Введение

Полиномиальное уравнение второй степени – алгебраические уравнения второй степени и их решения.

В математике, квадратное уравнение – это уравнение, которое можно привести к стандартному виду:

где x обозначает неизвестную величину, а a, b и c – известные числа, при этом a ≠ 0. (Если b = 0 и a ≠ 0, то уравнение является линейным, а не квадратным.) Числа a, b и c – коэффициенты уравнения, которые соответственно называют коэффициентом при x², коэффициентом при x и свободным членом. Значения x, удовлетворяющие уравнению, называются решениями уравнения, а также корнями или нулями выражения в левой части. Квадратное уравнение имеет не более двух решений. Если существует только одно решение, говорят о двойном корне. Если все коэффициенты – действительные числа, то уравнение имеет либо два действительных решения, либо один действительный двойной корень, либо два комплексно сопряженных комплексных решения. Квадратное уравнение всегда имеет два корня, если учитывать и комплексные корни; при этом двойной корень считается за два. Квадратное уравнение можно разложить на множители в виде эквивалентного уравнения:

где r и s – решения для x. Квадратная формула

выражает решения через a, b и c. Метод выделения полного квадрата – один из способов вывода этой формулы. Решения задач, которые можно выразить в виде квадратных уравнений, были известны уже в 2000 году до нашей эры. Поскольку квадратное уравнение содержит только одну неизвестную, оно называется "унивариантным" (или "с одной переменной"). Квадратное уравнение содержит только неотрицательные целые степени x и, следовательно, является полиномиальным уравнением. В частности, это полиномиальное уравнение второй степени, так как наибольшая степень равна двум.

Решение квадратного уравнения

Квадратное уравнение с действительными или комплексными коэффициентами имеет два корня (решения). Эти два корня могут совпадать или различаться, а также могут быть как действительными, так и комплексными.

Факторинг путем проверки

Иногда возможно представить квадратное уравнение в виде произведения. В некоторых случаях, путем простого осмотра, можно определить значения p, q, r и s, которые делают две формы эквивалентными друг другу. Если квадратное уравнение записано во второй форме, то "свойство нулевого произведения" утверждает, что квадратное уравнение выполняется, если или . Решение этих двух линейных уравнений дает корни квадратного уравнения. Для большинства студентов разложение на множители путем подбора является первым методом решения квадратных уравнений, с которым они знакомятся. Если задано квадратное уравнение в форме , то искомое разложение на множители имеет вид (x + q)(x + s), и нужно найти два числа q и s, сумма которых равна b, а произведение равно c (это иногда называют "правилом Виеты" и оно связано с формулами Виеты). Например, x² + 5x + 6 раскладывается на множители как (x + 3)(x + 2). Более общий случай, когда a не равно 1, может потребовать значительных усилий и проб, чтобы найти разложение, предполагая, что оно вообще возможно подобрать. За исключением особых случаев, таких как когда или , разложение на множители путем подбора работает только для квадратных уравнений, имеющих рациональные корни. Это означает, что подавляющее большинство квадратных уравнений, возникающих в практических приложениях, не могут быть решены разложением на множители путем подбора.

Геометрическая интерпретация

Функция является квадратичной функцией. График любой квадратичной функции имеет одну и ту же общую форму, которая называется параболой. Расположение и размер параболы, а также направление её ветвей, зависят от значений a, b и c. Если a > 0, парабола имеет точку минимума и ветви направлены вверх. Если a < 0, парабола имеет точку максимума и ветви направлены вниз. Экстремальная точка параболы, будь то минимум или максимум, соответствует её вершине. X-координата вершины находится по формуле , а y-координату вершины можно найти, подставив это значение x в функцию. Пересечение с осью y находится в точке (0, c). Решения квадратного уравнения соответствуют корням функции , поскольку это значения x, при которых. Если a, b и c – действительные числа, а область определения f – множество действительных чисел, то корни f – это как раз x-координаты точек, в которых график пересекает ось x. Если дискриминант положителен, график пересекает ось x в двух точках; если равен нулю, график касается оси x в одной точке; а если отрицателен, график не пересекает ось x.

Геометрическое решение

Квадратное уравнение может быть решено геометрически несколькими способами. Один из способов — метод Лилля. Три коэффициента a, b, c изображаются под прямыми углами друг к другу, как SA, AB и BC на рисунке 6. Строится окружность с диаметром SC. Если эта окружность пересекает среднюю линию AB, то уравнение имеет решение, и решения выражаются как минус расстояния вдоль этой линии от точки A, деленного на первый коэффициент a или SA. Если a равно 1, коэффициенты можно считывать непосредственно. Таким образом, решения на диаграмме равны −AX1/SA и −AX2/SA. Окружность Карлайла, названная в честь Томаса Карлайла, обладает свойством, что решения квадратного уравнения являются горизонтальными координатами точек пересечения окружности с горизонтальной осью. Окружности Карлайла использовались для разработки построений правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки.