Введение
Последовательности абелевых групп, связанных с топологическими пространствами
В математике, в частности в теории гомологии и алгебраической топологии, кохомология – это общий термин для последовательности абелевых групп, обычно ассоциированной с топологическим пространством и часто определяемой из комплекса коцепей. Когомологию можно рассматривать как метод присвоения пространству более богатых алгебраических инвариантов, чем гомология. Некоторые варианты кохомологии возникают путем дуализации построения гомологии. Иными словами, коцепи – это функции на группе цепей в теории гомологии. С момента своего появления в топологии эта идея стала доминирующим методом в математике второй половины двадцатого века. От первоначальной идеи гомологии как метода построения алгебраических инвариантов топологических пространств, область применения теорий гомологии и кохомологии распространилась на всю геометрию и алгебру. Терминология часто скрывает тот факт, что кохомология, как контрвариантная теория, во многих приложениях более естественна, чем гомология. На базовом уровне это связано с функциями и образами в геометрических ситуациях: для заданных пространств X и Y и некоторой функции F на Y, для любого отображения f: X → Y, композиция с f порождает функцию F ∘ f на X. Наиболее важные теории кохомологии обладают произведением, чашечным произведением, которое наделяет их кольцевой структурой. Благодаря этой особенности кохомология обычно является более сильным инвариантом, чем гомология.
Примеры
В дальнейшем, кохомологии соответствуют коэффициенты в целых числах Z, если не оговорено иное. Кольцо кохомологий точки — это кольцо Z в степени 0. По инвариантности гомотопии, это также кольцо кохомологий любого стягиваемого пространства, такого как евклидово пространство Rn. Для положительного целого числа n, кольцо кохомологий сферы равно Z[x]/(x2) (кольцо-фактор полиномиального кольца по заданному идеалу), где x имеет степень n. В терминах дуальности Пуанкаре, как указано выше, x — это класс точки на сфере. Кольцо кохомологий тора — это внешняя алгебра над Z, порожденная n генераторами в степени 1. Например, пусть P обозначает точку на окружности S1, а Q — точку (P,P) в двумерном торе T2. Тогда кохомология (S1)2 имеет базис в виде свободного Z-модуля следующего вида: элемент 1 в степени 0, x := [P × S1] и y := [S1 × P] в степени 1, и xy = [Q] в степени 2. (Здесь неявно фиксированы ориентации тора и двух окружностей.) Отметим, что yx = −xy = −[Q] в силу градуированной коммутативности. В более общем случае, пусть R — коммутативное кольцо, а X и Y — любые топологические пространства, такие, что H*(X,R) является конечно порожденным свободным R-модулем в каждой степени. (Никаких предположений о Y не требуется.) Тогда формула Кюннета утверждает, что кольцо кохомологий произведения X × Y является тензорным произведением R-алгебр: Кольцо кохомологий вещественного проективного пространства RPn с коэффициентами Z/2 равно Z/2[x]/(xn+1), где x имеет степень 1. Здесь x — класс гиперплоскости RPn−1 в RPn; это имеет смысл, хотя RPj не ориентируемо для четных и положительных j, поскольку дуальность Пуанкаре с коэффициентами Z/2 работает для произвольных многообразий. С целочисленными коэффициентами ответ немного сложнее. Z-кохомология RP2a содержит элемент y степени 2, такой, что вся кохомология является прямой суммой копии Z, порожденной элементом 1 в степени 0, вместе с копиями Z/2, порожденными элементами yi для i = 1, ..., a. Z-кохомология RP2a+1 такая же, плюс дополнительная копия Z в степени 2a+1. Кольцо кохомологий комплексного проективного пространства CPn равно Z[x]/(xn+1), где x имеет степень 2. Здесь x — класс гиперплоскости CPn−1 в CPn. В более общем случае, xj — это класс линейного подпространства CPn−j в CPn. Кольцо кохомологий замкнутой ориентированной поверхности X рода g ≥ 0 имеет базис в виде свободного Z-модуля следующего вида: элемент 1 в степени 0, A1, ..., Ag и B1, ..., Bg в степени 1, и класс P точки в степени 2. Произведение задается следующим образом: AiAj = BiBj = 0 для всех i и j, AiBj = 0, если i ≠ j, и AiBi = P для всех i. В силу градуированной коммутативности следует, что 1 = BiAi = −P. На любом топологическом пространстве градуированная коммутативность кольца кохомологий влечет за собой, что 2x2 = 0 для всех кохомологических классов x нечетной степени. Следовательно, для кольца R, содержащего 1/2, все элементы нечетной степени H*(X,R) имеют квадрат, равный нулю. С другой стороны, элементы нечетной степени не обязаны иметь квадрат, равный нулю, если R равно Z/2 или Z, как видно на примере RP2 (с коэффициентами Z/2) или RP4 × RP2 (с коэффициентами Z).
