Введение

Векторное пространство, снабженное билинейным произведением.

В математике, алгебра над полем (часто называемая просто алгеброй) — это векторное пространство, снабженное билинейным произведением. Таким образом, алгебра — это алгебраическая структура, состоящая из множества вместе с операциями умножения и сложения, а также скалярного умножения элементами поля, и удовлетворяющая аксиомам, подразумеваемым понятиями "векторное пространство" и "билинейность". Операция умножения в алгебре может быть ассоциативной или неассоциативной, что приводит к понятиям ассоциативных и неассоциативных алгебр. Для целого числа n кольцо действительных квадратных матриц порядка n является примером ассоциативной алгебры над полем действительных чисел относительно сложения и умножения матриц, поскольку умножение матриц ассоциативно. Трехмерное евклидово пространство с умножением, заданным векторным произведением, является примером неассоциативной алгебры над полем действительных чисел, поскольку векторное произведение неассоциативно и удовлетворяет тождеству Якоби. Алгебра называется унитальной или единичной, если она содержит единичный элемент относительно умножения. Кольцо действительных квадратных матриц порядка n образует унитальную алгебру, поскольку единичная матрица порядка n является единичным элементом относительно умножения матриц. Это пример унитальной ассоциативной алгебры, то есть (унитального) кольца, которое также является векторным пространством. Многие авторы используют термин "алгебра" для обозначения ассоциативной алгебры, унитальной ассоциативной алгебры или, в некоторых областях, таких как алгебраическая геометрия, унитальной ассоциативной коммутативной алгебры. Замена поля скаляров коммутативным кольцом приводит к более общему понятию алгебры над кольцом. Алгебры не следует путать с векторными пространствами, оснащенными билинейной формой, такими как пространства с внутренним произведением, поскольку в таком пространстве результат произведения не принадлежит самому пространству, а лежит в поле коэффициентов.

Алгебраические гомоморфизмы

При данных K-алгебрах A и B, гомоморфизм K-алгебр или K-алгебраический гомоморфизм — это K-линейное отображение f: A → B, такое что f(xy) = f(x)f(y) для всех x, y из A. Пространство всех K-алгебраических гомоморфизмов между A и B часто обозначается как .

K-алгебраический изоморфизм — это биективный K-алгебраический гомоморфизм.

Расширение скаляров

Если у нас есть расширение поля F/K, то есть большее поле F, содержащее K, то существует естественный способ построить алгебру над F из любой алгебры над K. Это та же конструкция, которая используется для построения векторного пространства над большим полем, а именно тензорное произведение. Таким образом, если A – алгебра над K, то A ⊗_K F – алгебра над F.

Виды алгебр и примеры

Алгебры над полями бывают разных типов. Эти типы определяются путем добавления дополнительных аксиом, таких как коммутативность или ассоциативность операции умножения, которые не требуются в общем определении алгебры. Теории, соответствующие различным типам алгебр, часто существенно различаются.

Единица алгебры

Алгебра называется унитальной или унитарной, если в ней существует единичный элемент I, такой что Ix = x = xI для всех x из алгебры.

Нулевая алгебра

Алгебра называется нулевой алгеброй, если для всех u, v в алгебре выполняется условие uv = 0, что не следует путать с алгеброй с одним элементом. Она по своей сути не унитарна (за исключением случая с одним элементом), ассоциативна и коммутативна. Можно определить унитарную нулевую алгебру, взяв прямую сумму модулей поля (или, в более общем случае, кольца) K и векторного пространства (или модуля) V над K, и определив произведение каждой пары элементов из V равным нулю. То есть, если λ, μ ∈ K и u, v ∈ V, то (λ + u)(μ + v) = λμ + (λv + μu). Если e1, ..., ed образуют базис V, то унитарная нулевая алгебра является фактор-кольцом многочленного кольца K[E1, ..., En] по идеалу, порожденному произведениями EiEj для всех пар (i, j). Примером унитарной нулевой алгебры является алгебра двойных чисел – унитарная нулевая R-алгебра, построенная на основе одномерного вещественного векторного пространства. Эти унитарные нулевые алгебры могут быть более полезными, поскольку позволяют перевести любое общее свойство алгебр в свойства векторных пространств или модулей. Например, теория базисов Грёбнера была введена Бруно Бухбергером для идеалов в многочленном кольце R = K[x1, ..., xn] над полем. Построение унитарной нулевой алгебры над свободным R-модулем позволяет расширить эту теорию до теории базисов Грёбнера для подмодулей свободного модуля. Это расширение позволяет вычислять базис Грёбнера подмодуля, используя без каких-либо изменений любой алгоритм и любое программное обеспечение для вычисления базисов Грёбнера идеалов.

Обобщение: алгебра над кольцом

В некоторых областях математики, таких как коммутативная алгебра, принято рассматривать более общее понятие алгебры над кольцом, где коммутативное кольцо R заменяет поле K. Единственное изменение в определении заключается в том, что A рассматривается как R-модуль (вместо векторного пространства над K).

Ассоциативные алгебры по кольцам

Кольцо A всегда является ассоциативной алгеброй над своим центром и над целыми числами. Классическим примером алгебры над своим центром является алгебра расщеплённых бикватернионов, которая изоморфна , прямому произведению двух алгебр кватернионов. Центр этого кольца равен , и, следовательно, он имеет структуру алгебры над своим центром, который не является полем. Следует отметить, что алгебра расщеплённых бикватернионов также является естественным образом 8-мерной алгеброй. В коммутативной алгебре, если A – коммутативное кольцо, то любой унитальный гомоморфизм колец определяет R-модульную структуру на A, и это известно как R-алгебраическая структура. Таким образом, кольцо обладает естественной модульной структурой, поскольку можно взять единственный гомоморфизм. С другой стороны, не каждому кольцу можно придать структуру алгебры над полем (например, целым числам). Подробное описание попытки придать каждому кольцу структуру, ведущую себя как алгебра над полем, можно найти в статье «Поле с одним элементом».