Үшөлшемді геометриялық құрылымдар жөніндегі болжам

Кіріспе

Үш өлшемді біркелкілік болжамының аналогы

Математикада Турстонның геометриялық болжамы белгілі бір үш өлшемді топологиялық кеңістіктердің әрқайсысының оған байланысты бірегей геометриялық құрылымы бар екенін көрсетеді. Бұл екі өлшемді беттер үшін біркелкілік теоремасының аналогы болып табылады, онда кез келген жай байланысқан Риман бетіне үш геометрияның бірі (эвклидтік, сфералық немесе гиперболалық) берілуі мүмкін делінеді. Үш өлшемде топологиялық кеңістіктің бәріне бір геометрияны тағайындау әрқашан мүмкін емес. Оның орнына, геометриялық болжам бойынша, кез келген жабық 3-көптүрлілік канондық түрде геометриялық құрылымның сегіз түрінің біріне ие бөліктерге бөлінеді. Бұл болжамды және басқа бірнеше болжамдарды, мысалы, Пуанкаре болжамын және Турстонның эллиптизация болжамын қамтиды. Турстонның гиперболизация теоремасы Хакен көптүрліліктері геометриялық болжамды қанағаттандырады екенін көрсетеді. Турстон 1980 жылдары дәлелдеме жариялаған, ал содан бері бірнеше толық дәлелдемелер жарық көрді. Григорий Перельман 2003 жылы Ricci ағыны мен хирургияны қолдана отырып, толық геометриялық болжамның дәлелдемесін жариялады. Бұл дәлелдеме arxiv.org алдын ала басылым серверінде жарияланды. Перельманның еңбектерін бірнеше тәуелсіз топтар зерттеді, олар оның аргументтерінің толық мәліметтерін қамтитын кітаптар мен онлайн-қолжазбалар жазды. Дәлелдеменің тексеруі Перельманның жұмысы үшін 2006 жылы Филдс медалімен марапатталуына уақтылы аяқталды, ал 2010 жылы Клей математика институты оған Пуанкаре болжамын шешкені үшін 1 миллион АҚШ доллары сыйлық берді, бірақ Перельман екі сыйлықтан да бас тартты. Пуанкаре болжамы мен сфералық кеңістік пішіні болжамы геометриялық болжамның салдары болып табылады, бірақ бұрынғысының геометриялық болжамға әкелмейтін қысқа дәлелдемелері де бар.

SL ((2, R) жалпы қақпағының геометриясы

SL(2, R) жалпы қаптамасы деп белгіленеді. Ол H2 үстіне талшықталады, ал бұл кеңістік кейде "Twisted H2 × R" деп аталады. G тобының 2 компоненті бар. Оның сәйкестік компоненті құрылымына ие. Нүктелік тұрақтандырғыш O(2, R) болып табылады. Бұл көптүрліліктердің мысалдары: гиперболалық беттің тангенстік бундельінің бірлік векторларының көптүрлілігі және жалпы алғанда Брискорн гомологиялық сфералары (3 сфера және Пуанкаренің додекаэдр кеңістігінен басқа). Бұл геометрияны VIII немесе III типті Бьянки тобындағы сол жақты инвариантты метрика ретінде модельдеуге болады. Осы геометрияға ие шекті көлемді көптүрліліктер бағдарланады және Сейферт талшықты кеңістігінің құрылымына ие. Мұндай көптүрліліктердің жіктелуі Сейферт талшықты кеңістіктері туралы мақалада келтірілген. Нормаланған Риччи ағыны кезінде осы геометрияға ие көптүрліліктер 2 өлшемді көптүрлілікке жақындайды.

Нил геометриясы

Бұл талшықтар E2-ні жабады, сондықтан кейде "Бұрылған E2 × R" деп аталады. Бұл Гейзенберг тобының геометриясы. Нүкте тұрақтандырғышы O(2, R) болып табылады. G тобы 2 компоненттен тұрады және шеңбер изометрияларының O(2, R) тобы бойынша 3 өлшемді Гейзенберг тобының жартылай тікелей көбейтіндісі болып табылады. Осы геометрияға ие компактты көпқырлыларға 2 тордың Дехн бұрылысының карталау торы немесе "интегралды Гейзенберг тобының" Гейзенберг тобына қатынасы кіреді. Бұл геометрияны II типті Бьянки тобындағы сол жақтан инвариантты метрика ретінде модельдеуге болады. Осы геометрияға ие шекті көлемді көпқырлылар компактты және бағдарланатын болып келеді және Сейферт талшықты кеңістігінің құрылымына ие. Мұндай көпқырлылардың жіктелуі Сейферт талшықты кеңістіктері туралы мақалада келтірілген. Нормаланған Риччи ағыны кезінде осы геометрияға ие компактты көпқырлылар R2-ге жазық метрикамен жуықсады.