The cohomology ring of real projective space RPn with Z/2 coefficients is Z/2[x]/(xn+1), with x in degree 1. Here x is the class of a hyperplane RPn−1 in RPn; this makes sense even though RPj is not orientable for j even and positive, because Poincaré duality with Z/2 coefficients works for arbitrary manifolds. With integer coefficients, the answer is a bit more complicated. The Z cohomology of RP2a has an element y of degree 2 such that the whole cohomology is the direct sum of a copy of Z spanned by the element 1 in degree 0 together with copies of Z/2 spanned by the elements yi for i=1, ,a. The Z cohomology of RP2a+1 is the same together with an extra copy of Z in degree 2a+1. The cohomology ring of complex projective space CPn is Z[x]/(xn+1), with x in degree 2. Here x is the class of a hyperplane CPn−1 in CPn. More generally, xj is the class of a linear subspace CPn−j in CPn. The cohomology ring of the closed oriented surface X of genus g ≥ 0 has a basis as a free Z module of the form: the element 1 in degree 0, A1, ,Ag and B1, ,Bg in degree 1, and the class P of a point in degree 2. The product is given by: AiAj = BiBj = 0 for all i and j, AiBj = 0 if i ≠ j, and AiBi = P for all i. By graded commutativity, it follows that 1=BiAi = −P. On any topological space, graded commutativity of the cohomology ring implies that 2x2 = 0 for all odd degree cohomology classes x. It follows that for a ring R containing 1/2, all odd degree elements of H*(X,R) have square zero. On the other hand, odd degree elements need not have square zero if R is Z/2 or Z, as one sees in the example of RP2 (with Z/2 coefficients) or RP4 × RP2 (with Z coefficients).
Диагональ
Продукт чашки по кохомологии можно рассматривать как исходящий из диагонального отображения Δ: X → X × X, x ↦ (x, x). А именно, для любых пространств X и Y с классами кохомологии u ∈ Hi(X, R) и v ∈ Hj(Y, R) существует внешний продукт (или перекрестное произведение) класс кохомологии u × v ∈ Hi+j(X × Y, R). Куп-произведение классов u ∈ Hi(X, R) и v ∈ Hj(X, R) можно определить как образ внешнего произведения при помощи диагонали (откат внешнего произведения по диагонали). В качестве альтернативы, внешний продукт можно определить в терминах куп-произведения. Для пространств X и Y обозначим f: X × Y → X и g: X × Y → Y как две проекции. Тогда внешний продукт классов u ∈ Hi(X, R) и v ∈ Hj(Y, R) равен:
Alternatively, the external product can be defined in terms of the cup product. For spaces X and Y, write f: X × Y → X and g: X × Y → Y for the two projections. Then the external product of classes u ∈ Hi(X,R) and v ∈ Hj(Y,R) is:
Двойственность Понкаре
Другая интерпретация дуальности Пуанкаре заключается в том, что кохомологическое кольцо замкнутого ориентированного многообразия самодвойственно в сильном смысле. А именно, пусть X — замкнутое связное ориентированное многообразие размерности n, и пусть F — поле. Тогда Hn(X, F) изоморфно F, и произведение
является совершенным спариванием для каждого целого числа i. В частности, векторные пространства Hi(X, F) и Hn−i(X, F) имеют одинаковую (конечную) размерность. Аналогично, произведение на интегральной кохомологии по модулю кручения со значениями в Hn(X, Z) ≅ Z является совершенным спариванием над Z.
Класса характеристик
Ориентированный вещественный векторный расслоение E ранга r над топологическим пространством X определяет класс когомологии на X, класс Эйлера χ(E) ∈ Hr(X, ℤ). Неформально, класс Эйлера — это класс множества нулей общего сечения E. Эта интерпретация становится более точной, когда E является гладким векторным расслоением над гладким многообразием X, поскольку тогда общее гладкое сечение E обращается в нуль на подмногообразии X коразмерности r. Существуют и другие типы характеристических классов для векторных расслоений, принимающих значения в когомологиях, такие как классы Черна, классы Штифеля — Уитни и классы Понтрягина.
Пространства Эйленберга и Маклана
Для каждой абелевой группы A и натурального числа j существует пространство, чья j-я гомотопная группа изоморфна A, а остальные гомотопные группы равны нулю. Такое пространство называется пространством Эйленберга — Маклейна. Это пространство обладает замечательным свойством: оно является классифицирующим пространством для кохомологий. Существует естественный элемент u из H<sup>j</sup>(K(A,j), ℤ), и каждый класс кохомологии степени j на любом пространстве X является прообразом u при помощи некоторого непрерывного отображения. Более точно, прообраз класса u задает биекцию
for every space X with the homotopy type of a CW complex. Here denotes the set of homotopy classes of continuous maps from X to Y. For example, the space (defined up to homotopy equivalence) can be taken to be the circle So the description above says that every element of is pulled back from the class u of a point on by some map
There is a related description of the first cohomology with coefficients in any abelian group A, say for a CW complex X. Namely, is in one to one correspondence with the set of isomorphism classes of Galois covering spaces of X with group A, also called principal A bundles over X. For X connected, it follows that is isomorphic to , where is the fundamental group of X. For example, classifies the double covering spaces of X, with the element corresponding to the trivial double covering, the disjoint union of two copies of X.
