Кіріспе
Комплекстік сан, оның нақты және жолғары бөлігі де бүтін сандар. Сандар теориясында Гаусс бүтін саны — нақты және жолғары бөлігі де бүтін сандар болатын комплекс сандар. Гаусс бүтін сандары, комплекс сандардың қалыпты қосылуы және көбейтілуі арқылы интегралды домен құрайды, әдетте ол немесе деп жазылады.
In number theory, a Gaussian integer is a complex number whose real and imaginary parts are both integers. The Gaussian integers, with ordinary addition and multiplication of complex numbers, form an integral domain, usually written as or
Gaussian integers share many properties with integers: they form a Euclidean domain, and have thus a Euclidean division and a Euclidean algorithm; this implies unique factorization and many related properties. However, Gaussian integers do not have a total ordering that respects arithmetic. Gaussian integers are algebraic integers and form the simplest ring of quadratic integers. Gaussian integers are named after the German mathematician Carl Friedrich Gauss.
Гаусс бүтін сандары бүтін сандармен көптеген қасиеттерді бөліседі: олар Евклид доменін құрайды, сондықтан Евклидтік бөлу және Евклидтік алгоритмге ие; бұл бірегей жіктелуді және көптеген байланысты қасиеттерді білдіреді. Дегенмен, Гаусс бүтін сандары арифметиканы сақтайтын толық реттеуге ие емес. Гаусс бүтін сандары алгебралық бүтін сандар болып табылады және квадраттық бүтін сандардың ең қарапайым сақинасын құрайды. Гаусс бүтін сандары неміс математигі Карл Фридрих Гаусс атымен аталады.
In number theory, a Gaussian integer is a complex number whose real and imaginary parts are both integers. The Gaussian integers, with ordinary addition and multiplication of complex numbers, form an integral domain, usually written as or
Gaussian integers share many properties with integers: they form a Euclidean domain, and have thus a Euclidean division and a Euclidean algorithm; this implies unique factorization and many related properties. However, Gaussian integers do not have a total ordering that respects arithmetic. Gaussian integers are algebraic integers and form the simplest ring of quadratic integers. Gaussian integers are named after the German mathematician Carl Friedrich Gauss.
Негізгі идеалдар
Гаусс бүтін сандарының G сақинасы Евклид домені болғандықтан, G – негізгі идеалдық домен, яғни G-нің кез келген идеалы негізгі болып табылады. Нақтырақ айтқанда, I идеалы R сақинасының ішкі жиыны болып табылады, сондықтан I элементтерінің кез келген қосындысы және I элементінің R элементімен кез келген көбейтіндісі I-ге жатады. Идеал негізгі болып есептеледі, егер ол бір ғана g элементінің еселіктерінен тұрса, яғни, келесідей түрі болады.
Осы жағдайда, идеал g арқылы туындайды немесе g идеалдың генераторы деп айтылады. Гаусс бүтін сандарының сақинасындағы кез келген I идеалы негізгі болып табылады, себебі, егер I ішінде нөлден өзгеше, ең кішкентай нормаға ие g элементін таңдаса, I-нің кез келген x элементі үшін, x-ті g-ге Евклидтік бөлудің қалдығы да I-ге жатады және g-ден кішкентай нормаға ие болады; g таңдалуының нәтижесінде, бұл норма нөлге тең, демек, қалдық та нөлге тең. Яғни, x = qg, мұнда q – бөлінді. Кез келген g үшін, g арқылы туындайтын идеалды g-нің кез келген серігі де туындатады, яғни g, gi, –g, –gi; басқа ешқандай элемент сол идеалды тудырмайды. Идеалдың барлық генераторлары бірдей нормаға ие болғандықтан, идеалдың нормасы оның кез келген генераторының нормасына тең. Кейбір жағдайларда, әрбір идеал үшін бір рет генератор таңдау пайдалы. Мұны істеудің екі классикалық тәсілі бар, екеуі де алдымен тақ нормаға ие идеалдарды қарастырады. Егер g = a + bi-дің нормасы a² + b² тақ болса, онда a және b-нің бірі тақ, ал екіншісі жұп болады. Осылайша, g-нің нақты бөлігі a болатын бір ғана серігі бар, ол тақ және оң. Өзінің түпкілікті еңбегінде Гаусс басқаша таңдау жасады, оның 2 + 2i-ге бөлінуінің қалдығы бірге тең болатын бірегей серікті таңдады. Шындығында, N(2 + 2i) = 8 болғандықтан, қалдықтың нормасы 4-тен аспайды. Бұл норма тақ болғандықтан және 3 Гаусс бүтін санының нормасы болмағандықтан, қалдықтың нормасы бірге тең, яғни қалдық бірлік болады. g-ді осы бірліктің кері шамасына көбейту арқылы, 2 + 2i-ге бөлгенде 1-ге тең қалдық беретін серік табылады. Егер g-нің нормасы жұп болса, онда g = 2ᵏh немесе g = 2ᵏh(1 + i), мұнда k – оң бүтін сан, ал N(h) – тақ сан. Осылайша, g-нің серігі таңдалады, ол тақ нормаға ие элементтер үшін серіктерді таңдауға сәйкес келеді.
