Введение
Семейство непрерывных распределений вероятностей
Распределение Эрланга — это двухпараметрическое семейство непрерывных распределений вероятностей с областью определения. Два параметра:
положительное целое число — "форма", и
положительное вещественное число — "интенсивность". Иногда вместо интенсивности используется "масштаб", являющийся ей обратной величиной. Распределение Эрланга описывает распределение суммы независимых экспоненциально распределённых случайных величин со средним значением для каждой из них. Эквивалентно, это распределение времени до наступления k-го события в пуассоновском процессе с интенсивностью . Распределения Эрланга и Пуассона являются взаимодополняющими: распределение Пуассона подсчитывает количество событий, произошедших за фиксированный промежуток времени, а распределение Эрланга — время, необходимое для наступления фиксированного числа событий. При распределение упрощается до экспоненциального распределения. Распределение Эрланга является частным случаем гамма-распределения, в котором параметр формы принимает дискретные значения. Распределение Эрланга было разработано А. К. Эрлангом для анализа количества телефонных вызовов, одновременно поступающих операторам коммутационных станций. Эта работа в области теории трафика телефонной связи была расширена для рассмотрения времени ожидания в системах массового обслуживания в целом. Распределение также используется в области стохастических процессов.
a positive integer the "shape", and
a positive real number the "rate". The "scale", the reciprocal of the rate, is sometimes used instead. The Erlang distribution is the distribution of a sum of independent exponential variables with mean each. Equivalently, it is the distribution of the time until the kth event of a Poisson process with a rate of The Erlang and Poisson distributions are complementary, in that while the Poisson distribution counts the events that occur in a fixed amount of time, the Erlang distribution counts the amount of time until the occurrence of a fixed number of events. When , the distribution simplifies to the exponential distribution. The Erlang distribution is a special case of the gamma distribution in which the shape of the distribution is discretized. The Erlang distribution was developed by A. K. Erlang to examine the number of telephone calls that might be made at the same time to the operators of the switching stations. This work on telephone traffic engineering has been expanded to consider waiting times in queueing systems in general. The distribution is also used in the field of stochastic processes.
Эрланг-К
Распределение Эрланга с параметром k (где k — положительное целое число) определяется путем задания значения k в функции плотности вероятности (PDF) распределения Эрланга. Например, распределение Эрланга с параметром 2 равно , что эквивалентно .
Медиана
Асимптотическое разложение известно для медианы распределения Эрланга, для которой можно вычислить коэффициенты и известны границы. Приближение, то есть значение ниже среднего.
Время ожидания
События, происходящие независимо с некоторой средней частотой, моделируются процессом Пуассона. Время ожидания между k появлениями события распределено по Эрлангу. (Смежная задача о числе событий за заданный промежуток времени описывается распределением Пуассона.) Распределение Эрланга, измеряющее время между поступающими вызовами, может использоваться совместно с ожидаемой длительностью вызовов для получения информации о нагрузке на сеть, измеряемой в эрлангах. Это позволяет определить вероятность потери или задержки пакетов, исходя из различных предположений о том, прерываются ли блокированные вызовы (формула Эрланга B) или ставятся в очередь до обслуживания (формула Эрланга C). Формулы Эрланга B и C до сих пор широко используются для моделирования трафика в таких приложениях, как проектирование колл-центров.
Другие применения
Распределение заболеваемости раком по возрасту часто соответствует распределению Эрланга, при этом параметры формы и масштаба предсказывают, соответственно, число драйверных событий и интервал времени между ними. В более общем смысле, распределение Эрланга было предложено в качестве хорошего приближения к распределению времени клеточного цикла, как результат многостадийных моделей. Оно также используется в бизнес-экономике для описания интервалов между покупками.