Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Екінші дәрежелі полиномиялық теңдеу
Екінші дәрежелі алгебралық теңдеулер және олардың шешімдері
Polynomial equation of degree two
algebraic equations of degree two and their solutions
Математикада, квадраттық теңдеу – стандартты түрге келтіріле алатын теңдеу, яғни:
In mathematics, a quadratic equation is an equation that can be rearranged in standard form as
мұнда x белгісіз шаманы білдіреді, ал a, b және c – белгілі сандар, мұнда a ≠ 0. (Егер a=0 және b ≠ 0 болса, онда теңдеу сызықтық, квадраттық емес.) Сандар a, b және c – теңдеудің коэффициенттері болып табылады және оларды тиісінше квадраттық коэффициент, сызықтық коэффициент және тұрақты мүше немесе бос мүше деп атау арқылы ажыратуға болады. Теңдеуді қанағаттандыратын x мәндері теңдеудің шешімдері деп аталады, сондай-ақ сол жағындағы өрнектің түбірі немесе нөлдері деп те айтуға болады. Квадраттық теңдеудің ең көп дегенде екі шешімі болуы мүмкін. Егер тек бір шешім болса, ол қос түбір деп аталады. Егер барлық коэффициенттер нақты сандар болса, онда екі нақты шешім, немесе бір нақты қос түбір, немесе бір-біріне конъюгат болатын екі кешенді шешім болады. Квадраттық теңдеуде кешенді түбірлерді ескергенде әрқашан екі түбір болады; ал қос түбір екіге саналады. Квадраттық теңдеуді r және s – x-тің шешімдері болатын эквивалентті теңдеуге келтіруге болады:
where x represents an unknown value, and a, b, and c represent known numbers, where a ≠ 0. (If and b ≠ 0 then the equation is linear, not quadratic.) The numbers a, b, and c are the coefficients of the equation and may be distinguished by respectively calling them, the quadratic coefficient, the linear coefficient and the constant coefficient or free term. The values of x that satisfy the equation are called solutions of the equation, and roots or zeros of the expression on its left hand side. A quadratic equation has at most two solutions. If there is only one solution, one says that it is a double root. If all the coefficients are real numbers, there are either two real solutions, or a single real double root, or two complex solutions that are complex conjugates of each other. A quadratic equation always has two roots, if complex roots are included; and a double root is counted for two. A quadratic equation can be factored into an equivalent equation
Квадраттық формула
where r and s are the solutions for x. The quadratic formula
шешімдерді a, b және c арқылы көрсетеді. Толық квадратқа келтіру – формуланы шығарудың бірнеше тәсілдерінің бірі. Квадраттық теңдеулер түрінде берілген есептердің шешімдері б.з.д. 2000 жылдан бері белгілі болған. Квадраттық теңдеуде тек бір белгісіз шама болғандықтан, ол «бірөлшекті» деп аталады. Квадраттық теңдеуде x-тің тек теріс емес бүтін дәрежелері ғана бар, сондықтан ол полиномиялық теңдеу болып табылады. Атап айтқанда, бұл екінші дәрежелі полиномиялық теңдеу, себебі ең жоғары дәрежесі екіге тең.
expresses the solutions in terms of a, b, and c. Completing the square is one of several ways for deriving the formula. Solutions to problems that can be expressed in terms of quadratic equations were known as early as 2000 BC. Because the quadratic equation involves only one unknown, it is called "univariate". The quadratic equation contains only powers of x that are non negative integers, and therefore it is a polynomial equation. In particular, it is a second degree polynomial equation, since the greatest power is two.
Квадраттық теңдеуді шешу
Нақты немесе кешенді коэффициенттері бар квадрат теңдеудің екі шешімі бар, олар түбірлер деп аталады. Бұл екі шешім әртүрлі болуы да, болмауы да мүмкін, сондай-ақ олар нақты да, нақты емес те болуы мүмкін.
A quadratic equation with real or complex coefficients has two solutions, called roots. These two solutions may or may not be distinct, and they may or may not be real.
Тексеру арқылы факторлау
Квадраттық теңдеуді кейбір жағдайларда көбейтінді түрінде көрсету мүмкін. Кейбір жағдайларда, қарапайым тексеру арқылы p, q, r және s мәндерін анықтап, екі форманы бір-біріне тең етуге болады. Егер квадраттық теңдеу екінші формада жазылса, онда "Нөлдік көбейткіш қасиеті" бойынша, теңдеу орындалуы үшін немесе болуы керек. Осы екі сызықтық теңдеуді шешу арқылы квадраттық теңдеудің түбірлерін табуға болады. Көптеген студенттер үшін тексеру арқылы көбейткіштерге жіктеу – олар танысатын квадраттық теңдеулерді шешудің алғашқы әдісі. Егер квадраттық теңдеу түрінде берілсе, ізделіп отырған көбейткіштерге жіктелуі (x + q)(x + s) түрінде болады, ал q және s екі санын табу керек, олардың қосындысы b-ға, ал көбейтіндісі c-ға тең болуы тиіс (бұл кейде "Виет ережесі" деп аталады және Виет формулаларымен байланысты). Мысалы, x² + 5x + 6 көбейткіштерге жіктелгенде (x + 3)(x + 2) болады. Егер a 1-ге тең болмаса, жалпы жағдайда тексеру арқылы көбейткіштерге жіктеу үшін көптеген сынақтар мен қателіктерді қажет етуі мүмкін, егер мүлде жіктеуге болатын болса. , немесе сияқты ерекше жағдайларды қоспағанда, тексеру арқылы көбейткіштерге жіктеу тек рационал түбірлері бар квадраттық теңдеулер үшін ғана қолданылады. Бұл дегеніміз, практикалық қолданыстарда туындайтын квадраттық теңдеулердің көп бөлігі тексеру арқылы көбейткіштерге жіктеу арқылы шешілмейді.
