Кіріспе

Математикалық түр

Математикада көбею – көбейтілудің нәтижесі немесе көбейтілетін объектілерді (сандар немесе айнымалыларды) анықтайтын өрнек. Мысалы, 21 – 3 пен 7-нің көбейтіндісі (көбейту нәтижесі), ал – және -нің көбейтіндісі (екі факторды бірге көбейту қажет екенін көрсетеді). Егер бір фактор бүтін сан болса, онда көбейтінді еселік деп аталады. Нақты немесе кешенді сандарды қандай ретпен көбейтсе де, нәтиже өзгермейді; бұл көбейтудің коммутативтік заңы деп аталады. Матрицалар немесе әр түрлі ассоциативтік алгебралардың элементтерін көбейту кезінде көбейтінді әдетте факторлардың ретіне байланысты болады. Мысалы, матрица көбейту коммутативтік емес, және басқа алгебралардағы көбейту де солай. Математикада көптеген түрлі көбейтулер бар: сандарды, көпмүшелерді немесе матрицаларды ғана емес, сонымен қатар көптеген алгебралық құрылымдарда да көбейтуді анықтауға болады.

Екі санның көбейтіндісі

Бастапқыда, өнім – екі немесе одан көп санды көбейтудің нәтижесі болды және қазір де солай. Мысалы, 15 – 3 пен 5-тің көбейтіндісі. Арифметиканың негізгі теоремасы бойынша, кез келген құрама сан – жай сандардың көбейтіндісі болып табылады, яғни оның көбейткіштерінің ретіне дейін бірегей. 15-ші ғасырдың соңында математикалық белгілер мен айнымалылар енгізілгеннен кейін, белгісіз (коэффициенттер мен параметрлер) немесе ізделіп отырған (белгісіздер) сандарды көбейтуді қарастыру кең таралды. Шын мәнінде орындау мүмкін емес көбейтулер өнімдер деп аталады. Мысалы, сызықтық теңдеудегі мүше коэффициент пен белгісіздің көбейтіндісін көрсетеді. Кейінірек, негізінен 19-шы ғасырдан бастап, сандарды мүлдем қамтымайтын және өнімдер деп аталатын жаңа екілік амалдар енгізілді; мысалы, векторлық көбейтінді. Осы мақаланың көп бөлігі осындай сандық емес өнімдерге арналған.

Бір реттіліктің көбейтіндісі

Кезектеме көбейтіндісінің операторы грек әрпінің үлкен пі (Π) әрпімен белгіленеді (бұл, үлкен сигма (Σ) әрпінің қосу символы ретінде қолданылуымен үйлеседі). Мысалы, бұл өрнекті жазудың тағы бір тәсілі. Тек бір саннан тұратын кезектеменің көбейтіндісі – сол санның өзі. Ешқандай көбейткіштердің көбейтіндісі бос көбейтінді деп аталады және ол 1-ге тең.

Коммутативтік сақиналар

Коммутативтік сақиналарда көбейту амалы болады.

Сызықтық алгебрадағы көбейтінділер

Сызықтық алгебрада көптеген түрлі өнімдер кездеседі. Олардың кейбіреулері шатастыратын тәрізді ұқсас атауларға (сыртқы өнім, сыртқы көбейтім) ие, бірақ мағыналары мүлдем бөлек, ал екіншілері әлдеқандай түрлі атаулармен (сыртқы өнім, тензорлық көбейтім, Кронекер көбейтімі) білдірілгенмен, негізгі идеясы бір. Олар туралы қысқаша мәліметтер келесі бөлімдерде берілген.

Скалярлық көбейту

Векторлық кеңістіктің өзінің анықтамасы бойынша, кез келген скалярды кез келген векторға көбейтуге болады, нәтижесінде бір бейнелеу (маппинг) пайда болады.

Тензорлы көбейтіндісі бар барлық нысандардың класы

Жалпы алғанда, егер екі математикалық объектіні сызықтық алгебрадағы тензорлық көбейтіндідей әрекет ететіндей етіп біріктіруге болады, онда мұны ең жалпы жағдайда моноидтік категорияның ішкі көбейтіндісі деп түсінуге болады. Яғни, моноидтік категория тензорлық көбейтіндінің мәнін нақты бейнелейді; ол тензорлық көбейтінділердің неліктен осылай қасиет танытуын нақты түсіндіреді. Көбірек нақты айтқанда, моноидтік категория – белгілі бір типтегі тензорлық көбейтіндіге ие барлық объектілердің жиыны.

Картезиандық өнім

Жинақтар теориясында Картезиан көбейтіндісі – бірнеше жиынтықтан жаңа жиынтық (немесе көбейтінді жиынтығы) құратын математикалық амал. Яғни, A және B жиындары үшін A × B Картезиан көбейтіндісі (a, b) түріндегі барлық реттелген жұптар жиынынан тұрады, мұнда a ∈ A және b ∈ B. Картезиан көбейтіндісіне ие барлық нысандардың (берілген типтегі) класы Картезиандық категория деп аталады. Олардың көптегені Картезиандық жабық категориялар болып табылады. Жинақтар – мұндай нысандардың бір мысалы.

Бос өнім

Сандар мен көптеген алгебралық құрылымдарда бос көбейтінді 1-ге (көбейтудің бейтарап мүшесі) тең, дәл сияқты бос қосынды 0-ге (қосудың бейтарап мүшесі) тең. Дегенмен, бос көбейтінді ұғымы көбірек жалпылама, сондықтан логика, жиын теориясы, компьютерлік бағдарламалау және категориялар теориясында ерекше қарастыру қажет.

Басқа өнімдер

Функцияның өнім интегралы (тізбектің көбейтіндісіне үздіксіз балама ретінде немесе қалыпты/стандартты/қосымша интегралдың көбейту түрі ретінде. Өнім интегралы "үздіксіз көбейту" немесе "көптеу" деп те аталады. Кешенді көбейту, эллипстік қисықтар теориясы.)