Менгер губкасы: Үш өлшемді фрактал

Кіріспе

Үш өлшемді фрактал

Математикада Менгер губкасы (Менгер кубі, Менгер әмбебап қисығы, Серпинский кубі немесе Серпинский губкасы деп те аталады) — фрактал қисық. Ол бір өлшемді Кантор жиыны және екі өлшемді Серпинский кілемшесінің үш өлшемді жалпыламасы болып табылады. Оны алғаш рет Карл Менгер 1926 жылы топологиялық өлшем түсінігін зерттеу кезінде сипаттаған.

Қасиеттері

Менгер губкасының th сатысы, , әрқайсысының қабырғасының ұзындығы (1/3)n болатын кіші кубтардан тұрады. Осылайша, жалпы көлемі болып табылады. Жалпы бет ауданы келесі өрнекпен беріледі. Сондықтан, құрылыстың көлемі нөлге жақындаса, оның бет ауданы шексіз өседі. Дегенмен, құрылыста таңдалған кез келген бет құрылыстың жалғасуымен толығымен тесіледі, сондықтан шегі қатты дене де емес, бет те емес; оның топологиялық өлшемі 1 және сәйкесінше қисық ретінде қарастырылады. Құрылыстың әрбір жағы Сиерпинский кілемшесіне айналады, ал губканың кез келген куб диагоналімен немесе жақтардың орта сызығымен қиылысы Кантор жиыны болып табылады. Губканың ауырлық ортасы арқылы және кеңістіктік диагональға перпендикуляр қимасы – алты қырлы симметриямен орналасқан гексаграммалармен тесілген дұрыс алтыбұрыш. Бұл гексаграммалардың саны, кему ретімен, келесідей беріледі, мұндағы . Менгер губкасының Хаусдорф өлшемі ≅ 2.727. Менгер губкасының Лебег қаптама өлшемі – бір, кез келген қисық сияқты. Менгер 1926 жылғы құрылысында губканың әмбебап қисық екенін көрсетті, яғни кез келген қисық Менгер губкасының кіші жиынына гомеоморфты болады; мұнда қисық – Лебегтің бір өлшемді қаптамасы бар кез келген компактты метрикалық кеңістік, бұл кездейсоқ байланысқан, санаулы жиектері, төбелері және жабық контурлары бар ағаштар мен графтарды қамтиды. Сол сияқты, Сиерпинский кілемшесі – екі өлшемді жазықтықта салынатын барлық қисықтар үшін әмбебап қисық. Үш өлшемде құрылған Менгер губкасы бұл идеяны жазықтық емес және кез келген өлшемге енгізілуі мүмкін графтарға дейін кеңейтеді. Менгер губкасы – жабық жиын; ол шектелген болғандықтан, Хайне–Борель теоремасы оның компактты екенін білдіреді. Оның Лебег өлшемі 0-ге тең. Оның ішінде үздіксіз жолдар болғандықтан, ол санаусыз жиын. Эксперименттер сондай-ақ, Менгер губкасы құрылымы бар кубтар, тегіс материал үшін, тесіктері жоқ кубтарға қарағанда, соққыларды бес есе жақсы таратуға қабілетті екенін көрсетті.

The th stage of the Menger sponge, , is made up of smaller cubes, each with a side length of (1/3)n. The total volume of is thus The total surface area of is given by the expression Therefore, the construction's volume approaches zero while its surface area increases without bound. Yet any chosen surface in the construction will be thoroughly punctured as the construction continues so that the limit is neither a solid nor a surface; it has a topological dimension of 1 and is accordingly identified as a curve. Each face of the construction becomes a Sierpinski carpet, and the intersection of the sponge with any diagonal of the cube or any midline of the faces is a Cantor set. The cross section of the sponge through its centroid and perpendicular to a space diagonal is a regular hexagon punctured with hexagrams arranged in six fold symmetry. The number of these hexagrams, in descending size, is given by , with
The sponge's Hausdorff dimension is ≅ 2.727. The Lebesgue covering dimension of the Menger sponge is one, the same as any curve. Menger showed, in the 1926 construction, that the sponge is a universal curve, in that every curve is homeomorphic to a subset of the Menger sponge, where a curve means any compact metric space of Lebesgue covering dimension one; this includes trees and graphs with an arbitrary countable number of edges, vertices and closed loops, connected in arbitrary ways. Similarly, the Sierpinski carpet is a universal curve for all curves that can be drawn on the two dimensional plane. The Menger sponge constructed in three dimensions extends this idea to graphs that are not planar and might be embedded in any number of dimensions. The Menger sponge is a closed set; since it is also bounded, the Heine–Borel theorem implies that it is compact. It has Lebesgue measure 0. Because it contains continuous paths, it is an uncountable set. Experiments also showed that cubes with a Menger sponge structure could dissipate shocks five times better for the same material than cubes without any pores.