Кіріспе
Топологиялық топ, белгілі бір мағынада шекті топтар жүйесінен құрастырылған. Математикада, проконечно топ – бұл шекті топтар жүйесінен белгілі бір жағынан құралған топологиялық топ. Проконечно топты пайдалану идеясы – шекті топтардың бүкіл жүйесіне "біркелкі" немесе "көріністі" көзқарас ұсыну. Проконечно топтың қасиеттері, әдетте, жүйенің біркелкі қасиеттері болып табылады. Мысалы, проконечно топ шекті түрде (топологиялық топ ретінде) туындайды, егер және тек қана жүйедегі әрбір топты белгілі бір элементтер арқылы құруға болады. Шекті топтар туралы көптеген теоремалар проконечно топтарға оңай жалпыланады; мысал ретінде Лагранж теоремасы және Силов теоремалары. Проконечно топты құру үшін шекті топтар жүйесі және олардың арасындағы топтық гомоморфизмдер қажет. Жалпылықты жоғалтпай, бұл гомоморфизмдерді сюръективті деп қарастыруға болады, онда шекті топтар алынған проконечно топтың фактор-топтары ретінде көрінеді; белгілі бір мағынада, бұл факторлар проконечно топқа жуықтап келеді. Проконечно топтардың маңызды мысалдары – p-адик бүтін сандардың қосымша топтары және шексіз дәрежелі өріс кеңейтулерінің Галуа топтары. Кез келген проконечно топ тығыз және толығымен үзіліссіз болады. Бұл ұғымның тығыз емес жалпылауы – жергілікті проконечно топтар. Одан да жалпырақ – толығымен үзіліссіз топтар бар.
In mathematics, a profinite group is a topological group that is in a certain sense assembled from a system of finite groups. The idea of using a profinite group is to provide a "uniform", or "synoptic", view of an entire system of finite groups. Properties of the profinite group are generally speaking uniform properties of the system. For example, the profinite group is finitely generated (as a topological group) if and only if there exists such that every group in the system can be generated by elements. Many theorems about finite groups can be readily generalised to profinite groups; examples are Lagrange's theorem and the Sylow theorems. To construct a profinite group one needs a system of finite groups and group homomorphisms between them. Without loss of generality, these homomorphisms can be assumed to be surjective, in which case the finite groups will appear as quotient groups of the resulting profinite group; in a sense, these quotients approximate the profinite group. Important examples of profinite groups are the additive groups of adic integers and the Galois groups of infinite degree field extensions. Every profinite group is compact and totally disconnected. A non compact generalization of the concept is that of locally profinite groups. Even more general are the totally disconnected groups.
Анықтама
Шексіз топтарды екі эквивалентті тәсілмен анықтауға болады.
Бірінші анықтама (құрылысшылық)
Проконекті топ – дискретті шекті топтардың кері жүйесінің кері шегіне изоморфты топологиялық топ. Бұл жағдайда кері жүйе бағытталған жиын, дискретті топологияға ие шекті топтардың индекстелген отбасы және гомоморфизмдер отбасынан тұрады, мұндағы гомоморфизмдер - сәйкестік картасы болып табылады және жиын композициялық қасиетті қанағаттандырады, яғни кез келген үшін . Кері шек – мына жиын:
салыстырмалы көбейту топологиясымен жабдықталған. Кері шекті универсалды қасиет арқылы да анықтауға болады. Категориялық тұрғыдан қарағанда, бұл кофильтрленген шек құрастырудың ерекше жағдайы.
Екінші анықтама (аксиомалық)
Профиниттік топ – компактты және толығымен үзіліссіз топологиялық топ: яғни, Тас кеңістігі болып табылатын топологиялық топ.
Суръективті жүйелер
Іс жүзінде, шекті топтардың кері жүйесі көбінесе , яғни оның барлық гомоморфизмдері сюръективті болады. Жалпылықты жоғалтпай, тек сюръективті жүйелерді қарастыру жеткілікті, себебі кез келген кері жүйе үшін, ең бастысы оның про-шексіз тобын құрып, содан кейін оны өзінің про-шексіз толықталуы ретінде қайта жасай беруге болады.