Мысалдар
1 + i модулі үшін дәл екі қалдық класы бар, атап айтқанда (1 + i-нің барлық еселері) және , олар күрделі жазықтықта шахмат тақтасы үлгісін құрайды. Осылайша, бұл екі класс екі элементі бар сақинаны құрайды, ол, шын мәнінде, екі элементі бар бірегей (изоморфизмге дейін) өріс болып табылады және осылайша 2-ге модуль бойынша бүтін сандармен сәйкестендірілуі мүмкін. Бұл екі класты бүтін сандарды жұп және тақ сандарға бөлудің жалпылауы ретінде қарастыруға болады. Осылайша, жұп және тақ Гаусс бүтін сандары туралы айтуға болады (Гаусс одан әрі жұп Гаусс бүтін сандарын 2-ге бөлінетін және жартылай жұп сандарға бөледі). 2 модулі үшін төрт қалдық класы бар, атап айтқанда , олар төрт элементтен тұратын сақинаны құрайды, онда кез келген x үшін 1 = x = -x. Осылайша, бұл сақина 4-ке модуль бойынша бүтін сандар сақинасымен изоморф емес, тағы бір төрт элементі бар сақина. Бізде , және осылайша бұл сақина төрт элементі бар шекті өріс емес, сондай-ақ 2-ге модуль бойынша бүтін сандар сақинасының екі көшірмесінің тікелей көбейтіндісі де емес. Модуль үшін сегіз қалдық класы бар, атап айтқанда , оның төртеуі тек жұп Гаусс бүтін сандарын, ал төртеуі тек тақ Гаусс бүтін сандарын қамтиды.
Қалдықтар класы өрістері
Гаусс сандарының z0 санына қатысты қалдықтар класы сақинасы, егер және тек қана гаусс жай саны болса, ғана өріс болады. Егер z0 - ыдыраған жай сан немесе тармақталған жай сан 1 + i болса (яғни, оның нормасы N(z0) жай сан болса, ол 2-ге тең немесе 4-ке бөлінгенде 1 қалдық беретін жай сан болса), онда қалдықтар класы өрісі жай сан мөлшерінде элементтерге ие (яғни, N(z0)). Сондықтан ол N(z0) модульді бүтін сандар өрісіне изоморфты. Ал егер z0 инертті жай сан болса (яғни, ол 4-ке бөлінгенде 3 қалдық беретін жай санның квадраты болса), онда қалдықтар класы өрісі p^2 элементке ие, және ол p элементі бар жай өрістің 2-дәрежелі кеңейтімі болады (изоморфизмге дейін бірегей).
Тарихи негіздер
Гаусс бүтін сандарының сақинасын Карл Фридрих Гаусс өзінің төртінші дәрежелі өзара қарым-қатынас туралы екінші монографиясында (1832) енгізді. Квадраттық өзаралық теоремасы (ол 1796 жылы дәлелдеуге бірінші рет қол жеткізді) x² ≡ q (mod p) конгруенциясының x² ≡ p (mod q) конгруенциясына қатысты шешілуін байланыстырады. Сол сияқты, кубтық өзара қарым-қатынас x³ ≡ q (mod p) конгруенциясының x³ ≡ p (mod q) конгруенциясына, ал биквадратикалық (немесе төртінші дәрежелі) өзара қарым-қатынас x⁴ ≡ q (mod p) және x⁴ ≡ p (mod q) конгруенциялары арасындағы қатынасты анықтайды. Гаусс биквадратикалық өзара қарым-қатынас заңы мен оның қосымшаларын "толық күрделі сандар" (яғни Гаусс бүтін сандары) туралы мәлімдемелер түрінде айту және дәлелдеу, қарапайым бүтін сандар (яғни бүтін сандар) туралы мәлімдемелерге қарағанда оңай екенін анықтады. Белгілі бір түсініктемеде ол Айзенштейн бүтін сандарының кубтық өзара қарым-қатынас туралы нәтижелерді көрсету және дәлелдеу үшін табиғи домен екенін атап өтті және бүтін сандардың ұқсас кеңейтулері жоғары дәрежелі өзара қарым-қатынас заңдарын зерттеу үшін тиісті домендер екенін көрсетті. Бұл мақала Гаусс бүтін сандарын таныстырып қана қоймай, олардың бірегей жіктеу домені екенін дәлелдеді, сонымен қатар алгебралық сандар теориясында стандарт болып табылатын норма, бірлік, бастапқы және байланысты терминдерді енгізді.
Шешілмеген мәселелер
Ерілмеген мәселелердің көпшілігі жазықтықтағы Гаусс алғашқы сандарының таралуымен байланысты. Гаусс шеңберінің мәселесі Гаусс бүтін сандарымен тікелей айналыспайды, егер бастапқы нүктеде ортасы орналасқан, белгілі радиусы бар шеңбердің ішіндегі торлық нүктелердің санын анықтауды қарастырады. Бұл, берілген мәннен кіші нормасы бар Гаусс бүтін сандарының санын анықтаумен эквивалентті. Гаусс алғашқы сандарына қатысты болжамдар мен шешілмеген мәселелер де бар. Олардың екеуі: нақты және жолжабағы осінде 3, 7, 11, 19 және олардың байланысты сандары шексіз көп Гаусс алғашқы сандары бар. Басқа қандай сызықтарда шексіз көп Гаусс алғашқы сандары болуы мүмкін? Атап айтқанда, 1 + ki түріндегі Гаусс алғашқы сандары шексіз көп пе? Гаусс алғашқы сандарын қадамдар ретінде пайдаланып, біркелкі шектелген ұзындықтағы қадамдармен шексіздікке жетуге бола ма? Бұл Гаусс шұңқырының мәселесі деп аталады; оны 1962 жылы Базил Гордон қойды және ол әлі күнге дейін шешілмеген.
The real and imaginary axes have the infinite set of Gaussian primes 3, 7, 11, 19, and their associates. Are there any other lines that have infinitely many Gaussian primes on them? In particular, are there infinitely many Gaussian primes of the form 1 + ki? Is it possible to walk to infinity using the Gaussian primes as stepping stones and taking steps of a uniformly bounded length? This is known as the Gaussian moat problem; it was posed in 1962 by Basil Gordon and remains unsolved.