Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
Тип топологического пространства
Type of topological space
В математике куб Гильберта, названный в честь Давида Гильберта, является топологическим пространством, представляющим собой поучительный пример некоторых идей в топологии. Более того, многие интересные топологические пространства могут быть вложены в куб Гильберта, то есть могут рассматриваться как подпространства куба Гильберта (см. ниже).
In mathematics, the Hilbert cube, named after David Hilbert, is a topological space that provides an instructive example of some ideas in topology. Furthermore, many interesting topological spaces can be embedded in the Hilbert cube; that is, can be viewed as subspaces of the Hilbert cube (see below).
Свойства
Как произведение компактных пространств Хаусдорфа, куб Гильберта сам является компактным пространством Хаусдорфа в силу теоремы Тихонова. Компактность куба Гильберта также может быть доказана без аксиомы выбора, построив непрерывную функцию из обычного множества Кантора на куб Гильберта. В любой точке не существует компактной окрестности (следовательно, он не является локально компактным). Можно предположить, что все компактные подмножества имеют конечную размерность. Куб Гильберта показывает, что это не так. Однако куб Гильберта не может быть окрестностью какой-либо точки , поскольку его сторона становится все меньше и меньше в каждом измерении, так что открытый шар вокруг любого фиксированного радиуса должен выходить за пределы куба в некотором измерении. Любое бесконечномерное выпуклое компактное подмножество гомеоморфно кубу Гильберта. Куб Гильберта — это выпуклое множество, оболочка которого совпадает со всем пространством, но внутренность которого пуста. Такая ситуация невозможна в конечных измерениях. Тангенциальный конус к кубу в нулевом векторе — это все пространство. Каждое подмножество куба Гильберта наследует от куба Гильберта свойства метризуемости (и, следовательно, T4) и второй счетности. Более интересно, что верно и обратное: каждое пространство второй счетности T4 гомеоморфно подмножеству куба Гильберта. Каждое Gδ-подмножество куба Гильберта является польским пространством, то есть топологическим пространством, гомеоморфным сепарабельному и полному метрическому пространству. И наоборот, каждое польское пространство гомеоморфно Gδ-подмножеству куба Гильберта.
As a product of compact Hausdorff spaces, the Hilbert cube is itself a compact Hausdorff space as a result of the Tychonoff theorem. The compactness of the Hilbert cube can also be proved without the axiom of choice by constructing a continuous function from the usual Cantor set onto the Hilbert cube. In no point has a compact neighbourhood (thus, is not locally compact). One might expect that all of the compact subsets of are finite dimensional. The Hilbert cube shows that this is not the case. But the Hilbert cube fails to be a neighbourhood of any point because its side becomes smaller and smaller in each dimension, so that an open ball around of any fixed radius must go outside the cube in some dimension. Any infinite dimensional convex compact subset of is homeomorphic to the Hilbert cube. The Hilbert cube is a convex set, whose span is the whole space, but whose interior is empty. This situation is impossible in finite dimensions. The tangent cone to the cube at the zero vector is the whole space. Every subset of the Hilbert cube inherits from the Hilbert cube the properties of being both metrizable (and therefore T4) and second countable. It is more interesting that the converse also holds: Every second countable T4 space is homeomorphic to a subset of the Hilbert cube. Every Gδ subset of the Hilbert cube is a Polish space, a topological space homeomorphic to a separable and complete metric space. Conversely, every Polish space is homeomorphic to a Gδ subset of the Hilbert cube.