Кіріспе

Ықтималдық теориясындағы ерекше жағдай; құйрық оқиғаларын енгізеді.

Ықтималдық теориясында Андрей Николаевич Колмогоровтың құрметіне аталған Колмогоровтың нөлден бірге дейінгі заңы, белгілі бір типтегі оқиғаны, атап айтқанда тәуелсіз σ-алгебралардың құйрық оқиғасын, дерлік сөзсіз орын алатынын немесе дерлік сөзсіз орын алмайтынын көрсетеді; яғни, мұндай оқиғаның болу ықтималдығы нөлге немесе бірге тең. Құйрық оқиғалары саналатын шексіз σ-алгебралар отбасылары арқылы анықталады. Түсіндіру үшін, әрбір сигма-алгебра кездейсоқ айнымалы арқылы құрылатын ерекше жағдайды қарастырайық. Егер σ-алгебра барлық кездейсоқ айнымалылар арқылы бірлесіп құрылған болса, онда құйрық оқиғасы – бұл оқиға, ол осы кездейсоқ айнымалылардың кез келген шекті жиынтығынан ықтималдық тұрғысынан тәуелсіз. (Ескерту: -ға тиесілілік, -ның құрамында болуын білдіреді, бірақ екінші шарт қатаң түрде әлсіз және нөлден бірге дейінгі заңды дәлелдеу үшін жеткіліксіз.) Мысалы, -нің тізбегінің жинақталуы және оның қосындысының жинақталуы екеуі де құйрық оқиғалары болып табылады. Егер, мысалы, барлық -тер Бернулли таралымдары болса, онда шексіз көп -тер болатын оқиға, мұндай оқиға құйрық оқиғасы болып табылады. Егер әрбір - тізбектің -інші тастауын модельдейтін болса, шексіз монета тастау тізбегімен модельделеді, онда 100 рет қатарынан түскен оқиға осы модельде құйрық оқиғасы болып табылады. Құйрық оқиғалары – бұл оқиғалар, олардың орын алуын кездейсоқ үлкен, бірақ шекті бастапқы сегмент алынып тасталған жағдайда да анықтауға болады. Көптеген жағдайларда, кейбір оқиғаның ықтималдығы 0 немесе 1 екенін көрсету үшін Колмогоровтың нөлден бірге дейінгі заңын қолдану оңай, бірақ осы екі шекті мәннің қайсысы дұрыс екенін анықтау көбінесе өте қиын.

Формуляциясы

Колмогоровтың нөлден бірге дейінгі заңының жалпыланған түрі тәуелсіз σ-алгебралар тізбегі үшін сақталады. (Ω, F, P) ықтималдық кеңістігі болсын, ал Fn – F-қа кіретін σ-алгебралар тізбегі болсын. Fn, Fn+1 және т.б. қамтитын ең кіші σ-алгебра болсын. Fn-нің шекті σ-алгебрасы деп анықталады. Колмогоровтың нөлден бірге дейінгі заңы, егер Fn-дер стохастикалық түрде тәуелсіз болса, кез келген E оқиғасы үшін P(E) = 0 немесе P(E) = 1 болады деп мәлімдейді. Заңның кездейсоқ шамалар арқылы берілуі, әрбір Fn-ді кездейсоқ шама Xn-мен туындаған σ-алгебра ретінде қарастыру арқылы алынады. Ал құйрық оқиғасы – бұл барлық Xn-дер тудырған σ-алгебраға қатысты өлшенетін, бірақ Xn-дердің кез келген шекті санына тәуелсіз оқиға. Яғни, құйрық оқиғасы – міне, осы шекті σ-алгебраның бір елеуі.

Мысалдар

0-1 заңына бағынатын стандартты ықтималдық кеңістігінде өлшемді сақтайтын және кері айналатын трансформация Колмогоров автоморфизмі деп аталады. Барлық Бернулли автоморфизмдері Колмогоров автоморфизмдері болып табылады, бірақ керісінше дұрыс емес. Түсіп кету теориясы бойынша шексіз кластердің болуы да 0-1 заңына бағынады. Егер тәуелсіз кездейсоқ шамалардың тізбегі болса, онда оқиғасы – құйрық оқиғасы болады. Осылайша, Колмогоровтың 0-1 заңы бойынша, оның орын алу ықтималдығы 0 немесе 1-ге тең. Құйрық оқиғасы шартының орындалуы үшін тәуелсіздік қажет екенін ескеріңіз. Тәуелсіздік болмаған жағдайда, әрқайсысы ықтималдығымен немесе болатын тізбекті қарастыруға болады. Бұл жағдайда, сома ықтималдығымен жинақталады.