Сол геометриясы

Бұл геометрия (сольв геометриясы деп те аталады) жазықтықты талшық ретінде сызық бойынша кеңейеді және G тобының сәйкестік компонентінің геометриясы болып табылады. Нүкте тұрақтандырғышы – 8-ретті диэдрлік топ. G тобы 8 компоненттен тұрады және ол 2 өлшемді Минковски кеңістігінен өзіне дейінгі изометриялар немесе метриканы −1-ге көбейту арқылы жасалатын бейнелеулер тобы болып табылады. Сәйкестік компоненті R қатнастыратын R2 нормальды кіші топқа ие, мұнда R, 1-ге тең көбейтіндісі бар екі (нақты) өзіндік кеңістікте R2 әрекет етеді. Бұл VI0 типіндегі Бьянки тобы және геометрияны осы топтағы сол жақтан өзгермейтін метрика ретінде модельдеуге болады. Solv геометриясымен барлық шекті көлемді көпқырлылар тығыз. Solv геометриясы бар компактты көпқырлылар – 2 тордың Аносов бейнелеуінің бейнелеу торы (мұндай бейнелеу – нақты және ерекше өзіндік мәндері бар 2x2 матрицамен берілген 2 тордың автоморфизмі) немесе олардың 8-ге дейінгі реттік топтары бойынша бөлінділері болып табылады. Тордың автоморфизмінің өзіндік мәндері нақты квадраттық өрістің реттілігін құрайды, ал solv көпқырлыларын осы реттің бірліктері мен идеалдық кластары бойынша жіктеуге болады. Нормаланған Риччи ағыны кезінде осы геометриясы бар компактты коллекторлар R1-ге (өте баяу) жақындайды.

Бірегейлігі

Жабық 3-көптүрлілік жоғарыда аталған 8 түрдің біреуінің геометриялық құрылымын ғана қабылдай алады, бірақ шекті көлемді емес 3-көптүрліліктер кейде бірнеше геометриялық құрылымға ие болуы мүмкін. (Дегенмен, бір көптүрлілікте бір типтің көптеген геометриялық құрылымдары болуы мүмкін; мысалы, кемінде 2 туысы бар бетте гиперболалық метрикалардың үздіксіз саны бар.) Нақтырақ айтқанда, егер M шекті көлемді геометриялық құрылымы бар көптүрлілік болса, онда геометриялық құрылымның түрі π1(M) негізгі тобы арқылы анықталады: Егер π1(M) шекті болса, онда M-дегі геометриялық құрылым сфералық болады және M тығыз. Егер π1(M) циклдік, бірақ шекті емес болса, онда M-дегі геометриялық құрылым S2×R болады және M тығыз. Егер π1(M) иәки абельдік, бірақ иәки циклдік емес болса, онда M-дегі геометриялық құрылым Эвклидтік болады және M тығыз. Егер π1(M) иәки нильпотентті, бірақ абельдік емес болса, онда M-дегі геометриялық құрылым ниль геометриясы болады және M тығыз. Егер π1(M) иәки шешілетін, бірақ нильпотентті емес болса, онда M-дегі геометриялық құрылым солв геометриясы болады және M тығыз. Егер π1(M) шексіз нормальді циклдік кіші топқа ие болса, бірақ иәки шешілетін болмаса, онда M-дегі геометриялық құрылым H2×R немесе SL(2, R) ғаламдық жамылғысы болады. M көптүрлілігі тығыз немесе тығыз емес болуы мүмкін. Егер ол тығыз болса, онда π1(M)-де шекті индекске ие кіші топтың бар-жоқтығы арқылы 2 геометрияны ажыратуға болады, ол қалыпты циклдік кіші топтың жартылай тура көбейтіндісі ретінде бөлінеді. Егер көптүрлілік тығыз емес болса, онда негізгі топ екі геометрияны ажырата алмайды, және мысалдар бар (мысалы, үшбұрыш түйінінің толықтырғышы), онда көптүрлілікте екі типтің де шекті көлемді геометриялық құрылымы болуы мүмкін. Егер π1(M) шексіз нормальді циклдік кіші топқа ие болмаса және иәки шешілетін болмаса, онда M-дегі геометриялық құрылым гиперболалық болады және M тығыз немесе тығыз емес болуы мүмкін. Шексіз көлемді көптүрліліктер геометриялық құрылымның әртүрлі түрлеріне ие болуы мүмкін: мысалы, R3 жоғарыда аталған әртүрлі геометриялық құрылымдардың 6-сына ие болуы мүмкін, өйткені 8 модель геометриясының 6-сы оған гомеоморфты. Сонымен қатар, егер көлем шекті болуы қажет болмаса, онда компактты модельдері жоқ жаңа геометриялық құрылымдардың шексіз саны бар; мысалы, кез келген бір модульді емес 3 өлшемді Ли тобының геометриясы. Жабық 3-көптүрлілікті геометриялық құрылымды бөліктерге бөлудің бірнеше тәсілі болуы мүмкін. Мысалы: S3-тің бірнеше көшірмесімен байланысқан сомаларды алу көптүрлілікті өзгерте алмайды. Екі проективті 3 кеңістіктің байланысқан сомасы S2×R геометриясына ие, сондай-ақ S3 геометриясы бар екі бөлшектің байланысқан сомасы болып табылады. Теріс қисықтығы бар бет пен шеңбердің көбейтіндісі геометриялық құрылымға ие, бірақ оны геометриялық құрылымға ие кішігірім бөлшектерді алу үшін торилер бойымен кесуге болады. Сейферт талшықты кеңістіктерінде көптеген ұқсас мысалдар бар. Геометриялық құрылымды бөліктерге "канондық" ыдыратуды таңдауға болады, мысалы, алдымен көптүрлілікті ең аз мөлшерде негізгі бөлшектерге кесіп, содан кейін оларды мүмкіндігінше аз сандағы торилерді пайдалану арқылы кесіп тастау. Алайда бұл минималды ыдырау Риччи ағыны арқылы міндетті түрде жасалмайды; шын мәнінде, Риччи ағыны бастапқы метриканы таңдауға байланысты, көп түрлі геометриялық бөлшектерге тең емес көптеген жолдармен кесіп тастай алады.

