Леви-Чивита символы: Тензорларға әсер ететін антисимметриялық өрнек
Levi-Civita symbol
Леви-Чивита символы: тензорлармен жұмыс істеудегі маңызды математикалық құрал. Антисимметриялық қасиеттері, индекстер және нөлге тең шарттары түсіндіріледі.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Тензорларға әсер ететін антисимметриялық пермутациялық объекті
Antisymmetric permutation object acting on tensors
Математикада, әсіресе сызықтық алгебрада, тензорлық талдауда және дифференциалдық геометрияда Леви-Чивита символы немесе Леви-Чивита эпсилоны – сандар жиынтығын білдіреді; ол кейбір оң бүтін сан n үшін 1, 2, ..., n сандарының пермутациясының таңбасынан анықталады. Ол итальяндық математик және физик Туллио Леви-Чивитаның құрметіне аталған. Басқа атаулары: пермутация символы, антисимметриялық символ немесе алмастыру символы, олар оның антисимметриялық қасиеттеріне және пермутациялар арқылы берілуіне сілтеме жасайды. Леви-Чивита символын белгілеу үшін стандартты әріптер – грек тіліндегі кіші әріп ε немесе ϵ, немесе сирек латын тіліндегі кіші әріп e. Индекстік нотация тензорлық талдаумен үйлесімді түрде пермутацияларды көрсетуге мүмкіндік береді: мұнда әрбір индекс i1, i2, ..., in 1, 2, ..., n мәндерін қабылдайды. εi1i2...in индекстелген n^n мәні бар, оларды n өлшемді массив ретінде орналастыруға болады. Символдың негізгі анықтамалық қасиеті – индекстердегі толық антисимметрия. Кез келген екі индекс орын алмастырылса (тең болса да, болмаса да), символ таңбасы өзгереді:
In mathematics, particularly in linear algebra, tensor analysis, and differential geometry, the Levi Civita symbol or Levi Civita epsilon represents a collection of numbers; defined from the sign of a permutation of the natural numbers 1, 2, , n, for some positive integer n. It is named after the Italian mathematician and physicist Tullio Levi Civita. Other names include the permutation symbol, antisymmetric symbol, or alternating symbol, which refer to its antisymmetric property and definition in terms of permutations. The standard letters to denote the Levi Civita symbol are the Greek lower case epsilon ε or ϵ, or less commonly the Latin lower case e. Index notation allows one to display permutations in a way compatible with tensor analysis: where each index i1, i2, , in takes values 1, 2, , n. There are n^(n) indexed values of εi1i2 in, which can be arranged into an n dimensional array. The key defining property of the symbol is total antisymmetry in the indices. When any two indices are interchanged, equal or not, the symbol is negated:
Егер кез келген екі индекс тең болса, символ нөлге тең болады. Барлық индекстер әртүрлі болса, онда: мұнда p (пермутацияның паритеті деп аталады) – i1, i2, ..., in индекстерін 1, 2, ..., n ретімен келтіру үшін қажетті жұптық орын алмастырулардың саны, ал (−1)^p факторы – пермутацияның таңбасы немесе сигнатурасы деп аталады. ε1 2 ... n мәні анықталған болуы керек, әйтпесе символдың барлық пермутациялар үшін нақты мәндері анықталмайды. Көптеген авторлар 1 = ε1 2 ... n = +1 деп таңдайды, яғни Леви-Чивита символы барлық индекстер әртүрлі болғанда пермутацияның таңбасына тең. Бұл таңдау осы мақалада қолданылады. «n өлшемді Леви-Чивита символы» термині символдың индекстерінің саны n векторлық кеңістіктің өлшемділігімен сәйкес келеді дегенді білдіреді, бұл кеңістік евклидтік немесе евклидтік емес болуы мүмкін, мысалы, Минковский кеңістігі. Леви-Чивита символының мәндері кез келген метрикалық тензорға және координаттар жүйесіне тәуелсіз. Сондай-ақ, «символ» термині оның тензор емес екенін атап көрсетеді, өйткені ол координаттар жүйелері арасында қалай түрленеді; алайда оны тензорлық тығыздық ретінде қарастыруға болады. Леви-Чивита символы квадраттық матрицаның анықтамасын және үш өлшемді евклидтік кеңістіктегі екі вектордың векторлық көбейтіндісін Эйнштейннің индекстік нотациясымен көрсетуге мүмкіндік береді.
If any two indices are equal, the symbol is zero. When all indices are unequal, we have: where p (called the parity of the permutation) is the number of pairwise interchanges of indices necessary to unscramble i1, i2, , in into the order 1, 2, , n, and the factor (−1)^(p) is called the sign, or signature of the permutation. The value ε1 2 n must be defined, else the particular values of the symbol for all permutations are indeterminate. Most authors choose 1=ε1 2 n = +1, which means the Levi Civita symbol equals the sign of a permutation when the indices are all unequal. This choice is used throughout this article. The term "n dimensional Levi Civita symbol" refers to the fact that the number of indices on the symbol n matches the dimensionality of the vector space in question, which may be Euclidean or non Euclidean, for example, or Minkowski space. The values of the Levi Civita symbol are independent of any metric tensor and coordinate system. Also, the specific term "symbol" emphasizes that it is not a tensor because of how it transforms between coordinate systems; however it can be interpreted as a tensor density. The Levi Civita symbol allows the determinant of a square matrix, and the cross product of two vectors in three dimensional Euclidean space, to be expressed in Einstein index notation.
Анықтама
Леви-Чивита символы көбінесе үш және төрт өлшемде, сондай-ақ белгілі бір деңгейде екі өлшемде қолданылады, сондықтан жалпы жағдайды анықтамас бұрын осы өлшемдер келтіріледі.
The Levi Civita symbol is most often used in three and four dimensions, and to some extent in two dimensions, so these are given here before defining the general case.