Введение
Антисимметричный объект перестановки, действующий на тензоры
In mathematics, particularly in linear algebra, tensor analysis, and differential geometry, the Levi Civita symbol or Levi Civita epsilon represents a collection of numbers; defined from the sign of a permutation of the natural numbers 1, 2, , n, for some positive integer n. It is named after the Italian mathematician and physicist Tullio Levi Civita. Other names include the permutation symbol, antisymmetric symbol, or alternating symbol, which refer to its antisymmetric property and definition in terms of permutations. The standard letters to denote the Levi Civita symbol are the Greek lower case epsilon ε or ϵ, or less commonly the Latin lower case e. Index notation allows one to display permutations in a way compatible with tensor analysis: where each index i1, i2, , in takes values 1, 2, , n. There are n^(n) indexed values of εi1i2 in, which can be arranged into an n dimensional array. The key defining property of the symbol is total antisymmetry in the indices. When any two indices are interchanged, equal or not, the symbol is negated:
If any two indices are equal, the symbol is zero. When all indices are unequal, we have: where p (called the parity of the permutation) is the number of pairwise interchanges of indices necessary to unscramble i1, i2, , in into the order 1, 2, , n, and the factor (−1)^(p) is called the sign, or signature of the permutation. The value ε1 2 n must be defined, else the particular values of the symbol for all permutations are indeterminate. Most authors choose 1=ε1 2 n = +1, which means the Levi Civita symbol equals the sign of a permutation when the indices are all unequal. This choice is used throughout this article. The term "n dimensional Levi Civita symbol" refers to the fact that the number of indices on the symbol n matches the dimensionality of the vector space in question, which may be Euclidean or non Euclidean, for example, or Minkowski space. The values of the Levi Civita symbol are independent of any metric tensor and coordinate system. Also, the specific term "symbol" emphasizes that it is not a tensor because of how it transforms between coordinate systems; however it can be interpreted as a tensor density. The Levi Civita symbol allows the determinant of a square matrix, and the cross product of two vectors in three dimensional Euclidean space, to be expressed in Einstein index notation.
В математике, в частности в линейной алгебре, тензорном анализе и дифференциальной геометрии, символ Леви-Чивиты или эпсилон Леви-Чивиты представляет собой набор чисел, определяемый знаком перестановки натуральных чисел 1, 2, ..., n, для некоторого положительного целого числа n. Он назван в честь итальянского математика и физика Туллио Леви-Чивиты. Другие названия включают символ перестановки, антисимметричный символ или чередующийся символ, отражающие его антисимметричное свойство и определение через перестановки. Стандартными обозначениями для символа Леви-Чивиты являются греческие строчные буквы эпсилон ε или ϵ, реже – латинские строчные буквы e. Индексная нотация позволяет отображать перестановки способом, совместимым с тензорным анализом: где каждый индекс i1, i2, ..., in принимает значения 1, 2, ..., n. Существует n^n индексированных значений εi1i2...in, которые можно упорядочить в n-мерный массив. Ключевым определяющим свойством символа является полная антисимметрия относительно индексов. При перестановке любых двух индексов, равных или неравных, символ меняет знак на противоположный: если любые два индекса равны, символ равен нулю. Когда все индексы различны, имеем: где p (называемое чётностью перестановки) – это количество парных перестановок индексов, необходимых для упорядочения i1, i2, ..., in в порядок 1, 2, ..., n, а фактор (−1)^p называется знаком или сигнатурой перестановки. Значение ε1 2 ... n должно быть определено, иначе конкретные значения символа для всех перестановок будут неопределёнными. Большинство авторов выбирают ε1 2 ... n = +1, что означает, что символ Леви-Чивиты равен знаку перестановки, когда все индексы различны. Этот выбор используется на протяжении всей статьи. Термин "n-мерный символ Леви-Чивиты" указывает на то, что число индексов n в символе соответствует размерности рассматриваемого векторного пространства, которое может быть, например, евклидовым или неевклидовым, или пространством Минковского. Значения символа Леви-Чивиты не зависят от какого-либо метрического тензора и системы координат. Кроме того, специфический термин "символ" подчеркивает, что это не тензор из-за способа его преобразования между системами координат, однако его можно интерпретировать как тензорную плотность. Символ Леви-Чивиты позволяет выразить определитель квадратной матрицы и векторное произведение двух векторов в трехмерном евклидовом пространстве в индексной нотации Эйнштейна.
In mathematics, particularly in linear algebra, tensor analysis, and differential geometry, the Levi Civita symbol or Levi Civita epsilon represents a collection of numbers; defined from the sign of a permutation of the natural numbers 1, 2, , n, for some positive integer n. It is named after the Italian mathematician and physicist Tullio Levi Civita. Other names include the permutation symbol, antisymmetric symbol, or alternating symbol, which refer to its antisymmetric property and definition in terms of permutations. The standard letters to denote the Levi Civita symbol are the Greek lower case epsilon ε or ϵ, or less commonly the Latin lower case e. Index notation allows one to display permutations in a way compatible with tensor analysis: where each index i1, i2, , in takes values 1, 2, , n. There are n^(n) indexed values of εi1i2 in, which can be arranged into an n dimensional array. The key defining property of the symbol is total antisymmetry in the indices. When any two indices are interchanged, equal or not, the symbol is negated:
If any two indices are equal, the symbol is zero. When all indices are unequal, we have: where p (called the parity of the permutation) is the number of pairwise interchanges of indices necessary to unscramble i1, i2, , in into the order 1, 2, , n, and the factor (−1)^(p) is called the sign, or signature of the permutation. The value ε1 2 n must be defined, else the particular values of the symbol for all permutations are indeterminate. Most authors choose 1=ε1 2 n = +1, which means the Levi Civita symbol equals the sign of a permutation when the indices are all unequal. This choice is used throughout this article. The term "n dimensional Levi Civita symbol" refers to the fact that the number of indices on the symbol n matches the dimensionality of the vector space in question, which may be Euclidean or non Euclidean, for example, or Minkowski space. The values of the Levi Civita symbol are independent of any metric tensor and coordinate system. Also, the specific term "symbol" emphasizes that it is not a tensor because of how it transforms between coordinate systems; however it can be interpreted as a tensor density. The Levi Civita symbol allows the determinant of a square matrix, and the cross product of two vectors in three dimensional Euclidean space, to be expressed in Einstein index notation.
Определение
Символ Леви-Чивиты чаще всего используется в трех и четырех измерениях, а также в некоторой степени в двух измерениях, поэтому они рассматриваются здесь перед определением общего случая.