[K(A,j), X] ≅ H<sup>j</sup>(X, A)
for every space X with the homotopy type of a CW complex. Here denotes the set of homotopy classes of continuous maps from X to Y. For example, the space (defined up to homotopy equivalence) can be taken to be the circle So the description above says that every element of is pulled back from the class u of a point on by some map
There is a related description of the first cohomology with coefficients in any abelian group A, say for a CW complex X. Namely, is in one to one correspondence with the set of isomorphism classes of Galois covering spaces of X with group A, also called principal A bundles over X. For X connected, it follows that is isomorphic to , where is the fundamental group of X. For example, classifies the double covering spaces of X, with the element corresponding to the trivial double covering, the disjoint union of two copies of X.
для каждого пространства X с гомотопическим типом CW-комплекса. Здесь [K(A,j), X] обозначает множество классов гомотопии непрерывных отображений из X в K(A,j). Например, пространство K(ℤ,1) (определенное с точностью до гомотопической эквивалентности) можно принять за окружность S<sup>1</sup>. Таким образом, вышеприведенное описание говорит о том, что каждый элемент класса гомотопии отображений из X в S<sup>1</sup> является прообразом класса u точки на S<sup>1</sup> при помощи некоторого отображения. Существует связанное описание первой когомологии с коэффициентами в любой абелевой группе A, например, для CW-комплекса X. А именно, H<sup>1</sup>(X, A) находится во взаимно однозначном соответствии с множеством классов изоморфизма Галуа-расслоений над X с группой A, также называемых главными A-расслоениями над X. Для связного X следует, что H<sup>1</sup>(X, A) изоморфно π<sub>1</sub>(X), где π<sub>1</sub>(X) — фундаментальная группа X. Например, H<sup>1</sup>(X, ℤ/2ℤ) классифицирует двойные накрытия пространства X, при этом элементу, соответствующему тривиальному двойному накрытию, соответствует несвязное объединение двух копий X.
for every space X with the homotopy type of a CW complex. Here denotes the set of homotopy classes of continuous maps from X to Y. For example, the space (defined up to homotopy equivalence) can be taken to be the circle So the description above says that every element of is pulled back from the class u of a point on by some map
There is a related description of the first cohomology with coefficients in any abelian group A, say for a CW complex X. Namely, is in one to one correspondence with the set of isomorphism classes of Galois covering spaces of X with group A, also called principal A bundles over X. For X connected, it follows that is isomorphic to , where is the fundamental group of X. For example, classifies the double covering spaces of X, with the element corresponding to the trivial double covering, the disjoint union of two copies of X.
Краткая история сингулярной кохомологии
Хотя кохомология является фундаментальной для современной алгебраической топологии, её значимость не была осознана в течение примерно 40 лет после развития гомологии. Концепция двойной клеточной структуры, которую Анри Пуанкаре использовал в доказательстве теоремы двойственности Пуанкаре, содержала зачатки идеи кохомологии, но это было замечено лишь позднее. Существовали различные предшественники кохомологии. В середине 1920-х годов Дж. В. Александр и Соломон Лефшец заложили основы теории пересечений циклов на многообразиях. На замкнутом ориентированном n-мерном многообразии M, i-цикл и j-цикл с непустым пересечением, находящиеся в общем положении, будут иметь в качестве своего пересечения (i + j − n)-цикл. Это приводит к умножению классов гомологии, которое (в ретроспективе) можно отождествить с чашечным произведением в кохомологии M. К 1930 году Александр дал первое определение коцепи, рассматривая i-коцепь на пространстве X как функцию на малых окрестностях диагонали в X<sup>i+1</sup>. В 1931 году Жорж де Рам установил связь между гомологией и дифференциальными формами, доказав теорему де Рама. Этот результат можно выразить более просто в терминах кохомологии. В 1934 году Лев Понтрягин доказал теорему двойственности Понтрягина – результат, относящийся к топологическим группам. Это (в довольно специфических случаях) дало интерпретацию двойственности Пуанкаре и двойственности Александра в терминах групповых характеров. На конференции 1935 года в Москве Андрей Колмогоров и Александр представили кохомологию и попытались построить структуру кохомологического произведения. В 1936 году Норман Стинрод построил чешскую кохомологию, дуализировав чешскую гомологию. С 1936 по 1938 год Хасслер Уитни и Эдуард Чех разработали чашечное произведение (превращая кохомологию в градуированное кольцо) и крышечное произведение, и поняли, что двойственность Пуанкаре можно сформулировать в терминах крышечного произведения. Их теория все еще была ограничена конечными клеточными комплексами. В 1944 году Сэмюэль Эйленберг преодолел технические ограничения и дал современное определение сингулярной гомологии и кохомологии. В 1945 году Эйленберг и Стинрод сформулировали аксиомы, определяющие теорию гомологии или кохомологии, которые будут рассмотрены ниже. В своей книге 1952 года «Основы алгебраической топологии» они доказали, что существующие теории гомологии и кохомологии действительно удовлетворяют этим аксиомам. В 1946 году Жан Лерей определил кохомологии пучков. В 1948 году Эдвин Спаньер, опираясь на работы Александра и Колмогорова, разработал кохомологию Александра–Спаньера.
