, онда кез келген унитальды сақина гомоморфизмі A-да R модуль құрылымын анықтайды, және бұл R алгебрасының құрылымы деп аталады. Осылайша, сақинаға табиғи модульдік құрылым беріледі, себебі бірегей гомоморфизмді алуға болады. Дегенмен, барлық сақиналарға өріс үстінде алгебра құрылымын беру мүмкін емес (мысалы, бүтін сандар үшін). Әрбір сақинаға өріс үстіндегі алгебра сияқты қасиеттерге ие құрылым беруге жасалған тырысулар туралы сипаттаманы бір элементі бар өріс тақырыбынан қараңыз.