A closed 3 manifold has a geometric structure of at most one of the 8 types above, but finite volume non compact 3 manifolds can occasionally have more than one type of geometric structure. (Nevertheless, a manifold can have many different geometric structures of the same type; for example, a surface of genus at least 2 has a continuum of different hyperbolic metrics.) More precisely, if M is a manifold with a finite volume geometric structure, then the type of geometric structure is almost determined as follows, in terms of the fundamental group π1(M):
If π1(M) is finite then the geometric structure on M is spherical, and M is compact. If π1(M) is virtually cyclic but not finite then the geometric structure on M is S2×R, and M is compact. If π1(M) is virtually abelian but not virtually cyclic then the geometric structure on M is Euclidean, and M is compact. If π1(M) is virtually nilpotent but not virtually abelian then the geometric structure on M is nil geometry, and M is compact. If π1(M) is virtually solvable but not virtually nilpotent then the geometric structure on M is solv geometry, and M is compact. If π1(M) has an infinite normal cyclic subgroup but is not virtually solvable then the geometric structure on M is either H2×R or the universal cover of SL(2, R). The manifold M may be either compact or non compact. If it is compact, then the 2 geometries can be distinguished by whether or not π1(M) has a finite index subgroup that splits as a semidirect product of the normal cyclic subgroup and something else. If the manifold is non compact, then the fundamental group cannot distinguish the two geometries, and there are examples (such as the complement of a trefoil knot) where a manifold may have a finite volume geometric structure of either type. If π1(M) has no infinite normal cyclic subgroup and is not virtually solvable then the geometric structure on M is hyperbolic, and M may be either compact or non compact. Infinite volume manifolds can have many different types of geometric structure: for example, R3 can have 6 of the different geometric structures listed above, as 6 of the 8 model geometries are homeomorphic to it. Moreover if the volume does not have to be finite there are an infinite number of new geometric structures with no compact models; for example, the geometry of almost any non unimodular 3 dimensional Lie group. There can be more than one way to decompose a closed 3 manifold into pieces with geometric structures. For example:
Taking connected sums with several copies of S3 does not change a manifold. The connected sum of two projective 3 spaces has a S2×R geometry, and is also the connected sum of two pieces with S3 geometry. The product of a surface of negative curvature and a circle has a geometric structure, but can also be cut along tori to produce smaller pieces that also have geometric structures. There are many similar examples for Seifert fiber spaces. It is possible to choose a "canonical" decomposition into pieces with geometric structure, for example by first cutting the manifold into prime pieces in a minimal way, then cutting these up using the smallest possible number of tori. However this minimal decomposition is not necessarily the one produced by Ricci flow; in fact, the Ricci flow can cut up a manifold into geometric pieces in many inequivalent ways, depending on the choice of initial metric.