which (in retrospect) can be identified with the cup product on the cohomology of M.
Alexander had by 1930 defined a first notion of a cochain, by thinking of an i cochain on a space X as a function on small neighborhoods of the diagonal in Xi+1. In 1931, Georges de Rham related homology and differential forms, proving de Rham's theorem. This result can be stated more simply in terms of cohomology. In 1934, Lev Pontryagin proved the Pontryagin duality theorem; a result on topological groups. This (in rather special cases) provided an interpretation of Poincaré duality and Alexander duality in terms of group characters. At a 1935 conference in Moscow, Andrey Kolmogorov and Alexander both introduced cohomology and tried to construct a cohomology product structure. In 1936, Norman Steenrod constructed Čech cohomology by dualizing Čech homology. From 1936 to 1938, Hassler Whitney and Eduard Čech developed the cup product (making cohomology into a graded ring) and cap product, and realized that Poincaré duality can be stated in terms of the cap product. Their theory was still limited to finite cell complexes. In 1944, Samuel Eilenberg overcame the technical limitations, and gave the modern definition of singular homology and cohomology. In 1945, Eilenberg and Steenrod stated the axioms defining a homology or cohomology theory, discussed below. In their 1952 book, Foundations of Algebraic Topology, they proved that the existing homology and cohomology theories did indeed satisfy their axioms. In 1946, Jean Leray defined sheaf cohomology. In 1948 Edwin Spanier, building on work of Alexander and Kolmogorov, developed Alexander–Spanier cohomology.
Кохомология снопа
Когомология снопов — это богатая обобщение сингулярной когомологии, позволяющая использовать более общие "коэффициенты", чем просто абелева группа. Для каждого снопа абелевых групп E на топологическом пространстве X существуют когомологические группы Hi(X, E) для целых i. В частности, в случае постоянного снопа на X, связанного с абелевой группой A, получаемые группы Hi(X, A) совпадают с сингулярной когомологией для X, являющегося многообразием или CW-комплексом (хотя и не для произвольных пространств X). Начиная с 1950-х годов, когомология снопов стала центральной частью алгебраической геометрии и комплексного анализа, отчасти из-за важности снопа регулярных функций или снопа голоморфных функций. Гротендик элегантно определил и охарактеризовал когомологию снопов на языке гомологической алгебры. Суть в том, чтобы зафиксировать пространство X и рассматривать когомологию снопов как функтор из абелевой категории снопов на X в абелевы группы. Начнем с функтора, отображающего сноп E на X в его абелеву группу глобальных сечений на X, E(X). Этот функтор левосторонне точен, но не обязательно правосторонне точен. Гротендик определил группы когомологии снопов как правые производные функторы левосторонне точного функтора E ↦ E(X). Это определение предполагает различные обобщения. Например, можно определить когомологию топологического пространства X с коэффициентами в любом комплексе снопов, ранее называемую гиперкогомологией (но обычно теперь просто "когомологией"). С этой точки зрения, когомология снопов становится последовательностью функторов из производной категории снопов на X в абелевы группы. В широком смысле слова, "когомология" часто используется для обозначения правых производных функторов левосторонне точного функтора на абелевой категории, а "гомология" — для обозначения левых производных функторов правосторонне точного функтора. Например, для кольца R группы Tor ToriR(M, N) образуют "теорию гомологии" по каждой переменной, являясь левыми производными функторами тензорного произведения M ⊗RN модулей R. Аналогично, группы Ext ExtiR(M, N) можно рассматривать как "теорию когомологии" по каждой переменной, являясь правыми производными функторами функтора HomR(M, N). Когомологию снопов можно отождествить с типом группы Ext. А именно, для снопа E на топологическом пространстве X, Hi(X, E) изоморфна Exti(ZX, E), где ZX обозначает постоянный сноп, связанный с целыми числами Z, а Ext рассматривается в абелевой категории снопов на X.