Введение

Трехмерный фрактал

В математике губка Менгера (также известная как куб Менгера, универсальная кривая Менгера, куб Серпинского или губка Серпинского) — это фрактальная кривая. Она является трехмерным обобщением одномерного множества Кантора и двухмерного ковра Серпинского. Впервые она была описана Карлом Менгером в 1926 году в его исследованиях концепции топологической размерности.

Свойства

n-я стадия губки Менгера, , состоит из меньших кубов, каждый с длиной стороны (1/3)n. Общий объем, таким образом, равен , а общая площадь поверхности дается выражением . Таким образом, объем конструкции стремится к нулю, а ее площадь поверхности возрастает неограниченно. Однако любая выбранная поверхность в конструкции будет тщательно пронизана по мере продолжения строительства, так что предел не является ни твердым телом, ни поверхностью; он имеет топологическую размерность 1 и, соответственно, идентифицируется как кривая. Каждая грань конструкции становится ковром Серпинского, а пересечение губки с любой диагональю куба или любой средней линией граней – множество Кантора. Поперечное сечение губки через ее центроид и перпендикулярно пространственной диагонали представляет собой правильный шестиугольник, пронизанный гексаграммами, расположенными с шестикратной симметрией. Число этих гексаграмм, в порядке убывания размера, задается формулой , при этом размерность Хаусдорфа губки равна ≅ 2.727. Размерность Лебега покрытия губки Менгера равна 1, как и у любой кривой. Менгер показал в своей конструкции 1926 года, что губка является универсальной кривой, поскольку любая кривая гомеоморфна подмножеству губки Менгера, где под кривой понимается любое компактное метрическое пространство размерности Лебега, равной одному; это включает деревья и графы с произвольным счетным числом ребер, вершин и замкнутых контуров, соединенных произвольным образом. Аналогично, ковер Серпинского является универсальной кривой для всех кривых, которые могут быть нарисованы на двухмерной плоскости. Губка Менгера, построенная в трех измерениях, распространяет эту идею на графы, которые не являются плоскими и могут быть вложены в любое число измерений. Губка Менгера является замкнутым множеством; поскольку она также ограничена, теорема Хайне-Бореля подразумевает, что она компактна. Она имеет меру Лебега 0. Поскольку она содержит непрерывные пути, это несчетное множество. Эксперименты также показали, что кубы с губчатой структурой Менгера могут рассеивать ударные волны в пять раз эффективнее для того же материала, чем кубы без пор.