Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Топологиялық кеңістіктің түрі
Type of topological space
Математикада, Дэвид Гилберт есімімен аталған Гилберт кубі – топологиядағы кейбір идеяларды түсіндіретін нұсқаулық мысал болатын топологиялық кеңістік. Сонымен қатар, көптеген қызықты топологиялық кеңістіктер Гилберт кубіне енгізілуі мүмкін; яғни, Гилберт кубінің ішкі кеңістіктері ретінде қарастырылуы мүмкін (төменде қараңыз).
In mathematics, the Hilbert cube, named after David Hilbert, is a topological space that provides an instructive example of some ideas in topology. Furthermore, many interesting topological spaces can be embedded in the Hilbert cube; that is, can be viewed as subspaces of the Hilbert cube (see below).
Қасиеттері
Тығыз Хаусдорф кеңістіктерінің көбейтіндісі ретінде, Гильберт текшесі өзі Тихонов теоремасының нәтижесінде тығыз Хаусдорф кеңістігі болып табылады. Гильберт текшесінің тығыздығы таңдау аксиомасын қолданбай, әдеттегі Кантор жиынынан Гильберт текшесіне үздіксіз функция құру арқылы да дәлелденуі мүмкін. Ешбір нүктеде тығыз маңай жоқ (сонымен, жергілікті тығыз емес). Барлық тығыз кіші жиынтықтардың шекті өлшемді екенін күтуге болады. Гильберт текшесі мұның дұрыс емес екенін көрсетеді. Бірақ Гильберт текшесі ешқандай нүктеге маңай бола алмайды, себебі оның қабырғасы әрбір өлшемде кішірейе береді, сондықтан кез келген белгілі радиустағы ашық шар кейбір өлшемде текшеден шығып кетеді. Кез келген шексіз өлшемді дөңгелек тығыз жиынтық Гильберт текшесімен гомеоморфты болады. Гильберт текшесі – дөңгелек жиынтық, оның жабысы бүкіл кеңістік, бірақ ішкі кеңістігі бос. Мұндай жағдай шекті өлшемдерде мүмкін емес. Текшеге нөлдік векторда жанасатын конус – бүкіл кеңістік. Гильберт текшесінің кез келген кіші жиынтығы Гильберт текшесінен метрикалық (сонымен, T4) және екінші рет санаулы қасиеттерді мұралайды. Керісінше, бұл да қызықты: кез келген екінші рет санаулы T4 кеңістігі Гильберт текшесінің кіші жиынтығымен гомеоморфты. Гильберт текшесінің кез келген Gδ кіші жиынтығы – поляк кеңістігі, яғни бөлінетін және толық метрикалық кеңістікке гомеоморфты топологиялық кеңістік. Керісінше, кез келген поляк кеңістігі Гильберт текшесінің Gδ кіші жиынтығымен гомеоморфты.
As a product of compact Hausdorff spaces, the Hilbert cube is itself a compact Hausdorff space as a result of the Tychonoff theorem. The compactness of the Hilbert cube can also be proved without the axiom of choice by constructing a continuous function from the usual Cantor set onto the Hilbert cube. In no point has a compact neighbourhood (thus, is not locally compact). One might expect that all of the compact subsets of are finite dimensional. The Hilbert cube shows that this is not the case. But the Hilbert cube fails to be a neighbourhood of any point because its side becomes smaller and smaller in each dimension, so that an open ball around of any fixed radius must go outside the cube in some dimension. Any infinite dimensional convex compact subset of is homeomorphic to the Hilbert cube. The Hilbert cube is a convex set, whose span is the whole space, but whose interior is empty. This situation is impossible in finite dimensions. The tangent cone to the cube at the zero vector is the whole space. Every subset of the Hilbert cube inherits from the Hilbert cube the properties of being both metrizable (and therefore T4) and second countable. It is more interesting that the converse also holds: Every second countable T4 space is homeomorphic to a subset of the Hilbert cube. Every Gδ subset of the Hilbert cube is a Polish space, a topological space homeomorphic to a separable and complete metric space. Conversely, every Polish space is homeomorphic to a Gδ subset of the Hilbert cube.