Кіріспе
Тұрақты ықтималдық үлестірілімдер отбасы
Эрланг үлестірімі – екі параметрлі үздіксіз ықтималдық үлестірілімдер отбасы. Екі параметр: оң бүтін сан – "пішін", және оң нақты сан – "шама". Кейде оның орнына "көлем", яғни шаманың кері шамасы қолданылады. Эрланг үлестірімі – әрқайсысының орташа мәні бірдей тәуелсіз экспоненциалдық айнымалылардың қосындысының үлестірімі. Бұл Poisson процесіндегі k-шы оқиғаға дейінгі уақыттың үлестірімі. Эрланг және Пуассон үлестірілімдері бір-бірін толықтырады, өйткені Пуассон үлестірімі белгілі бір уақыт ішінде болатын оқиғаларды санайды, ал Эрланг үлестірімі белгілі бір оқиғалар санының пайда болуына дейінгі уақытты санайды. Егер , онда үлестірім экспоненциалды үлестірілімге дейін тосып қалады. Эрланг үлестірімі – гамма-үлестірілімінің ерекше жағдайы, онда үлестірілімнің пішіні дискреттеледі. Эрланг үлестірімін А.К. Эрланг коммутациялық станция операторларына бір уақытта келіп түсетін телефон қоңырауларының санын зерттеу үшін жасаған. Телефон трафигін инженерлік тұрғысынан зерттеу жұмысы кезек күту жүйелеріндегі күту уақытын қарастыруға дейін кеңейтілді. Бұл үлестірім стохастикалық процестер саласында да қолданылады.
a positive integer the "shape", and
a positive real number the "rate". The "scale", the reciprocal of the rate, is sometimes used instead. The Erlang distribution is the distribution of a sum of independent exponential variables with mean each. Equivalently, it is the distribution of the time until the kth event of a Poisson process with a rate of The Erlang and Poisson distributions are complementary, in that while the Poisson distribution counts the events that occur in a fixed amount of time, the Erlang distribution counts the amount of time until the occurrence of a fixed number of events. When , the distribution simplifies to the exponential distribution. The Erlang distribution is a special case of the gamma distribution in which the shape of the distribution is discretized. The Erlang distribution was developed by A. K. Erlang to examine the number of telephone calls that might be made at the same time to the operators of the switching stations. This work on telephone traffic engineering has been expanded to consider waiting times in queueing systems in general. The distribution is also used in the field of stochastic processes.
Ерланг-к
Эрланг k үлестірімі (мұнда k – оң бүтін сан) Erlang үлестірімінің ықтималдық тығыздық функциясында (PDF) k мәнін қою арқылы анықталады. Мысалы, Эрланг 2 үлестірімі , бұл -қа тең.
Орташа
Эрланг үлестірілімінің медианасы үшін асимптотикалық қатар белгілі, оның коэффициенттерін есептеуге болады және шектері анықталған. Шамалау, яғни орташа мәннен төмен.
Күту уақыты
Орташа жылдамдықпен тәуелсіз болатын оқиғалар Пуассон процесімен модельделеді. Оқиғаның k рет тууы арасындағы күту уақыты Эрланг үлестірімімен сипатталады. (Берілген уақыт ішіндегі оқиғалар санына қатысты мәселе Пуассон таралымымен сипатталады.) Келіп түсетін қоңыраулар арасындағы уақытты өлшейтін Эрланг үлестірімі, келіп түсетін қоңыраулардың күтілетін ұзақтығымен бірге қолданылып, трафик жүктемесі туралы ақпаратты ерлангтармен өлшеуге мүмкіндік береді. Бұл, блокталған қоңыраулардың үзіліске ұшырауы (Эрланг B формуласы) немесе қызмет көрсетілгенге дейін кезекте күтуі (Эрланг C формуласы) туралы жасалған әртүрлі болжамдарға сәйкес, пакеттердің жоғалуы немесе кешігу мүмкіндігін анықтау үшін қолданылуы мүмкін. Эрлангтың B және C формулалары күнделікті қолданыста, мысалы, колл-орталықтарды жобалау үшін трафикті модельдеуде.
Басқа қолданбалар
Қатерлі ісік ауруларының жас бойынша таралуы көбінесе Эрланг таралымына сәйкес келеді, ал пішін және масштаб параметрлері тиісінше драйверлік оқиғалардың санын және олардың арасындағы уақыт аралығын болжайды. Көбірек айтқанда, Эрланг таралымы көп сатылы модельдердің нәтижесінде жасуша циклінің уақыт таралуына жақсы жуықтама ретінде ұсынылған. Ол сондай-ақ бизнес экономикасында сатып алулар арасындағы уақытты сипаттау үшін қолданылады.