Введение

Математическая форма

В математике произведение — это результат умножения или выражение, определяющее объекты (числа или переменные), которые необходимо перемножить, называемые множителями. Например, 21 является произведением 3 и 7 (результатом умножения), а — произведением и (указывающее, что эти два множителя следует перемножить). Если один из множителей является целым числом, произведение называется кратным. Порядок, в котором перемножаются действительные или комплексные числа, не влияет на результат; это известно как переместительный закон умножения. При умножении матриц или элементов различных ассоциативных алгебр произведение обычно зависит от порядка множителей. Например, умножение матриц не является переместительным, как и умножение в других алгебрах в общем случае. В математике существует множество различных видов произведений: помимо умножения чисел, многочленов или матриц, можно также определить произведения на различных алгебраических структурах.

Произведение двух чисел

Первоначально произведение было и остаётся результатом умножения двух или более чисел. Например, 15 является произведением 3 и 5. Основная теорема арифметики утверждает, что любое составное число является произведением простых чисел, которое уникально с точностью до порядка сомножителей. С введением математической нотации и переменных в конце XV века стало принято рассматривать умножение чисел, которые либо не указаны (коэффициенты и параметры), либо подлежат определению (неизвестные). Эти умножения, которые нельзя выполнить конкретно, называют произведениями. Например, в линейном уравнении член обозначает произведение коэффициента и неизвестной .

Позднее, и по сути с XIX века, были введены новые бинарные операции, которые вообще не связаны с числами, и также получили название произведений; например, скалярное произведение. Большая часть данной статьи посвящена таким нечисловым произведениям.

Продукт последовательности

Оператор произведения для произведения последовательности обозначается заглавной греческой буквой пи Π (по аналогии с использованием заглавной сигмы Σ в качестве символа суммирования). Например, выражение является другим способом записи произведения. Произведение последовательности, состоящей только из одного числа, равно этому числу; произведение, не содержащее ни одного множителя, известно как пустое произведение и равно 1.

Коммутативные кольца

Коммутативные кольца имеют операцию умножения.

Продукты в линейной алгебре

В линейной алгебре существует множество различных видов произведений. Некоторые из них имеют сбивающие с толку похожие названия (внешнее произведение, внешнее произведение) при очень разных значениях, а другие – совершенно разные названия (внешнее произведение, тензорное произведение, произведение Кронекера) и при этом выражают по сути одну и ту же идею. Краткий обзор этих произведений представлен в следующих разделах.

Скалярное умножение

По самому определению векторного пространства, можно образовать произведение любого скаляра на любой вектор, получая отображение.

Класс всех объектов с тензорным произведением

В общем, всякий раз, когда есть два математических объекта, которые можно объединить способом, напоминающим тензорное произведение в линейной алгебре, это можно понимать как внутренний продукт моноидной категории в наиболее общем смысле. То есть, моноидная категория точно отражает смысл тензорного произведения; она точно передает суть того, почему тензорные произведения ведут себя именно так. Более точно, моноидная категория – это класс всех объектов (данного типа), для которых определено тензорное произведение.

Картезианский продукт

В теории множеств, декартово произведение — это математическая операция, которая возвращает множество (или произведение множеств) из нескольких множеств. То есть, для множеств A и B, декартово произведение A × B является множеством всех упорядоченных пар (a, b), где a ∈ A и b ∈ B. Класс всех объектов (данного типа), для которых определено декартово произведение, называется декартовой категорией. Многие из них являются декартовыми замкнутыми категориями. Множества являются примером таких объектов.

Пустой продукт

Пустое произведение по числам и большинству алгебраических структур равно 1 (нейтральный элемент умножения), как и пустая сумма равна 0 (нейтральный элемент сложения). Однако понятие пустого произведения более общее и требует специального подхода в логике, теории множеств, программировании и теории категорий.

Прочие продукты

Интеграл произведения функции (как непрерывный эквивалент произведения последовательности или как мультипликативная версия обыкновенного/стандартного/аддитивного интеграла). Интеграл произведения также известен как "непрерывное произведение" или "умножение". Комплексное умножение, теория эллиптических кривых.