Введение
Топологическая группа, которая в определенном смысле составлена из системы конечных групп. В математике, проконечная группа — это топологическая группа, которая в определенном смысле составлена из системы конечных групп. Идея использования проконечной группы заключается в том, чтобы предоставить "единый" или "обзорный" взгляд на всю систему конечных групп. Свойства проконечной группы, как правило, являются общими свойствами системы. Например, проконечная группа конечно порождена (как топологическая группа) тогда и только тогда, когда существует такое число, что каждая группа в системе может быть порождена этим числом элементов. Многие теоремы о конечных группах могут быть легко обобщены на проконечные группы; примерами являются теорема Лагранжа и теоремы Силоу. Для построения проконечной группы необходима система конечных групп и групповых гомоморфизмов между ними. Без потери общности эти гомоморфизмы можно считать сюръективными, в этом случае конечные группы будут выступать в качестве факторгрупп получаемой проконечной группы; в некотором смысле эти факторгруппы аппроксимируют проконечную группу. Важными примерами проконечных групп являются аддитивные группы p-адических целых чисел и группы Галуа бесконечномерных расширений поля. Каждая проконечная группа компактна и полна́я дисконнектность. Некомпактным обобщением этого понятия являются локально проконечные группы. Еще более общими являются совершенно дисконнектные группы.
In mathematics, a profinite group is a topological group that is in a certain sense assembled from a system of finite groups. The idea of using a profinite group is to provide a "uniform", or "synoptic", view of an entire system of finite groups. Properties of the profinite group are generally speaking uniform properties of the system. For example, the profinite group is finitely generated (as a topological group) if and only if there exists such that every group in the system can be generated by elements. Many theorems about finite groups can be readily generalised to profinite groups; examples are Lagrange's theorem and the Sylow theorems. To construct a profinite group one needs a system of finite groups and group homomorphisms between them. Without loss of generality, these homomorphisms can be assumed to be surjective, in which case the finite groups will appear as quotient groups of the resulting profinite group; in a sense, these quotients approximate the profinite group. Important examples of profinite groups are the additive groups of adic integers and the Galois groups of infinite degree field extensions. Every profinite group is compact and totally disconnected. A non compact generalization of the concept is that of locally profinite groups. Even more general are the totally disconnected groups.
Определение
Конечные группы можно определить двумя эквивалентными способами.
Первое определение (конструктивное)
Проконечная группа — это топологическая группа, изоморфная обратному пределу обратной системы дискретных конечных групп. В этом контексте обратная система состоит из направленного множества, индексированного семейства конечных групп, каждая из которых наделена дискретной топологией, и семейства гомоморфизмов, таких что для каждого *i* отображение является отображением тождества на *G<sub>i</sub>*, а семейство удовлетворяет свойству композиции: для любых *i ≤ j* выполняется *φ<sub>ij</sub> ∘ φ<sub>ik</sub> = φ<sub>jk</sub>*. Обратный предел — это множество:
оснащенное относительной произведенной топологией. Обратный предел можно также определить через универсальное свойство. В терминах теории категорий это частный случай построения кофильтрованного предела.
Второе определение (аксиоматическое)
Профинитная группа — это компактная и абсолютно несвязная топологическая группа, то есть топологическая группа, являющаяся также пространством Стоуна.
Суръективные системы
На практике обратная система конечных групп почти всегда сюръективна, то есть все ее отображения являются сюръективными. Без потери общности достаточно рассматривать только сюръективные системы, поскольку для любой обратной системы можно сначала построить ее проконечную группу, а затем восстановить ее как собственное проконечное завершение.
Примеры
Конечные группы являются проконечными, если им задана дискретная топология. Группа p-адических целых чисел относительно сложения является проконечной (в действительности, проциклической). Она является обратным пределом конечных групп, где n пробегает все натуральные числа и рассматриваются естественные отображения для n. Топология на этой проконечной группе совпадает с топологией, возникающей из p-адичной оценки на . Группа проконечных целых чисел является проконечным завершением . В частности, это обратный предел конечных групп, где n с отображениями по модулю для n. Эта группа является произведением всех групп , и она является абсолютной группой Галуа любого конечного поля. Теория Галуа расширений поля бесконечной степени естественным образом порождает группы Галуа, являющиеся проконечными. В частности, если E/F – расширение Галуа, рассмотрим группу, состоящую из всех полевых автоморфизмов поля E, фиксирующих все элементы поля F. Эта группа является обратным пределом конечных групп, где пробегает все промежуточные поля, такие что E/ – конечное расширение Галуа. Для процесса взятия предела используются отображения ограничения, где . Топология, полученная на , известна как топология Крулла, названная в честь Вольфганга Крулла. Крулл показал, что каждая проконечная группа изоморфна группе, возникающей из теории Галуа некоторого поля K, но нельзя (пока) контролировать, какое именно поле K будет в этом случае. Фактически, для многих полей K не известно в общем случае, какие конечные группы возникают как группы Галуа над K. Это обратная задача Галуа для поля K. (Для некоторых полей K обратная задача Галуа решена, например, для поля рациональных функций одной переменной над комплексными числами.) Не каждая проконечная группа является абсолютной группой Галуа некоторого поля. Этальные фундаментальные группы, рассматриваемые в алгебраической геометрии, также являются проконечными группами, поскольку алгебра может "видеть" только конечные накрытия алгебраического многообразия. Фундаментальные группы алгебраической топологии, однако, в общем случае не являются проконечными: для любой заданной группы существует 2-мерный CW-комплекс, фундаментальная группа которого равна этой группе. Группа автоморфизмов локально конечного корневого дерева является проконечной.
The group of profinite integers is the profinite completion of In detail, it is the inverse limit of the finite groups where with the modulo maps for This group is the product of all the groups and it is the absolute Galois group of any finite field. The Galois theory of field extensions of infinite degree gives rise naturally to Galois groups that are profinite. Specifically, if is a Galois extension, consider the group consisting of all field automorphisms of that keep all elements of fixed. This group is the inverse limit of the finite groups where ranges over all intermediate fields such that is a finite Galois extension. For the limit process, the restriction homomorphisms are used, where The topology obtained on is known as the Krull topology after Wolfgang Krull. showed that every profinite group is isomorphic to one arising from the Galois theory of some field but one cannot (yet) control which field will be in this case. In fact, for many fields one does not know in general precisely which finite groups occur as Galois groups over This is the inverse Galois problem for a field (For some fields the inverse Galois problem is settled, such as the field of rational functions in one variable over the complex numbers.) Not every profinite group occurs as an absolute Galois group of a field. The étale fundamental groups considered in algebraic geometry are also profinite groups, roughly speaking because the algebra can only 'see' finite coverings of an algebraic variety. The fundamental groups of algebraic topology, however, are in general not profinite: for any prescribed group, there is a 2 dimensional CW complex whose fundamental group equals it. The automorphism group of a locally finite rooted tree is profinite.
Неоконченные группы
Существует понятие инд-конечности, которое является концептуальным дуалом к проконечным группам; то есть группа G инд-конечна, если она является прямым пределом индуктивной системы конечных групп. (В частности, это инд-группа.) Обычно используется другая терминология: группа G называется локально конечной, если каждая конечно порожденная подгруппа конечна. Это, по сути, эквивалентно инд-конечности. Применяя двойственность Понтрягина, можно увидеть, что абелевы проконечные группы находятся в двойственности с локально конечными дискретными абелевыми группами. Последние – это просто абелевы группы кручения.