It may be possible to express a quadratic equation as a product In some cases, it is possible, by simple inspection, to determine values of p, q, r, and s that make the two forms equivalent to one another. If the quadratic equation is written in the second form, then the "Zero Factor Property" states that the quadratic equation is satisfied if or Solving these two linear equations provides the roots of the quadratic. For most students, factoring by inspection is the first method of solving quadratic equations to which they are exposed. If one is given a quadratic equation in the form , the sought factorization has the form (x + q)(x + s), and one has to find two numbers q and s that add up to b and whose product is c (this is sometimes called "Vieta's rule" and is related to Vieta's formulas). As an example, x^(2) + 5x + 6 factors as (x + 3)(x + 2). The more general case where a does not equal 1 can require a considerable effort in trial and error guess and check, assuming that it can be factored at all by inspection. Except for special cases such as where or , factoring by inspection only works for quadratic equations that have rational roots. This means that the great majority of quadratic equations that arise in practical applications cannot be solved by factoring by inspection.
Геометриялық түсіндіру
Функция – квадраттық функция. Кез келген квадраттық функцияның графигі бірдей жалпы пішінге ие, ол парабола деп аталады. Параболаның орналасуы, мөлшері және қай бағытта ашылатыны a, b және c мәндеріне байланысты. Егер a > 0 болса, параболаның ең төмен нүктесі болады және ол жоғары қарай ашылады. Егер a < 0 болса, параболаның ең жоғарғы нүктесі болады және ол төмен қарай ашылады. Параболаның ең төмен немесе ең жоғарғы нүктесі оның төбесіне сәйкес келеді. Төбесінің x координатасы , ал төбесінің y координатасын табу үшін осы x мәнін функцияға қою керек. Y осімен қиылысу нүктесі (0, c) орналасқан. Квадраттық теңдеудің шешімдері функцияның түбірлерімен сәйкес келеді, себебі олар – функцияның мәні нөлге тең болатын x мәндері. Егер a, b және c нақты сандар болса және f функциясының анықталу облысы нақты сандар жиыны болса, онда f функциясының түбірлері – график x осін тигізетін нүктелердің x координаталары болып табылады. Егер дискриминант оң болса, график x осін екі нүктеде тигізеді; егер дискриминант нөлге тең болса, график x осін бір нүктеде тигізеді; ал егер дискриминант теріс болса, график x осін тигізбейді.
The function is a quadratic function. The graph of any quadratic function has the same general shape, which is called a parabola. The location and size of the parabola, and how it opens, depend on the values of a, b, and c. If a > 0, the parabola has a minimum point and opens upward. If a < 0, the parabola has a maximum point and opens downward. The extreme point of the parabola, whether minimum or maximum, corresponds to its vertex. The x coordinate of the vertex will be located at , and the y coordinate of the vertex may be found by substituting this x value into the function. The y intercept is located at the point (0, c). The solutions of the quadratic equation correspond to the roots of the function , since they are the values of x for which If a, b, and c are real numbers and the domain of f is the set of real numbers, then the roots of f are exactly the x coordinates of the points where the graph touches the x axis. If the discriminant is positive, the graph touches the x axis at two points; if zero, the graph touches at one point; and if negative, the graph does not touch the x axis.
Геометриялық шешім
Квадраттық теңдеуді геометриялық түрде бірнеше тәсілмен шешуге болады. Олардың бірі – Лилл әдісі. Үш коэффициент a, b, c 6-суреттегі SA, AB және BC сияқты тік бұрыштармен бейнеленеді. SC нүктесі бастапқы және соңғы нүкте болып табылатын диаметрі бар шеңбер салыңыз. Егер бұл шеңбер үштік AB сызығын кесіп өтетін болса, теңдеудің шешімі бар, ал шешімдер осы сызық бойындағы A нүктесінен бастап, бірінші коэффициент a немесе SA-ға дейінгі арақашықтықтың теріс мәнімен беріледі. Егер a 1-ге тең болса, коэффициенттерді тікелей оқуға болады. Осылайша, диаграммадағы шешімдер -AX1/SA және -AX2/SA болады. Томас Карлайлдың атымен аталған Карлайл шеңбері квадраттық теңдеудің шешімдері шеңбердің көлденең осьпен қиылысқан жерлерінің көлденең координаттарынан тұрады деген қасиетке ие. Карлайл шеңберлері дұрыс көпбұрыштарды сызу және циркуль көмегімен салу үшін қолданылған.
The quadratic equation may be solved geometrically in a number of ways. One way is via Lill's method. The three coefficients a, b, c are drawn with right angles between them as in SA, AB, and BC in Figure 6. A circle is drawn with the start and end point SC as a diameter. If this cuts the middle line AB of the three then the equation has a solution, and the solutions are given by negative of the distance along this line from A divided by the first coefficient a or SA. If a is 1 the coefficients may be read off directly. Thus the solutions in the diagram are −AX1/SA and −AX2/SA. The Carlyle circle, named after Thomas Carlyle, has the property that the solutions of the quadratic equation are the horizontal coordinates of the intersections of the circle with the horizontal axis. Carlyle circles have been used to develop ruler and compass constructions of regular polygons.