Мысалдар
Егер дискретті топология берілсе, шекті топтар про-шексіз болады. Адиктік бүтін сандардың қосылу бойынша алынған тобы про-шексіз (әсіресе, проциклді). Бұл – барлық табиғи сандар жиыны бойынша және табиғи бейнелеулер арқылы шекті топтардың кері шегі. Бұл про-шексіз топтағы топология, -дің адиктік бағалауынан туындайтын топологиямен бірдей. Про-шексіз бүтін сандар тобы – нақтырақ айтқанда, бұл – шекті топтардың кері шегі, мұнда барлық модульдер бойынша және белгіленген модульдік бейнелеулер арқылы. Бұл топ – барлық топтардың көбейтіндісі және ол кез келген шекті өрістің абсолютті Галуа тобы болып табылады. Шеңберсіз дәрежедегі өріс кеңейтулерінің Галуа теориясы табиғи түрде про-шексіз Галуа топтарын тудырады. Атап айтқанда, егер Галуа кеңейтуі болса, онда элементтерінің барлығын сақтайтын өріс автоморфизмдерінен тұратын топты қарастырайық. Бұл топ – шекті топтардың кері шегі, мұнда шекті Галуа кеңейтуі болып табылатын барлық аралық өрістер бойынша диапазон анықталады. Кері шек процесінде шектеу гомоморфизмдері қолданылады, ал алынған топология Вольфганг Круллдың құрметіне Крулл топологиясы деп аталады. Крулл әрбір про-шексіз топтың қандай да бір өрістің Галуа теориясынан туындайтын топқа изоморфты екенін көрсетті, бірақ бұл жағдайда қандай өріс болатынын (әзірге) бақылау мүмкін емес. Шындығында, көптеген өрістер үшін Галуа топтары ретінде қандай шекті топтар пайда болатыны туралы жалпы мәлімдеме жасау қиын. Бұл – өріс үшін кері Галуа мәселесі (кейбір өрістер үшін кері Галуа мәселесі шешілген, мысалы, күрделі сандар бойынша бір айнымалыдағы рационалдық функциялар өрісі). Кез келген про-шексіз топ өрістің абсолютті Галуа тобы ретінде пайда болмайды. Алгебралық геометрияда қарастырылатын этикалық негізгі топтар да про-шексіз топтар болып табылады, себебі алгебра алгебралық түрдің шекті жабындыларын ғана "көре алады". Алгебралық топологияның негізгі топтары, әдетте, про-шексіз емес: кез келген белгіленген топ үшін, оның негізгі тобына тең болатын 2 өлшемді CW кешені бар. Жергілікті шекті тамырлы ағаштың автоморфизм тобы про-шексіз болып табылады.
The group of profinite integers is the profinite completion of In detail, it is the inverse limit of the finite groups where with the modulo maps for This group is the product of all the groups and it is the absolute Galois group of any finite field. The Galois theory of field extensions of infinite degree gives rise naturally to Galois groups that are profinite. Specifically, if is a Galois extension, consider the group consisting of all field automorphisms of that keep all elements of fixed. This group is the inverse limit of the finite groups where ranges over all intermediate fields such that is a finite Galois extension. For the limit process, the restriction homomorphisms are used, where The topology obtained on is known as the Krull topology after Wolfgang Krull. showed that every profinite group is isomorphic to one arising from the Galois theory of some field but one cannot (yet) control which field will be in this case. In fact, for many fields one does not know in general precisely which finite groups occur as Galois groups over This is the inverse Galois problem for a field (For some fields the inverse Galois problem is settled, such as the field of rational functions in one variable over the complex numbers.) Not every profinite group occurs as an absolute Galois group of a field. The étale fundamental groups considered in algebraic geometry are also profinite groups, roughly speaking because the algebra can only 'see' finite coverings of an algebraic variety. The fundamental groups of algebraic topology, however, are in general not profinite: for any prescribed group, there is a 2 dimensional CW complex whose fundamental group equals it. The automorphism group of a locally finite rooted tree is profinite.
Шексіз топтар
Бұл ұғым – profinite топтарға қатысты тұжырымдамалық дуал; яғни, егер топ шекті топтардың индуктивті жүйесінің тікелей шегі болса, онда ол ин-шекті болып табылады. (Атап айтқанда, ол ин-топ.) Көбінесе терминология басқаша: егер әрбір шекті түрде туындаған ішкі топ шекті болса, онда топ жергілікті шекті деп аталады. Шындығында, бұл "ин-шекті" болумен эквивалентті. Понтрягин дуалдығын қолдану арқылы абельдік profinite топтардың жергілікті шекті дискретті абельдік топтармен дуалдықта екенін көруге болады. Ал соңғылары – абельдік торсиялық топтар.