Тарих

Филдс медалі 1982 жылы Торстонға Хакен көптүрліліктері үшін геометриялық болжамды дәлелдегені үшін берілді. 1982 жылы Ричард С. Гамильтон, оң Риччи қисықтығына ие метрикасы бар жабық 3-көптік берілгенде, Риччи ағыны көптікті шекті уақыт ішінде бір нүктеге дейін қысқартатынын көрсетті, бұл осы жағдай үшін геометриялық болжамды дәлелдейді, себебі метрика құлау алдында «шамалы дөңгелек» болады. Кейін ол Риччи ағыны арқылы хирургиялық амалдар жасап геометриялық болжамды дәлелдеу жобасын жасады. Идея мынада: Риччи ағыны әдетте сингулярлықтар тудырады, бірақ хирургия арқылы көптүрліліктің топологиясын өзгерту арқылы сингулярлықтан кейін Риччи ағынын жалғастыру мүмкін. Шамамен айтқанда, Риччи ағыны оң қисықтық аймақтарын қысқартады және теріс қисықтық аймақтарын кеңейтеді, сондықтан S3 және S2 × R геометрияларына ие «оң қисықтық» көптүрлілік бөліктерін жою керек, ал үлкен уақыттарда қалған бөлік гиперболалық геометриясы бар «тығыз» бөлікке және «жұқа» график-көптүрлілікке қалың-жұқа ыдырауға ие болуы керек. 2003 жылы Григорий Перельман Риччи ағыны шын мәнінде сингулярлықтан кейін жалғаса алатынын және жоғарыда сипатталғандай мінез-құлық көрсететінін көрсетіп, геометриялық болжамды дәлелдегенін жариялады. Перельманның дәлелінің бір бөлігі Риман геометриясындағы жаңа құлдырау теоремасы болды. Перельман бұл нәтиженің дәлелі туралы ешқандай мәлімет жариялаған жоқ (алдын ала басылған мақаласындағы «Үш көптүрліліктерде хирургиямен Риччи ағыны» 7.4 теоремасы). Шиоя мен Ямагучитен бастап, қазір Перельманның құлдырау теоремасының бірнеше әртүрлі дәлелдемелері немесе олардың нұсқалары бар. Шиоя мен Ямагучидің тұжырымы Перельманның жұмысының алғашқы толыққанды егжей-тегжейлі тұжырымдамаларында қолданылды. Перельманның геометриялық болжамды дәлелдеуінің соңғы бөліміне екінші жол – Лоран Бессиер және оның әріптестерінің әдісі, ол Хакен көптүрліліктері үшін Торстонның гиперболизация теоремасын және 3-көптүрліліктер үшін Громовтың нормасын қолданады. Осы авторлардың дәлелдеуінің толық егжей-тегжейлі нұсқасы бар кітап Еуропалық математикалық қоғамнан жарық көрді.

The Fields Medal was awarded to Thurston in 1982 partially for his proof of the geometrization conjecture for Haken manifolds. In 1982, Richard S. Hamilton showed that given a closed 3 manifold with a metric of positive Ricci curvature, the Ricci flow would collapse the manifold to a point in finite time, which proves the geometrization conjecture for this case as the metric becomes "almost round" just before the collapse. He later developed a program to prove the geometrization conjecture by Ricci flow with surgery. The idea is that the Ricci flow will in general produce singularities, but one may be able to continue the Ricci flow past the singularity by using surgery to change the topology of the manifold. Roughly speaking, the Ricci flow contracts positive curvature regions and expands negative curvature regions, so it should kill off the pieces of the manifold with the "positive curvature" geometries S3 and S2 × R, while what is left at large times should have a thick–thin decomposition into a "thick" piece with hyperbolic geometry and a "thin" graph manifold. In 2003, Grigori Perelman announced a proof of the geometrization conjecture by showing that the Ricci flow can indeed be continued past the singularities, and has the behavior described above. One component of Perelman's proof was a novel collapsing theorem in Riemannian geometry. Perelman did not release any details on the proof of this result (Theorem 7.4 in the preprint 'Ricci flow with surgery on three manifolds'). Beginning with Shioya and Yamaguchi, there are now several different proofs of Perelman's collapsing theorem, or variants thereof. Shioya and Yamaguchi's formulation was used in the first fully detailed formulations of Perelman's work. A second route to the last part of Perelman's proof of geometrization is the method of Laurent Bessières and co authors, which uses Thurston's hyperbolization theorem for Haken manifolds and Gromov's norm for 3 manifolds. A book by the same authors with complete details of their version of the proof has been published by the European Mathematical Society.

Жоғары өлшемдер

Төрт өлшемде тек шектеулі жабық 4-көптүліктер ғана геометриялық ыдырауға ие. Дегенмен, максималды модель геометрияларының тізімдерін беруге болады. Олардың әдеттегі атаулары: E4, Nil4, Nil3 × E1, (саны санаусыз отбасы), H3 × E1, H2 × E2, H2 × H2, H4, H2(C) (кешенді гиперболалық кеңістік), F4 (гиперболалық жазықтықтың жанама шоғыры), S2 × E2, S2 × H2, S3 × E1, S4, CP2 (кешенді проективті жазықтық) және S2 × S2.