Введение

Идеал в кольце, обладающий свойствами, схожими с простыми элементами.
Идеалы в теории колец

В алгебре простой идеал — это подмножество кольца, которое разделяет многие важные свойства простых чисел в кольце целых чисел. Простые идеалы для целых чисел — это множества, содержащие все кратные данного простого числа, вместе с нулевым идеалом. Примитивные идеалы являются простыми, а простые идеалы одновременно первичные и полупростые.

Примеры

Простой пример: в кольце подмножество чётных чисел является простым идеалом. Для интегральной области любой простой элемент порождает главный простой идеал. Критерий Эйзенштейна для интегральных областей (следовательно, для областей факториального разложения) является эффективным инструментом для определения, является ли элемент в кольце многочленов неприводимым. Например, рассмотрим неприводимый многочлен в кольце многочленов над некоторым полем. Если R обозначает кольцо многочленов двух переменных с комплексными коэффициентами, то идеал, порождённый многочленом Y² − X³ − X − 1, является простым идеалом (см. эллиптическую кривую). В кольце всех многочленов с целыми коэффициентами идеал, порождённый 2 и X, является простым идеалом. Он состоит из всех многочленов, у которых постоянный член чётный. В любом кольце R максимальный идеал — это идеал M, который является максимальным в множестве всех собственных идеалов R, то есть M содержится ровно в двух идеалах R: в самом себе и во всём кольце R. Любой максимальный идеал является простым. В области главных идеалов каждый ненулевой простой идеал является максимальным, но это не всегда верно. Для области факториального разложения теорема Гильберта о нулях утверждает, что каждый максимальный идеал имеет вид . Если M — гладкое многообразие, R — кольцо гладких вещественных функций на M, а x — точка в M, то множество всех гладких функций f с образует простой идеал (даже максимальный идеал) в R.

Свойства

Идеал I в кольце R (с единицей) является простым тогда и только тогда, когда факторкольцо R/I является областью целостности. В частности, коммутативное кольцо (с единицей) является областью целостности тогда и только тогда, когда (0) является простым идеалом. (Обратите внимание, что в нулевом кольце нет простых идеалов, поскольку идеал (0) является всем кольцом.) Идеал I является простым тогда и только тогда, когда его теоретическое дополнение является мультипликативно замкнутым. Каждое ненулевое кольцо содержит хотя бы один простой идеал (фактически, оно содержит хотя бы один максимальный идеал), что является прямым следствием теоремы Крулла. В более общем случае, если S – любое мультипликативно замкнутое множество в R, то лемма, по существу принадлежащая Круллу, показывает, что существует идеал в R, максимальный относительно того, чтобы быть непересекающимся с S, и при этом идеал должен быть простым. Это можно обобщить и на некоммутативные кольца (см. ниже). В рассматриваемом случае у нас есть теорема Крулла, и она восстанавливает максимальные идеалы R. Другая типичная m-система – множество {x, x², x³, x⁴,...} всех положительных степеней не нильпотентного элемента. Прообраз простого идеала при гомоморфизме колец является простым идеалом. Аналогичное утверждение не всегда верно для максимальных идеалов, что является одной из причин, по которой алгебраические геометры определяют спектр кольца как множество его простых, а не максимальных идеалов; требуется, чтобы гомоморфизм колец определял отображение между их спектрами. Множество всех простых идеалов (называемое спектром кольца) содержит минимальные элементы (называемые минимальными простыми идеалами). Геометрически они соответствуют неразложимым компонентам спектра. Сумма двух простых идеалов не обязательно является простым идеалом. Например, рассмотрим кольцо с простыми идеалами и (идеалами, порожденными x² + y² − 1 и x соответственно). Их сумма , однако, не является простым: но ее два множителя таковыми не являются. Альтернативно, факторкольцо имеет делители нуля, поэтому оно не является областью целостности, и, следовательно, P + Q не может быть простым. Не каждый идеал, который нельзя разложить на два идеала, является простым идеалом; например, нельзя разложить, но он не является простым. В коммутативном кольце R с по крайней мере двумя элементами, если каждый собственный идеал является простым, то кольцо является полем. (Если идеал (0) является простым, то кольцо R является областью целостности. Если q – любой ненулевой элемент R и идеал (q²) является простым, то он содержит q, а значит, q обратим.) Ненулевой главный идеал является простым тогда и только тогда, когда он порожден простым элементом. В UFD каждый ненулевой простой идеал содержит простой элемент.

Применение

Одно из применений простых идеалов встречается в алгебраической геометрии, где многообразия определяются как множества нулей идеалов в кольцах многочленов. Оказывается, что неприводимые многообразия соответствуют простым идеалам. В современном абстрактном подходе начинают с произвольного коммутативного кольца и превращают множество его простых идеалов, также называемое спектром, в топологическое пространство, что позволяет определить обобщения многообразий, называемые схемами, которые находят применение не только в геометрии, но и в теории чисел. Введение простых идеалов в алгебраическую теорию чисел стало важным шагом вперед: было осознано, что важное свойство единственности разложения на множители, выраженное в фундаментальной теореме арифметики, не выполняется в каждом кольце алгебраических целых чисел, но была найдена замена, когда Рихард Дедекинд заменил элементы идеалами, а простые элементы – простыми идеалами; см. область Дедекинда.

Примеры

Любой примитивный идеал является простым. Как и в случае с коммутативными кольцами, максимальные идеалы просты, и простые идеалы содержат минимальные простые идеалы. Кольцо является простым кольцом тогда и только тогда, когда нулевой идеал является простым идеалом, и, более того, кольцо является областью целостности тогда и только тогда, когда нулевой идеал является вполне простым идеалом. Еще один факт из коммутативной теории, переносимый в некомутативную теорию, заключается в том, что если A – ненулевой R-модуль, а P – максимальный элемент в частично упорядоченном множестве идеалов аннигиляторов подмодулей A, то P является простым.

Важные факты

Лемма об избегании. Если R – коммутативное кольцо, а A – подкольцо (возможно, без единицы), и I₁, …, Iₙ – набор идеалов кольца R, среди которых не более двух не являются простыми, то если A не содержится ни в одном из Iⱼ, то оно также не содержится в объединении I₁, …, Iₙ. В частности, A может быть идеалом R. Если S – произвольная m-система в R, то лемма, по существу принадлежащая Круллу, показывает, что существует идеал I в R, максимальный по свойству быть непересекающимся с S, и при этом идеал I должен быть простым (простоту I можно доказать следующим образом: если x ∈ I, то существуют элементы a₁, …, aₙ такие что x = a₁…aₙ по максимальному свойству I. Теперь, если aᵢ ∉ I для всех i, то x ∉ I, что является противоречием). Пересечение членов убывающей цепи простых идеалов является простым идеалом, а в коммутативном кольце объединение членов возрастающей цепи простых идеалов является простым идеалом. С помощью леммы Зорна эти наблюдения подразумевают, что частично упорядоченное множество простых идеалов коммутативного кольца (упорядоченное по включению) имеет максимальные и минимальные элементы.

Подключение к максимальной

Первичные идеалы часто могут быть получены как максимальные элементы определенных множеств идеалов. Например:
Идеал, максимальный по отношению к пустому пересечению с фиксированной системой m, является простым. Идеал, максимальный среди аннигиляторов подмодулей фиксированного R-модуля M, является простым. В коммутативном кольце идеал, максимальный по свойству быть неглавным, является простым. В коммутативном кольце идеал, максимальный по свойству быть несчетно порожденным, является простым.